Come abbiamo già visto in un'altra lezione, la pressione è la grandezza fisica che ci permette di valutare l'effetto delle forze quando queste non sono applicate ad un punto di un corpo rigido oppure agiscono su corpi non rigidi, quali i fluidi. Per questo, la pressione entra in gioco continuamente durante un'attività semplice come quella di viaggiare su un autoveicolo: la pressione negli pneumatici sostiene il peso del mezzo, la pressione dei gas generati dalla combustione spinge i cilindri creando il movimento, la pressione del piede sui pedali permette di azionare i freni. Bisogna sottolineare che ognuno di questi piccoli esempi vede all'opera un principio della fisica che, soprattutto nel terzo caso, contribuisce in modo determinante al funzionamento del sistema, e quindi alla nostra capacità di evitare spiacevoli incidenti con una robusta frenata.

Il principio di Pascal

Quando la pressione che esercitiamo sul pedale viene trasmessa alle pastiglie dei freni vediamo infatti manifestarsi il principio di Pascal, enunciato da Blaise Pascal nel 1653, che afferma che ogni pressione esercitata su un fluido confinato in un recipiente viene trasmessa dal fluido alle pareti del recipiente, perpendicolarmente ad esse e senza perdita di intensità.

Nel caso dell'automobile, il pedale è collegato ad un pistoncino che agisce su un sistema idraulico, ossia ad una tubazione riempita completamente da un apposito liquido, che all'altro estremo ha un pistone analogo che preme le pastiglie contro il disco dei freni. La forza, applicata dal piede sul pistone, "diventa" pressione che attraverso il liquido raggiunge il pistone dei freni, dove torna a "trasformarsi" in forza. Ovviamente ci sono diversi accorgimenti importantissimi, nel caso della nostra sicurezza in auto: le pareti del sistema idraulico devono poter resistere alla pressione senza rompersi e generare perdite, ed il fluido non deve variare il proprio volume a seguito dell'aumento di pressione, nè avere una densità disomogenea, come avrebbe se ad esempio ci fossero bolle d'aria nell'impianto. Ovviamente questa descrizione semplifica molto la situazione, dato che normalmente sono presenti centraline e sistemi, come l'abs, che mediano tra il nostro intervento e i freni veri e propri per garantire risultati migliori.

Durante le due "trasformazioni" menzionate, si sfrutta la definizione di pressione \(p=\frac{F}{S}\), dove \(F\) è la forza ed \(S\) la superficie alla quale viene applicata (rispettivamente, nell'esempio, la forza esercitata col piede e la superficie dei pistoni ai due estremi del sistema). Non è difficile capire che la nostra scelta per le dimensioni dei pistoni, e quindi di \(S\), può influire notevolmente sui risultati, e nella realtà è addirittura indispensabile che lo faccia: pensate quanto sarebbe difficile fermare un'automobile spingendo col piede sulle ruote durante la corsa!

Proviamo a fare un esempio numerico: immaginiamo di avere una massa di \(80Kg\) e di posizionarci in piedi su una piattaforma circolare di raggio \(30cm\). Se questa piattaforma fosse la testa di un cilindro collegato ad un sistema idraulico, eserciteremmo una pressione$$p_1=\frac{F_1}{S_1}=\frac{m_1g}{\pi r^2}=\frac{80 \cdot 9,81}{0,03^2 \cdot \pi}=277566Pa$$Supponiamo che il sistema abbia come unica altra superficie mobile una seconda piattaforma, sempre circolare ma di superficie \(S_2\)doppia rispetto alla nostra. Il principio di Pascal ci assicura che la pressione \(p_2\) che vediamo applicata alla seconda piattaforma non è altro che la pressione applicata dalla nostra piattaforma al fluido, ossia \(p_2=p_1\). Immaginiamo che sulla seconda piattaforma ci sia una seconda persona di massa \(m_2\) tale da mantenere in equilibrio il sistema: quanto peserà? Verifichiamolo con un semplice conto:$$p_2=p_1 \\ \frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2} \\ \frac{m_1g}{S_1}=\frac{m_2g}{2S_1} \\ m_2=2m_1=160Kg$$ il peso di un cucciolo di elefante! Più esattamente, notiamo che possiamo controbilanciare il doppio del nostro peso se raddoppiamo la superficie che dovrà sostenerlo.

