monomi; polinomi

"l'area di un quadrato è data dalla misura del suo lato elevata al quadrato"

"lo spazio percorso da un corpo in moto rettilineo uniforme è dato dal prodotto tra velocità tempo"

"comprami 3 mele e 6 arance, prendi pure i soldi dal mio portafogli."

Gli esempi appena riportati si riferiscono a situazioni estremamente comuni sia nello studio sia nella vita quotidiana. Ciò che accomuna le tre situazioni è che l'area del quadrato, lo spazio percorso, la spesa per la frutta possono tutti essere calcolati tramite somme e prodotti:$$\begin{align}\text{Area: }&\quad l\cdot l\\ \text{Spazio: }&\quad v\cdot t \\ \text{Spesa: }&\quad 3m+6a\end{align}$$dove abbiamo indicato rispettivamente con \(m\) e \(a\) il costo di una mela e di un'arancia.

Monomi

In matematica definiamo monomio qualunque prodotto costituito da numeri e letterali: la parte numerica prende il nome di coefficiente mentre le lettere formeranno la cosiddetta parte letterale. Riportiamo qualche esempio di monomio:

  • \(3x^2y\): l'elevamento a potenza di un letterale è lecito in quanto sottintende una moltiplicazione. Il monomio poteva infatti essere scritto come \(3xxy\);
  • \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}a\): poiché le operazioni di radice e di divisione compaiono esclusivamente nel coefficiente, l'espressione è ancora un monomio in quanto il termine \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\) viene considerato in blocco come un unico numero;
  • \(3\): un'espressione priva di letterali è ancora un monomio;
  • \(2^\pi x^4\): pur non essendo rappresentato da cifre, \(\pi\) è un numero e pertanto fa parte del coefficiente invece che della parte letterale. Per questo motivo, il fatto che compaia in un esponente non crea nessun problema.

Vediamo ora anche qualche esempio di espressioni che non sono monomi:

  • \(2x^2yz^{-3}\): le potenze con esponente negativo non possono essere convertite in prodotti e pertanto non possono essere applicate ai letterali;
  • \(\frac{1}{x}\): un monomio non può contenere letterali al denominatore;
  • \(4+x\): poiché l'operazione di somma coinvolge anche la parte letterale, l'espressione non è un monomio;
  • \(2^x\sqrt{y}|z|\): la parte letterale non può comparire ad esponente, sotto radice, in valore assoluto ecc.

Una volta compresa la nozione di monomio, possiamo fare un passo avanti e introdurre il concetto di grado rispetto a un letterale: dato un monomio e un letterale, diremo che il grado del monomio rispetto al letterale scelto è l'esponente associato al letterale all'interno del monomio. Ad esempio, il monomio \(-5x^3y^2\) ha grado \(3\) rispetto a \(x\) e grado \(2\) rispetto a \(y\). Più in generale, diremo che il grado di un monomio è la somma dei gradi relativi a tutti i letterali compresi nel monomio: se consideriamo nuovamente il monomio \(-5x^3y^2\) possiamo quindi dire che il suo grado sarà $$3+2=5.$$

Operazioni tra monomi (non nulli)

  • Somma (e sottrazione): la somma di due o più monomi restituisce come risultato un monomio se e solo se i monomi da sommare sono simili tra loro, ovvero hanno tutti la stessa parte letterale. In tal caso la somma viene calcolando lasciando inalterata la parte letterale dei monomi e sommando tra loro i coefficienti $$2xy-3xy+\frac{1}{2}xy=-\frac{1}{2}xy.$$Qualora non tutti gli addendi siano simili tra loro, ci limiteremo a fare una somma parziale e osserveremo che il risultato non sarà più un monomio $$3x^2+4xy-x^2=2x^2+4xy.$$
  • Prodotto: il prodotto tra monomi si esegue moltiplicando tra loro i coefficienti e le parti letterali. Il risultato sarà un monomio che avrà come coefficiente il prodotto tra tutti i coefficienti mentre per ciascun letterale sommeremo l'esponente con cui compariva nei vari fattori$$-2x^4y^2\cdot 3xy^3z=-6x^{4+1}y^{2+3}z^{0+1}=6x^5y^5z.$$
  • Quoziente: il rapporto tra due monomi restituisce come risultato un altro monomio se e solo se il monomio a numeratore ha grado maggiore o uguale di quello al denominatore rispetto a tutti i letterali contenuti in quest'ultimo. In tal caso a ogni letterale avrà come esponente la differenza degli esponenti che aveva a numeratore e denominatore; il coefficiente sarà invece il rapporto dei due coefficienti $$\frac{8a^6x^3y}{6a^2x^3}=\frac{8}{6}a^{6-2}x^{3-3}y^{1-0}=\frac{3}{2}a^4y.$$Nel caso in cui un letterale abbia grado maggiore a denominatore, allora nel quoziente esso avrà esponente negativo e pertanto il risultato non sarà più un monomio $$\frac{xy^3}{x^2y}=x^{1-2}y^{3-1}=x^{-1}y^2=\frac{y^2}{x}.$$

Polinomi

Quando abbiamo definito la somma tra monomi abbiamo visto come essa non dia sempre vita a un nuovo monomio: in generale, diremo che la somma tra monomi è un polinomio. Sempre dai monomi, viene ereditato il concetto di grado: diremo infatti che il grado di un polinomio è dato dal massimo tra i gradi di tutti i monomi che lo compongono. Consideriamo, ad esempio, il polinomio$$p(x,y)=2x^2+5xy^4-x^3$$rispetto al letterale \(x\): poiché il polinomio è formato da un monomio di secondo grado, uno di primo e uno di terzo, diremo che esso ha grado \(3\) rispetto a \(x\). In modo simile, osservando che i monomi hanno grado zero, quattro, e nuovamente zero rispetto a \(y\), affermeremo che il polinomio \(p\) ha grado \(4\) rispetto a \(y\). Infine, visto che i tre monomi hanno grado generale rispettivamente pari a due, cinque e tre, diremo che il polinomio è di quinto grado.

Operazioni tra polinomi (non nulli)

  • Somma (e sottrazione): la somma tra polinomi è sempre un polinomio e si ottiene sommando tutti i monomi simili tra loro e ricopiando tutti gli altri. Ad esempio $$(2x^3+4a^2x+5)+(3xz-2a^2x+1)=2x^3+2a^2x+6.$$In alcuni casi in cui si presentano particolari cancellazioni, la somma di polinomi può avere grado inferiore ai due addendi. Ad esempio, sommando i polinomi di II grado \(x^2+2x\) e \(-x^2+1\) si ottiene il polinomio di I grado \(2x+1\).
  • Prodotto: il prodotto tra polinomi è ancora un polinomio, che avrà per grado la somma dei gradi dei fattori e che può essere calcolato applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma. Più semplicemente, il prodotto tra due polinomi si ottiene moltiplicando ogni monomio del primo fattore per ciascun monomio del secondo, come si può vedere in questo esempio $$(3a-a^2b+b^3)\cdot(2a^2+b)=3a(2a^2+b)-a^2b(2a^2+b)+b^3(2a^2+b) \\=6a^3+3ab-2a^4b-a^2b^2+2a^2b^3+b^4.$$

Prodotti notevoli

Alcuni prodotti tra polinomi presentano delle semplificazioni particolarmente utili e per questo motivo vengono detti prodotti notevoli. I più usati sono i seguenti: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \\ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \\ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \\ (a-b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 $$