proporzioni; percentuali; proporzionalità diretta e inversa; altre proporzionalità

 

Due cariche elettriche si attraggono con una forza di intensità \(F\): come varia questo valore se raddoppiamo la distanza tra le cariche?

A un libro che costa \(60€\) viene applicato uno sconto del \(20\%\). Quanto verrà pagato il libro?

Proporzioni

I problemi presentati nell'introduzione di questa lezione rientrano entrambi nello studio delle proporzioni. In matematica, ma non solo, le proporzioni sono relazioni, tipicamente definite tra quattro elementi, che presentano a due a due una qualche associazione comune. In formula una proporzione viene indicata scrivendo $$a:b=c:d$$e viene letta "\(a\) sta a \(b\) come \(c\) sta a \(d\)". I termini \(a\) e \(d\) vengono detti estremi della proporzione mentre \(b\) e \(c\) prendono il nome di medi. Per chiarire ulteriormente quanto appena detto, presentiamo di seguito alcuni classici esempi di proporzione logica:

  • mano:braccio=piede:gamba. In entrambe le coppie (mano, braccio) e (piede, gamba) il primo elemento è una parte del secondo, pertanto la relazione scritta è effettivamente una proporzione. Alla stessa conclusione si poteva giungere considerando le coppie (mano, piede) e (braccio, gamba), osservando come il secondo elemento sia il corrispondente "inferiore" del primo elemento. 
  • gesso:insegnante=bisturi:dottore. In questo caso il primo elemento di ogni coppia è uno strumento usato dal secondo elemento.
  • metro:lunghezza=secondo:tempo. Qui il primo elemento è l'unità di misura del secondo.

Nelle proporzioni matematiche invece, i termini \(a,b,c,d\) sono numeri, il simbolo ":" indica una vera e propria divisione, mentre "=" rappresenta il classico simbolo di uguaglianza. La proporzione \(a:b=c:d\) può quindi essere riscritta nella forma $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$Usando le proprietà delle equazioni, la relazione appena trovata può essere espressa equivalentemente scrivendo $$\frac{a}{c}=\frac{b}{d} \\ \frac{d}{b}=\frac{c}{a},$$dalle quali deduciamo che scambiando di posto medi o estremi si ottiene un'altra proporzione equivalente. Per fissare quanto abbiamo detto presentiamo un esempio molto semplice: $$ 2:6=10:30 \iff 2:10=6:30 \iff 30:10=6:2 \iff 30:6=10:2.$$

Percentuali

Una classica applicazione delle proporzioni consiste nel calcolo delle percentuali, infatti l'affermazione \(20\) è il \(10\%\) di \(200\) è rappresentata dalla proporzione $$20:200=10:100.$$In generale, se indichiamo con \(x\) la quantità pari all'\(n\)% di un certo numero \(X\) scriveremo $$x:X=n:100$$o, equivalentemente $$x=\frac{n}{100}X.$$Da questo possiamo dedurre l'equivalenza tra le due espressioni $$n\% \text{ di } X\leftrightarrow \frac{n}{100}X.$$Nell'introduzione ci eravamo chiesti quale sarebbe stato il costo di un libro se il suo prezzo di \(80€\) dopo uno sconto del \(20\%\). Alla luce di quanto abbiamo detto, possiamo risolvere il quesito nel seguente modo: innanzitutto osserviamo che il prezzo finale \(x\) del libro sarà l'\(80\)% del prezzo iniziale \(X\). Impostando ora la proporzione otteniamo $$x:X=80:100\Rightarrow x=\frac{80}{100}X=\frac{4}{5}80=64€.$$Concludiamo il paragrafo analizzando cosa succede nel caso di applicazione di due o più percentuali consecutivi. Partendo da un numero \(X\) calcoliamone dapprima l'\(n_1\)% e successivamente l'\(n_2\)% del risultante: $$X\stackrel{n_1\%}{\longmapsto} \color{#0000FF}{x_1}=\color{#0000FF}{\frac{n_1}{100}}X\stackrel{n_2\%}{\longmapsto} \color{#FF0000}{x_2}=\color{#FF0000}{\frac{n_2}{100}}\color{#0000FF}{x_1}=\color{#FF0000}{\frac{n_2}{100}}\color{#0000FF}{\frac{n_1}{100}}X.$$Deduciamo allora che per calcolare percentuali consecutive basta semplicemente moltiplicare tra loro i vari fattori percentuali; in particolare, usando la proprietà commutativa della moltiplicazione, ci accorgiamo che l'ordine di applicazione delle percentuali è ininfluente.