Una facilissima applicazione del principio di Pascal permette quindi di "moltiplicare" una forza ammettendo di disporre di un impianto adeguato per dimensioni e resistenza (le pareti devono infatti poter sostenere la stessa pressione applicata e subita dalle piattaforme) e di un fluido per riempirlo.

Anche se questo sistema viene puntualmente sfruttato in un gran numero di applicazioni, è importante notare che questa amplificazione ha un costo: non è facile infatti costruire un sistema che, spingendo con un dito ad un estremo, permetta di sollevare un'automobile all'altro, e tra i vari motivi ne individuiamo uno che ci permetterà una riflessione utilissima in questo come in altri casi analoghi: ricordiamo che l'energia meccanica si conserva. Nel nostro sistema, immaginando di poter trascurare tutte le dispersioni dovute al sistema idraulico, alla non perfetta rigidità delle pareti e ad altro, l'unica energia che viene immessa nel sistema è un'energia meccanica. Se \(F_1\) è la forza che applichiamo in modo costante con il dito e \(x_1\) lo spostamento del pistone, possiamo cacolare questa energia come un lavoro \(L=F_1 x_1\). Questo lavoro viene impiegato per sollevare l'automobile, con una forza \(F_2\) che sarà necessariamente molto più grande, quindi \(L=F_2 x_2\). Allora \(F_1 x_1 = F_2 x_2\), e se ricordiamo che \(F_1<F_2\), possiamo stabilire che \(x_2<x_1\). Quindi teoricamente possiamo sollevare la macchina con un solo dito ma, se mettiamo in gioco dati verosimili, l'elevazione ottenuta sarà a dir poco trascurabile. Il guadagno dovuto a simili principi è quindi reale, ma per poterlo sfruttare dobbiamo usare qualche piccola furbizia, ad esempio impiegando un compressore per sommare tantissime piccole spinte che, con un po' di pazienza, solleveranno il veicolo.

A questo punto pensiamo di esser pronti a trarre il massimo dal principio di Pascal: qualche pistone, un liquido adatto, un sistema sufficientemente robusto per resistere alle pressioni che possiamo esercitare... ma siamo sicuri di avere tutto sotto controllo? La risposta è no: se dovessimo ad esempio costruire un impianto con i due pistoni ad altezza diversa (uno al pian terreno e uno al terzo piano, ad esempio), dovremmo aspettarci qualche brutta sorpresa.

La legge di Stevin

Un fluido ha ovviamente una massa, e quindi possiamo associare ad esso una forza peso. Se vogliamo calcolare il peso del contenuto di un secchio d'acqua è sufficiente conoscere la massa d'acqua e moltiplicarla per l'accelerazione gravitazionale media \(g=9,81\). Siccome parliamo di un liquido, sarà più facile che vengano resi disponibili la densità ed il volume di liquido, e da questi dovremo ricavare la massa, ma il risultato sarebbe ovviamente lo stesso. Ci sono casi dove questo diventa però ben poco pratico: cosa succederebbe se volessimo calcolare il "peso" dell'acqua sul fondo del mare? Anche se una densità media sarebbe relativamente facile da stabilire, un volume di riferimento sembra meno accessibile.

