Esercizi sulla definizione di limite e sulla topologia della retta

1) Scrivere la definizione matematica della proposizione "il limite per \(x\) tendente a \(+\infty\) di \(f(x)\) è \(-\infty\)".

2) Verificare con la definizione che \(\lim_{x\to +\infty}2^x =+ \infty\) e che  \(\lim_{x\to -\infty}2^x =0\).

3) Sia data la funzione segno di \(x\), definita nel seguente modo: $$\text{sgn}(x)=\left\{ \begin{align} 1\hspace{30pt}  &\text{se \(x>0\)} \\ 0\hspace{30pt}  &\text{se \(x=0\)} \\ -1\hspace{30pt} &\text{se \(x<0\)} \end{align}\right. $$Verificare che il limite per \(x\) tendente a \(0^+\) (cioè da destra) di \(f(x)\) è \(1\). Cosa si può dire del limite sinistro? E del limite bilaterale?

4) Verificare che il limite per \(x\) tendente a \(1\) di \(f(x)=x^3\) è uguale a \(1\).

5) Sapendo che una funzione \(f(x)\) è continua in un punto \(x_0\) del suo dominio se e solo se $$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$scrivere la definizione di continuità in \(x_0\) usando \(\epsilon\) e \(\delta\). (Sugg: si tratta di adattare la definizione di limite finito...)

6) Scrivere la definizione di intorno di un punto \(x_0\) e di intorno di \(+\infty\). 

7) Verificare che \(\lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^2}=+\infty\).

8) Si dice che una funzione \(f(x)\) tende a \(l\) per eccesso (o dall'alto) per \(x\) tendente a \(+\infty\) se $$\forall \epsilon>0 \exists N>0 | x>N\Rightarrow f(x)<l+\epsilon.$$Verificare che \(f(x)=\frac{1}{x}\) tende per eccesso a \(0\). 

9) Disegnare il grafico di una funzione che tenda a \(0\) per \(x\) tendente a \(+\infty\) ma che non tenda a \(0\) né per eccesso né per difetto. 

10) Dato un insieme non vuoto \(A\subseteq\mathbb{R}\), diciamo che \(x\) è un maggiorante di \(A\) se $$x\geqslant a, \forall a \in A.$$Se \(A=[0,1]\) è corretto dire che \(1\) è un maggiorante di \(A\)? In caso di risposta affermativa, stabilire se esistono altri maggioranti, In caso di risposta negativa, trovare un maggiorante.

11) Verificare usando la definizione che $$\lim_{x \to 0^+}\log x = -\infty.$$

12) Verificare usando la definizione che $$\lim_{x \to (-1)^+}\frac{2}{(x+1)^3} = +\infty \\ \lim_{x \to (-1)^-}\frac{2}{(x+1)^3} = -\infty $$

13) Verificare che $$\lim_{x \to 0}\cos x = 1$$specificando se la funzione tende a \(1\) per eccesso o per difetto.

14) Rappresentare sulla retta reale i punti dell'insieme $$A=\left\{x=\frac{1}{n}|n\in\mathbb{N}^+\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\right\}.$$Chi sono i maggioranti e i minoranti di \(A\)? Sapendo che l'estremo superiore (inferiore) di un insieme è il più piccolo dei maggioranti (il più grande dei minoranti), chi sono \(\sup A\) e \(\inf A\)?

15) Se \(\sup\) e \(\inf\) appartengono all'insieme, essi prendono il nome di massimo e minimo rispettivamente: con riferimento all'esercizio precedente \(\sup\) e \(\inf\) sono anche \(\max\) e \(\min\)?

16) Sia \(A=\{x|\frac{x^2}{x^2-1}\geqslant 0\}\): quali sono i suoi punti di accumulazione? Sono presenti punti isolati? Trovare inoltre punti di accumulazione e isolati per l'insieme \(B=\{x|x^2> 0\}\).

17) Sia \(x_0=1\): per ciascuno dei seguenti intervalli si specifichi se si tratta di un intorno di \(1\) specificando il tipo (destro, sinistro, bilaterale, simmetrico).$$[1,2] \hspace{30pt} ]0,2[ \hspace{30pt} ]1,2[ \hspace{30pt} ]-1,3[ \hspace{30pt} \{1\}$$

18) Verificare che $$\lim_{x \to \pi}\sin x = 0.$$

19) Verificare che $$\lim_{x \to 2}(3-2x) = -1.$$

20) Determinare, se ve ne sono,  i punti di accumulazione dei seguenti insiemi $$ A=(3,7] \\ B= [0,1) \cup \{ 2 \} \\ C=\left\{x=\frac{-7}{\sqrt{n}}, n \in \mathbb{N}^+\right\} \\ D=\left\{x=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}, n \in \mathbb{N}^+\right\} $$

21) Individua intorni, intorni sinistri ed intorni destri del punto \(x_0=\frac{3}{2}\) tra i seguenti insiemi:$$A=(3,4] \\ B=(3,4) \\ C= [0,1) \cup (2,4) \\ D=(-97,103) \\ E=(2,4) \\ F= (0,3)$$

22) Aiutandosi con i quadretti, dedurre i valori dei limiti per \(x\) tendente a \(-\infty,-1,+\infty\) della funzione rappresentata in figura:

 

23) Aiutandosi con i quadretti, dedurre i valori dei limiti per \(x\) tendente a \(-\infty,0^-,0^+,+\infty\) della funzione rappresentata in figura. Esiste il limite per \(x\) tendente a \(0\)?

