definizione (forma esplicita e implicita); interattivitàparallelismo e perpendicolarità;rette passanti per uno o due puntiesercizi

Definizione 

In geometria euclidea, rette e segmenti sono concetti primitivi, ovvero sono nozioni il cui significato viene lasciato a livello intuitivo. In geometria analitica però possiamo definire una retta come una curva descritta da un'equazione di I grado, ovvero del tipo $$ax+by+c=0$$

Per disegnarla è necessario conoscerne due punti distinti, tuttavia non è sempre semplice riuscire a trovare rapidamente valori \( x \) e \( y \) che soddisfino l'equazione della retta. Per ovviare a questo problema, possiamo riscrivere l'equazione della retta in forma equivalente isolando a primo membro la \( y \) o, laddove non sia possibile, la \( x \). Si possono verificare i seguenti due casi:

$$b=0 \Rightarrow ax+c=0 \Rightarrow x=-\frac{c}{a} \Rightarrow x=k$$

$$b\neq 0 \Rightarrow by=-ax-c \Rightarrow y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} \Rightarrow y=mx+q.$$

Nel primo caso il parametro \(k\) rappresenta l'intersezione tra la retta e l'asse delle ascisse; nel secondo caso il parametro \(q\) (intercetta) indica dove viene intersecato l'asse delle ordinate mentre il parametro \(m\) (coefficiente angolare o pendenza) rappresenta l'inclinazione della retta. Più nello specifico, dati due punti della retta \(m\) può essere calcolato come

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

e pertanto viene anche detto rapporto incrementale.

In termini molto informali, possiamo dire che rappresenta il rapporto tra il numero di quadretti percorsi in verticale e il numero di quadretti percorsi in orizzontale per spostarci da un punto all'altro della retta. Ad esempio, \(m=2\) (visto come \(\frac{2}{1}\)) indica che ad ogni spostamento di due quadretti in verticale ne corrisponde uno di un quadretto in orizzontale. Alternativamente, possiamo osservare che \(m\) è la differenza di ordinata tra i due punti della retta che hanno ascissa \(1\) e \(0\) rispettivamente.

Parallelismo e perpendicolarità

Oltre che per disegnare una retta, il coefficiente angolare risulta particolarmente utile quando si vuole determinare se due rette sono parallele o perpendicolari. Date due rette (oblique) di equazioni 

$$\begin{gather*}
r_1:y=m_1x+q_1\\
r_2:y=m_2x+q_2
\end{gather*}$$possiamo infatti affermare che$$\begin{gather*}
r_1\parallel r_2 \iff m_1=m_2\\
r_1\perp r_2 \iff m_1m_2=-1.
\end{gather*}$$

Rette passanti per punti dati

Nei paragrafi precedenti abbiamo visto come trovare dei punti di una data retta. A volte però siamo interessati al problema inverso, ovvero ricavare l'equazione di una retta a partire da due punti \(P_1=(x_1,y_1)\) e \(P_2=(x_2,y_2)\) noti. Osservando che la retta \(P_1P_2\) è il luogo dei punti \(P=(x,y)\) che formano con \(P_2\) (o \(P_1\)) lo stesso rapporto incrementale che si ha tra \(P_1\) e \(P_2\), possiamo definire \(r\) tramite l'equazione
$$\frac{y-y_2}{y_1-y_2}=\frac{x-x_2}{x_1-x_2},$$

o, esplicitando \(y\), $$y=y_2+\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_2).$$

Per ottenere un'equazione valida anche per le rette verticali basta riscrivere il tutto nella forma
$$(y-y_2)(x_1-x_2)=(x-x_2)(y_1-y_2).$$Per un solo punto noto \(P_0=(x_0,y_0)\) invece passano infinite rette, che generano un cosiddetto fascio proprio. L'equazione di tale fascio può essere ottenuta per traslazione a partire dall'equazione del fascio di rette passanti per l'origine:
$$\begin{align*}
\left.
\begin{array}{cl}
y=mx & \text{fascio di rette passanti per l'origine}\\
\Downarrow \\
y-y_0=m(x-x_0) & \text{fascio di rette passanti per \((x_0,y_0)\)}.
\end{array}
\right.
\end{align*}$$

Alternativamente, l'equazione del fascio poteva essere trovata a partire dalla classica equazione \(y=mx+q\) e determinando \(q\) in funzione di \(m\) imponendo il passaggio per \((x_0,y_0)\).
Nota bene: la retta verticale di equazione \(x=x_0\) non è compresa nell'equazione del fascio e pertanto va considerata a parte.

Mentre tutti i ragionamenti e le formule viste finora per le rette valgono anche per i segmenti (essendo essi sottoinsiemi di rette), ci sono alcune formule relative ai segmenti che non ha senso applicare alle rette: nello specifico adesso ripasseremo i concetti di punto medio e lunghezza:

  • dato un segmento \(AB\) definiamo il suo punto medio \(M\) come quel punto equidistante da entrambi gli estremi. Le sue coordinate si trovano calcolando le medie aritmetiche delle ascisse e delle ordinate dei punti \(A\) e \(B\), ovvero$$M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right).$$Per una retta invece, qualsiasi suo punto può essere visto come un punto medio in quanto divide la retta in due parti perfettamente simmetriche;
  • la distanza di un segmento si calcola con la seguente formula:$$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}.$$Nel caso della retta, possiamo dire che la sua lunghezza vale \(+\infty\).

Esercizio

Determinare l'equazione dell'asse del segmento \(AB\), dove \(A=(-1,1)\) e \(B=(2,3)\).

Risoluzione:
l'asse di un segmento è la retta che perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio. Il punto medio del segmento può essere facilmente determinato calcolando la media aritmetica delle coordinate dei punti \(A\) e \(B\):$$\begin{gather*}
x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}\\
y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{1+3}{2}=2.
\end{gather*}$$Il fascio di rette di centro \(M\) ha quindi equazione$$y-2=m\left(x-\frac{1}{2}\right).$$Per determinare il valore del coefficiente angolare, calcoliamo il rapporto incrementale tra \(A\) e \(B\), ovvero la pendenza del segmento \(AB\):$$m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-1}{2-(-1)}=\frac{2}{3}.$$Il prodotto dei coefficienti angolari di due rette perpendicolari vale \(-1\), pertanto troviamo facilmente \(m\): $$m_{AB}m=-1\Rightarrow \frac{2}{3}m=-1\Rightarrow m=-\frac{3}{2}.$$L'equazione della retta cercata sarà in conclusione
$$y-2=-\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)\Rightarrow y=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{4}.$$