Concludiamo il paragrafo definendo le variazioni percentuali, particolarmente utilizzate in statistica per descrivere errori o aumenti/diminuizioni di variabili quantitative. Se una grandezza \(x\) passa da un valore \(x_1\) a un valore \(x_2\) definiremo la variazione percentuale di \(x\) come $$\Delta x_{p}=\frac{x_2-x_1}{x_1}\cdot 100\%.$$Similmente, possiamo anche definire la variazione assoluta secondo la formula $$\Delta x_a=x_2-x_1.$$ A titolo di esempio, se un'azienda produce un fatturato pari a \(500\) milioni nel 2015 e pari a \(700\) milioni nel 2016, la variazione assoluta sarà ovviamente di \(200\) milioni, mentre quella percentuale sarà pari a $$\frac{700-500}{500}\cdot 100\%=40\% .$$Per mezzo delle formule inverse, siamo invece in grado di calcolare il valore finale di una quantità a partire dalla sua variazione percentuale, scrivendo $$x_2=x_1+\Delta x_p \cdot x_1.$$ Dire ad esempio che una quantità subisce un aumento del \(100\%\) vuol dire che tale quantità viene raddoppiata, infatti $$x_2=x_1+\frac{100}{100}x_1=2x_1.$$Gli interessi bancari sono un perfetto caso di variazione percentuale, dato che un capitale \(C_1\) soggetto a un tasso di interesse \(i\) si trasformerà secondo la formula $$C_2=C_1+\frac{i}{100}C_1.$$In modo analogo anche gli sconti sono un tipo di variazione percentuale, con la differenza che il tasso percentuale va ora considerato con segno negativo; riprendendo l'esempio del libro, il prezzo scontato poteva infatti essere scritto nel seguente modo $$x=X-\frac{20}{100}X=80-16=64€.$$

Proporzionalità diretta e inversa

Per definire il concetto di proporzionalità, partiamo da un semplice esempio di proporzione: dati due cerchi \(\mathcal{C}_1\) e \(\mathcal{C}_2\), le misure dei rispettivi raggi e delle rispettive circonferenze rispettano la proporzione $$R_1:C_1=R_2:C_2,$$infatti $$\frac{C_1}{R_1}=\frac{C_2}{R_2}=2\pi.$$La proporzione che abbiamo appena considerato è stata costruita a partire dai cerchi \(\mathcal{C}_1\) e \(\mathcal{C}_2\), ma è in realtà applicabile a qualsiasi coppia di cerchi. Data la sua generalità, ci piacerebbe allora trovare un modo di esprimere il legame tra raggio e circonferenza per mezzo di un'espressione universale, non legata a due cerchi particolari. Questo può essere fatto osservando che per tutti i cerchi, il rapporto tra circonferenza e raggio rimane invariato $$\frac{C}{R}=2\pi.$$Diremo allora che le misure di raggio e circonferenza sono grandezze direttamente proporzionali. Più in generale, due grandezze \(y\) e \(x\) si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante. Alcuni esempi classici di grandezze direttamente proporzionali sono i seguenti:

  • spostamenti e intervalli di tempo nel caso del moto rettilineo uniforme;
  • misura di un angolo in gradi e misura di un angolo in radianti;
  • misura del lato e della diagonale di un quadrato;
  • profondità e pressione idrostatica;
  • tensione e corrente elettrica in un resistore ohmico.

La proporzionalità diretta tra due grandezze ha anche un'utile interpretazione grafica: date due grandezze \(y\) e \(x\) direttamente proporzionali, sappiamo per definizione che il loro rapporto è costante, ovvero $$\frac{y}{x}=k.$$Portando \(x\) al numeratore, otteniamo l'equazione $$y=kx,$$che rappresenta nel piano cartesiano una retta passante per l'origine. La costante \(k\) rappresenta il coefficiente angolare della retta, ovvero la variazione della grandezza \(y\) corrispondente a una variazione unitaria di \(x\).

