Quiz settimanali con breve commento

 

In questa pagine pubblicheremo con cadenza settimanale dei quesiti utili a chiunque si stia preparando ad affrontare i test di ammissione per le facoltà a numero chiuso. A distanza di qualche giorno aggiungeremo anche un commento ai quiz! 

Quanti sono gli anagrammi (non per forza di senso compiuto) della parola "torero"?

  1. 720
  2. 360
  3. 180
  4. 120
  5. 60

Commento: dobbiamo determinare le permutazioni con ripetizione delle 6 lettere t,o,r,e,r,o. Osservando che sia la "o" che la "r" sono ripetute due volte, la formula corretta da applicare sarà $$P^r_{6,2,2}=\frac{6!}{2!2!}=\frac{720}{4}=180.$$Per ulteriori dettagli, rimandiamo alla nostra lezione sul calcolo combinatorio.


Qual è la negazione logica dell'affermazione "non esiste alcuno studente che abbia passato un esame senza studiare"?

  1. tutti gli studenti devono studiare per passare gli esami
  2. esiste almeno uno studente che ha passato un esame senza studiare
  3. non esiste alcuno studente che ha studiato ma non ha superato l'esame
  4. tutti gli studenti riescono a passare un esame senza studiare
  5. esiste uno studente ha superato tutti gli esami senza studiare

Commento: l'errore tipico che si può compiere consiste nel pensare che la negazione di "nessuno" sia "tutti"; in logica la negazione di un quantificatore universale è un quantificatore di tipo esistenziale, (in parole povere, "esiste"). Per quanto riguarda il resto della proposizione non serve fare niente, il suo scopo era solo quello di confondere le acque. Un altro metodo per risolvere il quiz poteva essere il seguente: negare la proposizione significa affermare: "non è vero che non esiste alcuno studente che abbia passato un esame senza studiare", cioè che esiste almeno una persona che ce l'ha fatta!


Si considerino due vettori di lunghezza rispettivamente pari a \(4\) e \(3\). Possiamo affermare che

  1. La loro somma ha sicuramente lunghezza pari a \(7\)
  2. La loro somma ha lunghezza pari a \(7\) se e solo se i vettori sono allineati
  3. La loro somma può essere il vettore nullo
  4. La loro somma ha lunghezza compresa tra \(1\) e \(7\)
  5. La loro somma ha lunghezza minima se e solo se i vettori sono perpendicolari

Commento: nel grafico interattivo sottostante è possibile ruotare il vettore verde (trascinatene la punta!) e osservare come cambia la somma (in rosso). A questo punto è facile notare come il vettore somma abbia lunghezza minima pari a \(4-3=1\) quando i vettori sono opposti e lunghezza massima \(4+3=7\) quando sono concordi. In tutti gli altri casi la lunghezza sarà un valore intermedio, pertanto la risposta corretta è la D.

Alternativamente, si può ricordare che la lunghezza della somma di due vettori è espressa dalla formula $$|\vec{v}+\vec{w}|=\sqrt{|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2+2|\vec{v}||\vec{w}|\cos\alpha}=\sqrt{25+24\cos\alpha}.$$Poiché il coseno dell'angolo compreso assume tutti i valori va \(-1\) a \(1\) otteniamo che la lunghezza della somma varia da \(\sqrt{25-24}=1\) a \(\sqrt{25+24}=7\).


Per riempire una vasca abbiamo a disposizione tre rubinetti. Il primo la riempie in un'ora, il secondo ne impiega due, mentre al terzo servono 6 ore. Se apriamo tutti e tre i rubinetti contemporaneamente, quanto ci vorrà per riempire la vasca?

  1. 54 minuti
  2. 48 minuti
  3. 45 minuti
  4. 40 minuti
  5. 36 minuti

Commento: Iniziamo valutando con che velocità si riempie la vasca quando tutti i rubinetti sono aperti. Ci conviene ragionare su un intervallo di tempo di 6 ore, ovvero il minimo comune multiplo dei tempi di riempimento associati ai singoli rubinetti: $$I: \text{1 vasca in 1 ora \(\Rightarrow\) 6 vasche in 6 ore} \\ II: \text{1 vasca in 2 ore \(\Rightarrow\) 3 vasche in 6 ore} \\ III: \text{1 vasca in 6 ore}$$I tre rubinetti, assieme, riempono quindi \(6+3+1=10\) vasche in 6 ore. Per riempire una singola vasca basterà dividere il tempo trovato per 10: $$\frac{6}{10}h=0.6*60min=36min.$$Nel grafico sottostante è possibile aprire e chiudere i rubinetti (cliccando sui quadratini) e verificare quanto tempo ci vuole a riempire la vasca schiacciando il tasto "play". 


