Formule utili per test ammissione

 

Matematica

Logaritmi: il logaritmo in base \(a\) di \(b\) è l'esponente da dare alla base \(a\) per ottenere l'argomento \(b\). Solitamente si usa base \(10\) o base \(e\approx 2.71\). Valgono le seguenti proprietà:

  • \(a^{\log_a b} =b\)
  • \(\log_a a^b=b\)
  • \(\log_a 1=0\)
  • \(\log_a a=1\)
  • \(\log_a (b\cdot c) = \log_a b+\log_a c\)
  • \(\log_a \frac{b}{c} = \log_a b-\log_a c\)
  • \(\log_a (b^c) = c\log_a b\)
  • \(\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\).

Goniometria: la misura di un angolo in radianti corrisponde alla lunghezza dell'arco associato all'angolo sulla circonferenza goniometrica. Coseno e seno sono ascissa e ordinata del punto individuato dall'angolo sulla circonferenza goniometrica. Sono funzioni limitate tra \(-1\) e \(1\) e periodiche di periodo \(2\pi\). Valgono le seguenti proprietà:

  • \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha =1, \forall\alpha\in\mathbb{R}\);
  • \(\cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha\)
  • \(\sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha \)
  • \(-1\leq \cos\alpha\leq 1 \)
  • \(-1\leq \sin\alpha \leq 1 \)
  • \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\) 
  • \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\) 
  • \(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha \)
  • \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)
  • \(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha \)
  • \(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\)
  • \(\sin(x+y)=\sin x\cos y+\sin y\cos x \)
  • \(\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y \)
  • \(\sin(x-y)=\sin x\cos y-\sin y\cos x \)
  • \(\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y \)
  • \(\sin(2x)=2\sin x\cos x \)
  • \(\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x \)

Conviene ricordare i seguenti valori: 

  • \(\cos0=1 \)
  • \(\sin0=0\)
  • \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
  • \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)
  • \(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)
  • \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
  • \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \)
  • \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • \(\cos\frac{\pi}{2}=0 \)
  • \(\sin\frac{\pi}{2}=1 \)

La tangente di un angolo è data dal rapporto tra seno e coseno, non è limitata ed ha periodo \(\pi\). Essa non è definita per angoli del tipo \(\frac{\pi}{2}+k\pi\). La cotangente invece è data dal rapporto coseno su seno. 

Probabilità: definiamo la probabilità di un evento come il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili. La probabilità dell'evento complementare \(\overline{E}\) (o negazione) è data da \(P(\overline{E})=1-P(E)\). Dati due eventi incompatibili (il verificarsi di uno preclude il verificarsi dell'altro) vale la proprietà \(P(E\cup F)=P(E)+P(F)\). Per eventi indipendenti (il verificarsi di uno non altera la probabilità di verificarsi dell'altro) vale la proprietà \(P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)\). 

Statistica: le modalità di un carattere sono tutti i valori che esso può assumere. La frequenza di una modalità è data dal numero di individui che presentano tale modalità. La moda di un carattere è data dalla modalità più frequente; la mediana è data dalla modalità centrale (o dalla media delle due modalità centrale se i dati sono in numero pari); la media è data dalla somma dei dati divisa per la loro numerosità. Sommando gli scarti di ciascun dato dalla media si ottiene sempre \(0\). 

Rette: una retta è rappresentata da un'equazione del tipo \(ax+by+c=0\) e può essere riscritta come \(x=q\) (rette verticali) o \(y=mx+q\) (orizzontali o oblique). Il coefficiente \(m\) si chiama pendenza e indica l'inclinazione di una retta. Due rette sono parallele se hanno la stessa \(m\) mentre sono perpendicolari se le loro \(m\) moltiplicate danno \(-1\). Il coefficiente \(q\) si chiama intercetta e indica dove viene tagliato l'asse delle \(y\). Risolvere un sistema lineare del tipo $$\left\{ \begin{align} ax&+by+c=0 \\ a'x&+b'y+c'=0 \end{align} \right.$$significa cercare le intersezioni delle rette \(ax+by+c=0\) e \(a'x+b'y+c'=0\). Ci sono tre casi:

  • \(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}\): il sistema ha infinite soluzioni;
  • \(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}\neq\frac{c}{c'}\): il sistema non ha infinite;
  • \(\frac{a}{a'}\neq\frac{b}{b'}\): il sistema ha una sola soluzione.

Parabole: una parabola è data da un'equazione del tipo \(y=ax^2+bx+c\). Il vertice ha coordinate \((\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a})\) mentre l'asse di simmetria ha equazione \(x=\frac{-b}{2a}\).