24) Aiutandosi con i quadretti, dedurre i valori dei limiti per \(x\) tendente a \(-\infty,(-1)^-,0^+,+\infty\) della funzione rappresentata in figura. Perché non ha senso cercare il limite per \(x\) tendente a \(0^-\) e \((-1)^+\)?

 

 


25) Determinare i punti di accumulazione e i punti isolati dell'insieme \(A=\{x\in\mathbb{R}|x^2\geqslant|x|\}\).

26) Stabilire le equazioni degli asintoti della funzione omografica $$f(x)=\frac{2x-1}{3-x}.$$

27) Scrivere, aiutandosi coi quadretti, le equazioni degli asintoti delle funzioni in figura:


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28) Usare il teorema del confronto per dimostrare che $$\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x}=0 \\ \lim_{x\to +\infty}(x+\sin x)=+\infty \\ \lim_{x\to +\infty}(x+2^x)=+\infty.$$

29) Dimostrare, usando la definizione, che $$\lim_{x\to +\infty}(x^2-x)=+\infty \\ \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{1-\sqrt{x}}=-\infty \\ \lim_{x\to 0}\frac{1}{1-\cos x}=+\infty \\ \lim_{x\to \sqrt{e}}\ln x=\frac{1}{2}.$$

30) Calcolare i seguenti limiti: $$\lim_{x\to \pi}(\sin^2 x-2\cos x^2) \\ \lim_{x\to -1}(x^3+4x-2) \\ \lim_{x\to \frac{1}{e}}\ln^2 x \\ \lim_{x\to -1}\ e^{x+1} \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2+2x}.$$

31) Sapendo che $$\lim_{x \to x_0}f(x)=-1 \hspace{40pt} \lim_{x \to x_0}g(x) = +\infty$$calcolare, se possibile, $$\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

32) Sapendo che $$\lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty \hspace{40pt} \lim_{x \to x_0}g(x) = -\infty$$calcolare, se possibile, $$\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

33) Sapendo che $$\lim_{x \to x_0}f(x)=e \hspace{40pt} \lim_{x \to x_0}g(x) = 0^+$$calcolare, se possibile, $$\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

34) Sapendo che $$\lim_{x \to x_0}f(x)=0^- \hspace{40pt} \lim_{x \to x_0}g(x) = +\infty$$calcolare, se possibile, $$\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

35) Calcolare i seguenti limiti: $$\lim_{x\to +\infty}\frac{x^3-100}{-x^8+7x^4} \\ \lim_{x\to -\infty}\frac{3x^3-2x+1}{4x^2+5x} \\ \lim_{x\to 0}\frac{-3x^2+6x}{x^6+4x^3} \\ \lim_{x\to 9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9} \\ \lim_{x\to +\infty}\ \frac{\sqrt{x^3+1}}{x+1} \\ \lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2+2}+x).$$

36) Calcolare i seguenti limiti: $$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{3-x} \\ \lim_{x\to 5}\frac{x^2-2x-15}{x^2+8x-65} \\ \lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x-3}-\sqrt{x+5}}{2x^2} \\ \lim_{x\to 0}\frac{x^7-x^3-x}{x-1} \\ \lim_{x\to +\infty}\ \frac{x-x^3}{x^4-1} \\ \lim_{x\to 1}\frac{x-x^3}{x^4-1}$$

37) Dimostrare, usando la definizione, che $$\lim_{x\to 2}(2-3x)=-4 \\ \lim_{x \to 2} |x-2|=0 \\ \lim_{x \to -\infty} \arctan x^2=\frac{\pi}{2} \\ \lim_{x \to +\infty} (1+e^{-x})=1.$$

38) Determinare gli asintoti della funzione $$f(x)=\frac{2x^2-1}{3x^2+2x}.$$(Sugg: verificare che il dominio è \(]-\infty,-\frac{2}{3}[\cup]-\frac{2}{3},0[\cup]0,+\infty[\) e calcolare i limiti nei sei estremi del dominio. I limiti saranno finiti se \(x\to\pm\infty\) e infiniti se \(x\to-\frac{2}{3}\) o \(x\to 0\)...)

39) Disegnare una funzione che abbia \(y=-1\) come asintoto orizzontale sinistro; \(y=2\) come asintoto orizzontale destro; \(x=1\) come asintoto verticale.