 

La proporzionalità diretta non è l'unico tipo di proporzionalità che si studia in matematica. come possiamo osservare se pensiamo ad esempio alla relazione tra la pressione esercitata da un fluido e l'area della base del recipiente che lo contiene: se spostiamo il fluido in un recipiente con base più ampia, la pressione esercitata su di essa diminuisce, in quanto il peso del fluido risulta distribuito su una superficie maggiore. A livello matematico questo si può notare ricordando che forza (in questo caso, peso), superficie e pressione sono legati dalla seguente formula $$F=p\cdot S.$$Poichè il peso del fluido non cambia quando quest'ultimo viene spostato da un recipiente all'altro, possiamo considerare \(F\) come una costante. A differenza della proporzionalità diretta, siamo ora in presenza di due grandezze il cui prodotto è costante: grandezze di questo tipo si diranno inversamente proporzionali. Ricapitolando, diciamo che due grandezze \(y\) e \(x\) sono inversamente proporzionali se $$x\cdot y=k,$$dove \(k\) è una costante. Se esplicitiamo \(y\) nell'equazione appena scritta ricaviamo la formula $$y=\frac{k}{x},$$ che rappresenta un'iperbole nel piano cartesiano.

 

Altri tipi di proporzionalità

Lo studio delle proporzionalità diretta e inversa è molto importante in quanto tramite esso possiamo dedurre come cambiano i valori di una quantità \(y\) in risposta alla variazione di una variabile \(x\). Ad esempio, per grandezze direttamente proporzionali, raddoppiare, triplicare o quadruplicare \(x\) comporta il raddoppiamento, la triplicazione o la quadruplicazione anche di \(y\). Nel caso di grandezze inversamente proporzionali invece raddoppiare \(x\) implica il dimezzamento di \(y\), triplicare \(x\) comporta la divisione di \(y\) per \(3\) e così via...

In fisica però ci troviamo spesso a che fare con proporzionalità leggermente diverse da queste: se consideriamo l'attrazione gravitazionale tra due corpi $$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$$notiamo come la forza \(F\) sia legata a doppio filo con la distanza tra i due corpi \(r\). Tenendo presente che \(G,m_1,m_2\) sono costanti, possiamo sostituire il loro prodotto con un'unica costante \(k\) e riscrivere $$F=\frac{k}{r^2}.$$La relazione ricavata somiglia molto alla legge di proporzionalità inversa, ma differisce da essa a causa dell'elevamento al quadrato di \(r\): possiamo dire allora che tra \(F\) ed \(r\) sussiste una proporzionalità quadratica inversa o, più semplicemente, che il quadrato di \(r\) è inversamente proporzionale ad \(F\). In questo caso, se raddoppiamo o triplichiamo \(r\), \(F\) non si riduce di un fattore \(2\) o \(3\) bensì di un fattore \(2^2=4\) o \(3^2=9\).

Altri esempi interessanti di proporzionalità sono i seguenti: 

  • le misure di area e lato di un quadrato sono legate da una proporzionalità quadratica diretta. Se raddoppiamo il lato, l'area quadruplica e così via...
  • se lasciamo cadere un grave da una quota \(h\), la velocità con cui esso tocca terra è data dalla formula $$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2g}\sqrt{h}=k\sqrt{h},$$ pertanto possiamo dire che \(v\) è direttamente proporzionale alla radice di \(h\). In questo caso, se raddoppiamo la quota di partenza, la velocità di impatto risulterà amplificata di un fattore \(\sqrt{2}\approx 1.4\)...
  • il lavoro \(L\) compiuto da un gas durante una trasformazione isoterma è legato al fattore di espansione/compressione \(\frac{V_{fin}}{V_{ini}}\) dall'equazione $$L=nRT\log\frac{V_{fin}}{V_{ini}}$$e parleremo di proporzionalità logaritmica.