Circonferenze: Una circonferenza può essere scritta in forma \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) oppure \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\). Le coordinate del centro sono \(x_0=-\frac{a}{2},y_0=-\frac{b}{2}\) mentre il raggio vale \(R=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}\) posto che il radicando sia positivo.

Geometria: in un triangolo equilatero la somma dei quadrati dei cateti è pari al quadrato dell'ipotenusa. Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è sempre rettangolo. Una retta tangente a una circonferenza è sempre perpendicolare al raggio diretto verso il punto di tangenza. Alcune formule utili (A=area, S=superficie, V=volume):

  • \(A_{triangolo}=\frac{bh}{2}\)
  • \(A_{rettangolo}=bh\)
  • \(A_{cerchio}=\pi r^2\)
  • \(p_{cerchio}=2\pi r\) 
  • \(V_{cubo}=l^3\)
  • \(S_{cubo}=6l^2\)
  • \(V_{sfera}=\frac{4}{3}\pi r^3 \)
  • \(S_{sfera}=4\pi r^2 \)
  • \(V_{cilindro}=\pi r^2 h\)
  • \(V_{cono}=\frac{\pi r^2 h}{3}\)
  • \(V_{piramide}=\frac{A_{base}h}{3}\)

Fisica

Moto rettilineo uniforme: \(s=s_0+vt, \quad v=cost\)

Moto uniformemente accelerato: \(s=s_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2, \quad v=v_0+at, \quad a=cost\).

Caduta del grave: \(v_{impatto}=\sqrt{2gh}, \quad t_{caduta}=\sqrt{\frac{2h}{g}}\).

Composizione velocità: \(v_{assoluta}=v_{relativa}+v_{trascinamento}\)

Moto circolare uniforme: \(v=\omega r \quad a_{centripeta}=\omega^2 r \quad T=\frac{2\pi}{\omega} \quad f=\frac{1}{T}\)

Moto armonico: velocità massima al centro e nulla agli estremi. Accelerazione nulla al centro e massima agli estremi. \(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\) per la molla e \(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\) per il pendolo.

Principi della dinamica:

  1. Un corpo soggetto a forze con risultante nulla mantiene velocità costante, eventualmente nulla.
  2. Un corpo soggetto a forze di risultante \(F\) subisce un'accelerazione direttamente proporzionale a tale risultante: \(F=ma\).
  3. Se un corpo A esercita una forza \(F\) su un corpo B, allora il corpo B esercita una forza opposta \(-F\) su A.

Forza di attrazione gravitazionale: \(F=G\frac{m_1m_2}{d^2}\). Sulla Terra si semplifica in \(F=mg\). Energia potenziale associata \(E_p=-G\frac{m_1m_2}{d}\) che si semplifica in \(E_p=mgh\). 

Forza elastica: \(F=-kx\). Energia potenziale associata: \(E_p=\frac{1}{2}kx^2\)

Forza di attrito: l'attrito statico è dato da \(F\leqslant f_S N\) mentre quello dinamico da \(F=f_D N\) dove \(N\) è la forza di compressione mentre \(f_S,f_D\) sono i coefficienti di attrito statico e dinamico. Sono forze non conservative.

Leve: una leva è in equilibrio se vale l'uguaglianza \(F_m b_m = F_r b_r\).

Lavoro: \(L=F\cdot \Delta s=F\Delta s \cos \alpha\). Se l'angolo è acuto, il lavoro è positivo; se l'angolo è retto, il lavoro è nullo; se l'angolo è ottuso, il lavoro è negativo. Il lavoro compiuto da un sistema di forze è pari alla variazione di energia cinetica del corpo: \(L=\Delta E_k\). Una forza si dice conservativa se il suo lavoro non dipende dal percorso scelto ma solo dagli estremi. In tal caso si può definire un'energia potenziale. Se un sistema è soggetto a forze conservative, la somma tra energia cinetica ed energia potenziale rimane costante. 

Potenza: \(P=\frac{L}{\Delta t}\) oppure \(P=F\cdot v\) e si misura in Watt. Il kilowattora è un'energia e corrisponde a \(3.6\cdot 10^6 J\). 

Urti: per un sistema isoltato (non agiscono forze esterne) la quantità di moto \(p=mv\) totale del sistema si conserva (così come il momento angolare \(L=I\omega\)). Se l'urto è elastico si conserva anche l'energia cinetica totale del sistema.