Si legga con attenzione il seguente testo:
"La lotta tra Libertà e Autorità è la componente più cospicua nelle vicende storiche che per prime diventano a noi familiari, in particolare in quelle della Grecia, di Roma e dell'Inghilterra. Ma nei tempi antichi questo scontro avveniva tra i sudditi, o alcune classi di sudditi, ed il governo. Per Libertà si intendeva la protezione dalla tirannia dei governanti politici. Questi erano visti (salvo in alcuni governi popolari della Grecia) come necessariamente antagonisti delle persone che governavano. Consistevano di un Singolo al comando, di una casta o di una tribù dominante, e derivavano la propria autorità per diritto ereditario o di conquista e, in ogni caso, non mantenevano la propria posizione solo grazie all'incondizionato consenso dei governati. Le persone comuni non si azzardavano a, o forse non desideravano, contestare questa supremazia, quali che fossero le precauzioni da loro prese per limitarne l'esercizio oppressivo. Il Potere era considerato necessario, ma anche molto pericoloso: un'arma che i governanti potevano usare contro i sudditi non meno che contro i nemici esterni. Per impedire che i membri più deboli della comunità divenissero preda dei tanti avvoltoi, era necessario ci fosse un animale da preda più forte, incaricato di tener a bada gli altri. Ma dato che il re degli avvoltoi sarebbe stato non meno propenso dei rapaci minori a predare nel gregge, era indispensabile rimanere sempre sulla difensiva rispetto ai suoi artigili ed al suo becco. L'obiettivo dunque dei patrioti era di porre dei limiti al potere che si concedeva al governante di esercitare. Questi limiti erano ciò che si intedeva per Libertà." John Stuart Mill
Qual è la tesi dell'autore?
  1. Gli uomini comuni devono difendersi dai nemici esterni.
  2. La libertà è l'assenza di un governo o di una classe dominante oppressiva.
  3. Alcune classi vanno al potere con il benestare dei loro sudditi.
  4. La libertà è il limite posto all'esercizio del potere dei governanti.

Commento: Analizziamo le risposte possibili per ordine: la prima è chiaramente sbagliata, infatti nel testo si dice soltanto che il potere è un'arma che i governanti possono usare tanto quanto i sudditi quanto contro i nemici esterni. Quindi la difesa da questi ultimi è una delle funzioni che rendono necessario tale potere, ma è assolta dai governanti e non dagli uomini comuni. Per quanto riguarda la seconda risposta, notiamo come nel testo non venga mai affermata l'assenza di una classe dominante, e come inoltre sia segnalato come eccezionale un caso dove questa classe non si ponga come antagonista nei confronti dei sudditi. La terza risposta viene chiaramente eliminata dalla natura ereditaria o di conquista del potere. Se è vero che in alcuni casi è il consenso più o meno spontaneo dei sudditi a permettere l'esercizio del potere, non possiamo dire che i governanti raggiungono questa posizione per tal motivo. L'ultima risposta è quella corretta, ed è sufficiente leggere l'ultimissima frase per esserne persuasi.


Un'urna contiene 12 palline rosse e 5 palline bianche. Cosa dobbiamo fare se vogliamo che la probabilità di pescarne una sia pari a 1/3?

  1. Togliere una pallina bianca
  2. Aggiungere una pallina bianca
  3. Aggiungere tre palline bianche
  4. Aggiungere sette palline bianche
  5. Non serve fare niente

Commento: Se vogliamo risolvere il problema da un punto di vista puramente analitico, chiamiamo \(x\) il numero di palline bianche da aggiungere o togliere (nel secondo caso \(x\) sarà negativo. A questo punto basta calcolare la probabilità di pescare una pallina bianca e porla uguale a 1/3: $$p=\frac{5+x}{12+5+x}=\frac{1}{3}\Rightarrow 15+3x=17+x\Rightarrow x=1.$$Alternativamente, possiamo osservare che se la probabilità di pescare una pallina bianca è pari a 1/3, la probabilità di pescare una rossa sarà di 2/3: da ciò deduciamo che le 12 palline rosse sono il doppio delle bianche e che pertanto queste ultime devono essere 6. Avendone già 5, dobbiamo aggiungerne una, quindi la risposta corretta sarà la B. Alla stessa conclusione si sarebbe potuti giungere anche andando "per tentativi", col rischio però di perdere tempo prezioso provando le risposte errate.


