definizione; classificazioneesercizi

Definizione

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come ad ogni equazione di I grado sia associata una retta; il passo successivo più naturale da farsi è quello di chiedersi quali curve vengano invece generate da un'equazione di II grado. Chiameremo sezioni coniche o, più semplicemente, coniche, le curve associate ad equazioni di II grado, ovvero

$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0.$$ La scelta del nome "conica" nasce dal fatto che ciascuna delle curve che descriveremo a breve può essere ottenuta intersecando un cono con un piano.

Chiamato \(\alpha\) l'angolo formato dalle rette generatrici e dall'asse del cono e chiamato \(\beta\) l'angolo formato tra il piano di sezione e l'asse del cono si ha che:

  • se \(\beta=\alpha\) la conica è una parabola;
  • se \(\alpha<\beta\leq\frac{\pi}{2}\) abbiamo un ellisse (circonferenza per \(\beta=\frac{\pi}{2}\));
  • se \(\beta<\alpha\) otteniamo un'iperbole.

 

Per una trattazione più approfondita di ciascuna conica, potete cliccare su uno dei seguenti link: parabolacirconferenza, ellisseiperbole. Le forme appena descritte sono tendenzialmente quelle di maggior interesse, tuttavia le coniche si possono presentare anche in altre forme, dette degeneri. Ad esempio:

  • se il piano contiene l'asse del cono, la sezione risulta essere una coppia di rette;
  • se \(\beta=\alpha\) e il piano passa per il centro del cono, allora la sezione è una singola retta (contata due volte);
  • se \(\beta>\alpha\) e il piano passa per il centro del cono, allora l'intersezione si riduce a un punto, ovvero il centro del cono.

Classificazione

Proseguiamo la trattazione delle coniche enunciando un comodo criterio per classificare le coniche di equazione
$$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0,$$ ovvero quelle nella cui equazione non compare il termine \(xy\). In base ai coefficienti dei quadrati, l'equazione può corrispondere a una sola delle curve analizzate finora:
$$\begin{align*}
\left.
\begin{array}{ll}
A=B=0 & \text{retta} \\
A=0 \wedge B\neq 0 \vee A\neq 0 \wedge B=0 & \text{parabola}\\
AB>0 \hspace{7pt} (A=B) & \text{ellisse (circonferenza)} \\
AB<0 & \text{iperbole}
\end{array}
\right.
\end{align*}$$ATTENZIONE! Questo schema riassuntivo è molto utile perché permette di non confondere tra di loro rette, parabole, ecc. tuttavia presenta delle insidie, ovvero il fatto che non è in grado di riconoscere le coniche degeneri. Per chiarire ulteriormente quanto appena detto, se una conica ha equazione $$2x^2+3y^2+\ldots=0,$$il criterio appena presentato ci dice che essa non sarà sicuramente una retta, una parabola o un'iperbole. Non è però garantito che sia un ellisse! Vediamo infatti alcuni esempi concreti in cui il criterio può trarci in inganno:

  • l'equazione \(x^2+y^2+1=0\) potrebbe sembrare definire una circonferenza, in quanto \(A=B=1\), tuttavia è facile notare come nessun punto \((x,y)\) soddisfi l'equazione della curva, che pertanto è in realtà l'insieme vuoto;
  • l'equazione \(x^2-y^2=0\) (già accennata nella lezione introduttiva al piano cartesiano) può sembrare definire un'iperbole, in quanto \(AB=-1<0\), ma se riscriviamo l'equazione come \((x-y)(x+y)=0\) possiamo notare che la curva è costituita da tutti i punti \((x,y)\) tali che \(x-y=0\) oppure \(x+y=0\). Ne segue che la curva è formata dalle bisettrici dei quattro quadranti;
  • l'equazione \(x^2+2xy+y^2=0\) non rientra nella casistica analizzata per via del prodotto \(xy\): se riscriviamo l'equazione come \((x+y)^2=0\) ci accorgiamo però che essa descrive la retta \(x+y=0\) (contata due volte per via dell'esponente).

In realtà esiste un criterio più rigoroso per classificare le coniche senza incorrere in casi di ambiguità, ma tale metodo richiede strumenti quali matrici e determinanti che sono al di fuori dalle conoscenze dello studente medio che affronta per la prima volta la geometria analitica. 

Esercizio:

dati due punti fissati \(A=(x_A,y_A),B=(x_B,y_B)\), deteriminare che tipo di conica si ottiene considerando i punti le cui distanze da \(A\) e da \(B\) hanno rapporto costante e positivo.

Risoluzione:
consideriamo i punti \(P=(x,y)\) tali che \(\frac{PA}{PB}=k\):
$$\begin{gather*}\frac{\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}}{\sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}}=k\\\Downarrow\\ \frac{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}=k^2\\ \Downarrow\\(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=k^2[(x-x_B)^2+(y-y_B)^2]\\ \Downarrow \\x^2+y^2+\ldots=k^2x^2+k^2y^2+\ldots \\ \Downarrow \\ (1-k^2)x^2+(1-k^2)y^2+\ldots=0.
\end{gather*}$$
L'equazione ottenuta descrive una retta (\(A=B=0\)) se \(k=1\) e una circonferenza (\(A=B\neq0\)) se \(k\neq 1\).