Videolezione sui teoremi della divergenza e del rotore

Lo scopo di questa videolezione è quella di fornire una spiegazione intuitiva relativa a due teoremi dall'enunciato particolarmente astratto, di cui riportiamo l'enunciato qui di seguito.

Teorema della divergenza: sia \(\vec{E}=(E_x,E_y,E_z)\) un campo vettoriale di classe \(C^1\) su un insieme compatto \(V\); sia la frontiera di \(V\) una superficie liscia e chiusa, allora $$\iint_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} \,dS = \iiint_V (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) \,dV .$$

Teorema del rotore: sia \(\vec{E}=(E_x,E_y,E_z)\) un campo vettoriale di classe \(C^1\) e \(C\) una curva regolare a tratti, semplice e chiusa. Chiamata \(S\) la regione racchiusa da \(C\), si ha $$\oint_{C} \vec{E} \cdot d\vec{l} = \iint_S (\vec{\nabla} \times \vec{E}) \,dxdy.$$

Entrambi i teoremi hanno in comune l'idea di calcolare qualcosa di "macroscopico" (il flusso attraverso una superficie o la circuitazione lungo un cammino chiuso) per mezzo di caratteristiche locali del campo (divergenza e rotore di un campo): un classico esempio di applicazione di questi teoremi si ha nel passaggio dalla forma differenziale alla forma integrale delle equazioni di Maxwell, dando a questi teoremi un'importanza fondamentale nel mondo scientifico. L'idea su cui ci baseremo consisterà nel vedere divergenza e rotore come la versione "infinitesima" di flusso e circuitazione, che pertanto (sotto opportune ipotesi) potranno essere calcolati proprio tramite integrazioni dei loro corrispettivi infinitesimi.