Fluidi: la pressione di un fluido è data da \(P=\frac{F}{S}\) e si può misurare in Pascal, atmosfere, bar, mmHg e barie. La densità di un fluido è data da \(\rho=\frac{m}{V}\) (ricordiamo che un litro corrisponde a \(1dm^3\). La legge di Stevino dice che la pressione di un fluido aumenta con la profondità secondo la formula \(P=P_0+\rho g h\) dove il termine \(\rho g h\) si chiama pressione idrostatica e aumenta di \(1\) atmosfera ogni \(10\) metri di profondità. La legge di Archimede invece ci permette di stabilire che un corpo può galleggiare se e solo se la sua densità è inferiore a quella del fluido in cui è immerso; inoltre, il rapporto tra densità del corpo e densità del fluido equivale alla frazione di corpo che risulterà immerso nel fluido. Il ghiaccio ad esempio ha densità \(900kg/m^3\) quindi immerso in acqua (densità \(1000\)) si immerge per il \(90\%\) del proprio volume. Per fluidi incomprimibili la portata \(Q=Sv\) è costante: se la sezione di un tubo raddoppia, la velocità del fluido al suo interno si dimezza e viceversa.

Calorimetria: il calore è una forma di energia mentre la temperatura è un indice dell'agitazione molecolare di un corpo. Per il calore si usa spesso la caloria, come unità di misura: \(1cal \approx 4,18J\). Una caloria è la quantità di calore necessaria ad innalzare di \(1^\circ\) la temperatura di \(1g\) di acqua. Il calore è legato alle variazioni di temperatura dalla formula \(Q=cm\Delta T\), dove \(c\) è il calore specifico e \(m\) la massa. Nei passaggi di stato invece vale l'equazione \(Q=\lambda m\), dove \(\lambda\) è il calore latente e la temperatura resta costante. Il principio "zero" della termodinamica dice che se un corpo A è in equilibrio termico (stessa temperatura) con un corpo B, il quale è in equilibrio termico con un corpo C, allora il corpo A è in equilibrio termico anche col corpo C. La temeratura di equilibrio tra due corpi è data dalla formula $$T_{eq}=\frac{c_1m_1T_1+c_2m_2T_2}{c_1m_1+c_2m_2}.$$

Gas: Il primo principio della termodinamica dice che il calore fornito a un gas si trasforma in parte in lavoro e in parte in energia interna. Il secondo principio dice che non è possibile creare una macchina termica con rendimento del \(100\%\). I gas perfetti soddisfano la l'equazione di stato \(PV=nRT\) e possono subire le seguenti trasformazioni:

  • isocora (V costante): pressione e temperatura sono direttamente proporzionali. Il lavoro è nullo
  • isobara (P costante): volume e temperatura sono direttamente proporzionali
  • isoterma (T costante): pressione e volume sono inversamente proporzionali. L'energia interna resta costante
  • adiabatica (nessuno scambio di calore, \(Q=0\)): il gas compie lavoro "spendendo" la propria energia interna

Elettrostatica: La forza con cui si attraggono o respingono due cariche è data dalla formula $$F=k\frac{q_1q_2}{d^2}.$$Il campo elettrico generato da una carica invece vale $$F=k\frac{q}{d^2}.$$La forza elettrostatica è conservativa e ha energia potenziale $$E_p=k\frac{q_1q_2}{d}.$$Il potenziale elettrico, misurato in Volt, è dato infine dalla formula $$F=k\frac{q}{d}.$$Il lavoro delle forze elettriche può essere calcolato come \(L=q\Delta V\). L'elettronvolt è un'unità di misura per il lavoro. 

Condensatori: in condensatori sono caratterizzati dalla formula \(Q=C\Delta V\) dove \(Q\) è la carica accumulata e \(C\) è la capacità. Se i condensatori sono collegati in parallelo, la capacità totale è data dalla somma delle capacità$$C_{eq}=C_1+C_2,$$ mentre se il collegamento è in serie bisogna sommare i reciproci$$\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}.$$

Resistenze: la resistenza di un filo è legata a differenza di potenziale e corrente dalla formula \(\Delta V= i R\). Un filo attraversato da corrente dissipa energia (effetto Joule) con potenza pari a \(P=i \Delta V\). Se due resistenze sono collegate in serie allora i valori delle resistenze si sommano (la resistenza totale aumenta) $$R_{eq}=R_1+R_2$$mentre se le resistenze sono in parallelo bisogna sommare i reciproci (la resistenza totale diminuisce)$$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}.$$

Forza di Lorentz (magnetismo): una carica immersa in un campo magnetico subisce una forza data dal prodotto vettoriale tra \(qv\) e \(B\): se la carica è ferma o si muove parallelamente al campo magnetico, tale forza sarà nulla.

Legge di Faraday-Neumann Lenz: una variazione di flusso del campo magnetico concatenato a un circuito comporta la presenza di una corrente, detta indotta, nel circuito stesso.