esercizi sui logaritmi

Es.1: Ricordando che il \(\log_a b\) è l'esponente da dare al numero \(a\) per trasformarlo nel numero \(b\) (ad esempio \(\log_2 8= 3\) in quanto \(2^3=8\), calcolare i seguenti logaritmi: $$\log_2 {16} \\ \log_3 9 \\ \log_5 1 \\ \log_3 3 \\ \log_\frac{1}{2} \frac{1}{4} \\ \log_\sqrt{2}4 $$

Es.2: Scrivere sotto forma di un'unica potenza le espressioni: $$2\cdot\sqrt[5]{8} \\  \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} \\ 9\cdot2^{2x} -2\cdot 4^{x+1} $$

Es.3: Risolvere le equazioni: $$4\sqrt{2^x}= 8^{x-3} \\ -\sqrt{3}+\frac{9^x}{\sqrt{3}}-3^{2x-1} + 1=0 \\ 2\cdot 3^x =3\cdot 2^x $$

Es.4: Calcolare il valore della lettera nelle seguenti relazioni: $$\log_a 8=2 \\ \log_\sqrt{3} b = 4 \\ \log_{10} 0,00001 = y \\ \log_{123456789} b= 0 \\ \log_a 32= 5$$

Es.5: risolvere le seguenti equazioni:$$\left( \frac{2}{3} \right)^{x+1}=\left( \frac{3}{2} \right) ^{3x+4} \\ 3^x3^{\sqrt{x+1}}=3^5 \\ \frac{9^{x+1}}{3}\sqrt{9^x\,3^{x+1}}=9 \\ \frac{2^{3x}}{\sqrt{2^9}}+3^{2x-4}=\frac{2^{3x}}{\sqrt{2^{13}}}+3^{2x-3}$$

Es.6: risolvere le seguenti equazioni:$$\log x + \log x^2 +\log x^3 +\log x^4 =20 \\ \log(x^2-7x+110)=2 \\ 2\log_9 2+\log_3\sqrt{x+1}-\log_3 \sqrt{2x-7} =3\log_{27} 2 \\ \log\frac{8-2^{2x}}{4}-\log(3+4^{-2x})=\log\frac{16}{49}$$

Es.7: risolvere le seguenti disequazioni:$$-2^{-3x} \leq 0 \\ \left( \frac{2}{5} \right)^x>\frac{8}{125} \\ 5^x+7\cdot 5^{2x} -2 > 0 \\ 3^{x+1}+3^{x-1}>4^x+2^{2x-1}$$

Es.8: risolvere le seguenti disequazioni:$$\log(3x-2) \geq 0 \\ \log_{\frac{1}{3}}(x^2-8)<0 \\ \log(x^2-x-1)>0 \\ \log_2 \frac{x+1}{x-1}-\log_{\frac{1}{2}}\frac{x^2-3x+2}{x^2+1}<0$$

Es.9: risolvere le seguenti equazioni/disequazioni:$$\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2x+4} \\ 4^\frac{1}{x}\cdot4^\frac{1}{x+3}>4^\frac{-1}{2}  \\8^x\cdot 4^{3x}>16^{x+5} \\ 3^x-5+4\cdot3^{-x}>0 \\ 2^x+3^x+4^x+5^x+\ldots 100^x = 0 \\ 2\log_{10}(x-7)-\log_{10}(x+1)=1 \\ \log(1-x^2)\geqslant 0 \\ \log_2 x+\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x}<-2 \\ \ln(x^2+4x+5)>0 \\ \frac{\log_2(x+1)}{1-\log_4 x^2}>0$$

Es.10: risolvere le seguenti equazioni/disequazioni:$$3e^{x-2}>4 \\ \ln^2x<1 \\ e^{\sqrt{x}}-\sqrt{e} \geqslant 0  \\ \log_xe+1>0$$

Es.11: risolvere le seguenti disequazioni:$$\log_\frac{1}{2}(3x-5)<\log_\frac{1}{4}(2x-1) \\ \log_2\left(x^2-\frac{3}{4}\right)<-2 \\ 4^x+10\cdot 2^x+16\geqslant 0 \\ 2e^x\leqslant 3\cdot 5^x \\ \frac{1}{3^x-9}-\frac{1}{3^x+1}>0$$

Es.12: l'espressione \(\log_{\frac{1-x}{x+1}}x\) ha come CE

  1. \(0<x<1\)
  2. \(x<-1 \vee x>0\)
  3. \(x>0\)
  4. \(x>0,x\neq 1\)

Es.13: l'espressione \(\ln x \cdot \ln y\) equivale a

  1. \(\ln(xy)\)
  2. \(\ln(x+y)\)
  3. \(\ln y^{\ln x}\)
  4. \(\ln^{\ln y}x\)

Es.14, esercizi progressivi precompito: risolvere in ordine le seguenti equazioni, segnandosi a margine le proprietà di esponenziali e logaritmi usate:$$2^x=\frac{1}{8} \\ \log (x-16)=\log 105 \\ 9\cdot 5^{x+1}+5^{x+2}+5^{x+3}=3^{x+2}+3^{x+3}+3^{x+4} \\ \log 16x -\log 2x +\log 3x = \log 9 +\log 4 -\log 6 \\ 4^{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2}\cdot 4^{-\frac{9x}{4}}=4 \\ \log_3 \sqrt{2x+1} -\log_3 \sqrt{3x+4}=1-2\log_4 4 \\ 4+\frac{2}{3^x-1}=\frac{5}{3^{x-1}} \\ \log_x 3 \cdot \log_{\frac{x}{3}} 3 +\log_{\frac{x}{81}} 3 =0 \\4^x+6^x=9^x \\ x^{\log x}-4x^{-\log x}=3$$