Simon Stevin, latinizzato spesso in Stevino, nel 1586 in un trattato di idraulica presenta la legge di Stevin, che afferma che un liquido statico, ossia privo di moto apprezzabile, esercita a pronfondità \(h\) una pressione \(p\) direttamente proporzionale alla sua densità \(\rho\) e all'accelerazione gravitazionale media \(g\), se ci situiamo in un campo gravitazionale. Quindi abbiamo una pressione$$p_{stev}=\rho g h$$La prima importante osservazione è che questa \(p_{stev}\) si potrebbe più precisamente denotare con \(\Delta p\), perchè è una pressione relativa: indica infatti la pressione che la presenza del liquido aggiunge a quella già presente sulla sua superficie. La seconda importante osservazione è che non bisogna farsi ingannare dalla nostra esperienza quotidiana: parlando di forze peso siamo portati a pensare a questa pressione come esercitata sul fondo del mare, dall'alto verso il basso, perchè proprio sul fondo "pesa" il liquido che lo sovrasta, ma pensando alla legge di Pascal è facile capire che questa pressione si applica a qualsiasi superficie ad una data profondità, quindi anche orizzontalmente agli oblò di un sottomarino o verticalmente ma dal basso verso l'alto al fondo di un'imbarcazione.

Sembra strano poter ignorare completamente l'effettivo volume d'acqua usando la densità, dato che sostanzialmente questa pressione è dovuta alla forza peso, collegata naturalmente ad una massa. In realtà uno sguardo alle grandezze coinvolte nella legge di Stevin può rendere evidentissimo che stiamo proprio parlando di una forza peso \(F_p\) fratto una superficie \(S\):$$p_{stev}=\rho g h=\frac{massa}{volume} \cdot accelerazione \cdot lunghezza=(massa \cdot accelerazione)\frac{lunghezza}{volume} \\ \left[ \frac{lunghezza}{volume} \right]=\frac{m}{m^3}=\frac{1}{m^2}=\left[ \frac{1}{superficie} \right] \quad \Rightarrow \quad p_{stev}=\frac{forza}{superficie}$$usando la seconda legge di Newton per individuare la forza.

Questa legge così semplice è un buon punto di partenza per valutare alcuni requisiti di opere importanti quali ad esempio le grandi dighe, alla base delle quali l'acqua esercita pressioni altissime a causa della profondità ma anche a causa della sua densità, decisamente non trascurabile. Ma senza dover ragionare in grande scala per capire l'importanza dell'argomento che stiamo trattando, si può richiamare il caso frequentissimo del principio dei vasi comunicanti: se poniamo in comunicazione dei recipienti e li riempiamo d'acqua, il liquido in ognuno tenderà a raggiungere la stessa quota.

Nel disegno è raffigurato il caso di gallerie e cavità riempite d'aqua: una fessura sottile, un creapaccio più largo, uno specchio d'acqua che potrebbe essere un lago o addirittura il mare. Rispettivamente l'acqua raggiunge le quote \(h_1\), \(h_2\) e \(h_3\) relativamente ad una quota "zero" scelta arbitrariamente e indicata dalla linea tratteggiata, ed il principio ci assicura che queste quote risulteranno uguali nonostante la forma delle cavità, e di conseguenza il volume in esse racchiuso, vari notevolmente. Il motivo è simile al caso dell'equilibro nella sollevatrice idraulica, dato che le superifici saranno in equilibrio solo quando subiranno la stessa pressione, nel nostro caso la pressione atmosferica, direttamente legata alla "profondità" dell'atmosfera sovrastante.

Ovviamente bisogna ancora una volta ribadire che queste considerazioni sono esatte solo se rinunciamo a tener conto di tantissimi fattori, quali la pressione aggiunta dagli strati di terreno e roccia, le variazioni di densità dell'atmosfera dovute ad esempio allo spostamento dell'aria a causa del vento, ed altro ancora. Se è vero che riducendoci a un semplice sistema di alambicchi e secchi collegati rende molto più facile verificare il principio, è altrettanto vero che giocando su una spiaggia possiamo farne un'esperienza ben più divertente: scavando a pochi metri dalla riva, troveremo l'acqua sotto la sabbia ad una profondità che ci riporta circa al livello del mare.