 

Quattro amici, Aldo, Beatrice, Chiara e Davide hanno un compito in classe nelle seguenti materie: matematica, italiano, inglese, francese. I ragazzi prendono i voti 4, 5, 6, 7. Siamo in possesso delle seguenti informazioni: Chiara ha preso una sufficienza stiracchiata; Aldo ha fatto il compito di matematica; la prof di inglese non ha messo insufficienze; nessuno ha preso 7 in italiano; Davide non studia lingue straniere e ha preso un voto migliore di Aldo. Concludiamo che:

  1. Aldo ha preso 4
  2. Beatrice ha preso 4
  3. Chiara ha preso 4
  4. Davide ha preso 4
  5. non è possibile stabilire chi abbia preso 4

Sempre con riferimento all'esercizio precedente, possiamo concludere che:

  1. Aldo ha fatto il compito di inglese
  2. Beatrice ha fatto il compito di inglese
  3. Chiara ha fatto il compito di inglese
  4. Davide ha fatto il compito di inglese
  5. non è possibile stabilire chi abbia fatto il compito di inglese

Commento: analizziamo le informazioni in nostro possesso e creiamo una tabella in cui riassumere tutti i dati. Le prime due affermazioni ci dicono che Chiara ha preso 6 e Aldo ha fatto il compito di matematica. Le due affermazioni successive non ci danno informazioni sicure e pertanto le tralasciamo momentaneamente. L'ultima affermazione ci dice che Davide non ha fatto né il compito di francese né quello di inglese e pertanto deve aver svolto il tema di italiano (visto che sappiamo già che Aldo ha fatto matematica). A questo punto, tornando alla quarta affermazione, Davide non può aver preso 7, ma nemmeno 4 dato che Aldo ha fatto peggio di lui: ne segue che Davide deve aver preso 5, e Aldo 4. Per quanto riguarda la seconda domanda, analizzando le varie affermazioni non possiamo stabilire tra Chiara e Beatrice chi abbia fatto il compito di inglese e chi quello di francese, visto che entrambe le possibilità sono coerenti coi dati forniti.


Un cubetto di ghiaccio che si trova alla temperatura di -10°C ha massa pari a 50g e viene immerso in un bicchiere che contiene 20cl di acqua a 20°C. Dopo aver lasciato trascorrere un lasso di tempo sufficientemente lungo noteremo che (per i calcoli si supponga il calore specifico dell'acqua pari a 4.2 J/gK, il calore specifico per il ghiaccio pari a 2.1 J/gK e il calore latente di fusione del ghiaccio pari a 330 J/g)

  1. l'acqua all'interno del bicchiere si ghiaccerà
  2. nel bicchiere il ghiaccio sarà solo parzialmente sciolto e l'acqua avrà una temperatura superiore a 0°C
  3. nel bicchiere il ghiaccio avrà temperatura inferiore a 0°C e l'acqua sarà a 0°C
  4. il ghiaccio non sarà completamente sciolto e l'acqua avrà la temperatura di 0°C
  5. il ghiaccio si sarà sciolto e l'acqua si sarà ghiacciata

Commento: una volta immerso in acqua, il cubetto di ghiaccio inizia ad assorbire calore da quest'ultima. Calcolando separatamente il calore necessario a portare a 0° il cubetto di ghiaccio e l'acqua del bicchiere (\(Q=cm\Delta T\)), osserviamo che$$Q_{ghiaccio}=2.1\cdot 50\cdot 10=1050J  \\ Q_{acqua}=4.2\cdot 200\cdot(-20)=-16800J$$e pertanto il ghiaccio arriverà a 0°C prima dell'acqua, iniziando a sciogliersi come era lecito aspettarsi. Dopo aver ceduto 1050J di calore, l'acqua potrà ancora fornire al ghiaccio (che durante la fusione rimarrà a 0°) un'energia pari a $$Q=16800-1050=15750J,$$prima di raggiungere l'eventuale equilibrio termodinamico. Poiché il calore necessario a fondere tutto il ghiaccio vale $$Q_{fusione}=\lambda\cdot m=16500$$ concludiamo che l'acqua si raffredderà fino a 0° raggiungendo l'equilibrio termico senza essere riuscita a sciogliere completamente il cubetto. La risposta corretta è pertanto la D.