Esercizi scritti per gli studenti di Scienze per l'ambiente e la natura

Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni: $$x^4-2x^2-8=0 $$ $$x^3+x^2-9x-9>0 $$ $$ |4x+1|>5 $$ $$|x|>|x+1|$$ $$ \frac{x}{x^2-4}\leqslant 0 $$ $$ \frac{1}{x}>x $$ $$ \sqrt{x^2-1}<3 $$ $$ \sqrt{2x-4}-\frac{x}{2}>0 $$ $$ \sqrt{2x-4}+2-x\geqslant 0 $$ $$\sqrt{x^2-x-2}<2x+6 $$ $$ \frac{x^2+2x}{\sqrt{x}}>0 $$ $$ \ln(4+x^2)>0$$ $$\log_2\frac{x}{x+1}=1$$ $$\ln(x+1)+\ln 4 +2\ln x=0 $$ $$ 4^x-3\cdot 2^x+2>0 $$ $$ e^{\sqrt{2x^2+1}}+2>0 $$ $$ 2^{x^2}=\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} $$ $$ \sin(2x)=0 $$ $$ \sin x-\cos(2x)>0 $$ $$ \sin x +\sin 2x<0 $$ $$ \tan^2x-1\leqslant 0 $$ $$ \sin x +\tan x \geqslant 0 $$ $$ \sin\sqrt{x}+\cos\sqrt{x} = 0 $$ $$ \frac{\tan x }{2\cos^2 x -1}<0 $$

Determinare il dominio delle funzioni: $$f(x)=\ln(x^3+5x-6)$$ $$f(x)=\sqrt{\log_2 x-\log_\frac{1}{2} x}$$ $$f(x)=\frac{e^{x^3+1}}{\sqrt{2x-4}-\frac{x}{2}}$$ $$f(x)=\ln(x+1)+\sqrt{x^2+x}$$ $$f(x)=\sqrt{\frac{e^x}{1-e^x}}$$ $$f(x)=\ln(3-\sqrt{x^2-1}) $$

Determinare le intersezioni con l'asse \(x\) delle funzioni: $$f(x)=2\cos^2 x+ \cos x -1 \\ f(x)=e^{x^2+3x}-1 \\ f(x)=2\cdot 3^x-4^{x+1} \\ f(x)=e^\frac{2}{x+1}-\frac{1}{e}$$ $$f(x)=|x^2-1|+x-1$$ $$f(x)=2\sin x -\tan x$$

Studiare dominio, intersezioni con gli assi e segno delle seguenti funzioni: $$f(x)=\ln \frac{3x}{x^2-4} \\ f(x)=\sqrt{\ln(4-x^2)} \\ f(x)=\frac{x (\ln x+1)}{\ln^2 x}<0 \\ f(x)=\frac{1}{ x+|x|}$$ $$\ln(\tan x)$$

Stabilire per quali valori del parametro \(a\in\mathbb{R}\) le seguenti funzioni sono invertibili: $$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^2+1 \quad & \text{se \(x<0\)}\\ ax \quad & \text{se \(x\geqslant 0\)} \end{array} \right. $$

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l}1+\log_2 x  \quad & \text{se \(x>1\)}\\ e^{ax}-1 \quad & \text{se \(x\leqslant 1\)} \end{array} \right.$$

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l} |x+a| \quad & \text{se \(x<0\)}\\ 1-x \quad & \text{se \(x\geqslant 0\)} \end{array} \right. $$

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l} a\sin x \quad & \text{se \(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\)}\\ \left(\frac{x}{\pi}\right)^3 \quad & \text{se \(x\leqslant -\frac{\pi}{2} \vee x\geqslant \frac{\pi}{2}\)} \end{array} \right. $$ 

 

Determinare le controimmagini \(f^{-1}(I)\) dove $$f(x)=\frac{x+1}{x-1},\quad I=[0,3] \\ f(x)=\frac{x}{x^2+1}, \quad I=]1,+\infty[ \\ f(x)=1+2^{3x-1},\quad I= ]-3,17[ $$

Calcolare, se esistono, i seguenti limiti: $$\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^3-x^2+5}{6x-x^2} \\ \lim_{x\to -\infty}\frac{5x^2+4x}{3x^2-12x+1} \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{3x^3-5x^2+2x}{x^4+9x} \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{2x^2+5}}{3x} \\ \lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}) \\ \lim_{x\to +\infty}(\sqrt{4x^2+1}-2x) \\ \lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2+1}+x) \\ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \\ \lim_{x\to 0} \frac{e^{-x}-1}{x} \\ \lim_{x\to +\infty} x\sin\frac{1}{x} \\ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(3x)}{\log(1+5x)} \\ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^2)}{1-\cos x}$$

Calcolare le derivate delle funzioni: $$f(x)= 4x^3-5x^2+2x\\ f(x)=\sqrt[3]{x} \\f(x)=\frac{1}{x^4} \\ f(x)= \frac{x^2}{x-1} \\ f(x)=\frac{5x-2}{3x^2+x+2} \\ f(x)=\frac{1}{x^4+e^{6x}} \\ f(x)=x^3e^x \\ f(x)=e^{\sin x} \\ f(x)=\sqrt{6x^2-3} \\ f(x)= \sin^2 x \\ f(x)= 3e^{x^2}\ln(x+1) \\ f(x)= \frac{\ln x}{x} \\ f(x)= 3\sin x-4\cos(x^3) \\ f(x)= \frac{1}{\sqrt{x}}+2\ln(\cos x) \\ f(x)= \frac{2}{x}-\frac{1}{x^2} \\ f(x)=\sin(e^{-x^2}).$$

Calcolare usando la regola di de l'Hopital i seguenti limiti $$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-6x)}{\sin(\pi x)} \\ \lim_{x\to 1^+} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \\ \lim_{x\to 2} \frac{x^2-3x+2}{x^2-4} \\ \lim_{x\to 0^+} x\ln x \\ \lim_{x\to -\infty } xe^x \\ \lim_{x\to +\infty} \frac{e^{2x}-x^2}{e^x+3x} \\ \lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x}$$ 

Determinare gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni: $$f(x)=\frac{x^2+1}{x+1} \\ f(x)=\frac{e^x}{x} \\ f(x)=\ln(e^x-1) \\ f(x)=\frac{2x^2+5}{x^2-3x} \\ f(x)=\frac{1}{\ln x} \\f(x)=e^{\frac{x+1}{x+2}} \\ f(x)=\frac{x^2-2}{\sqrt{x}}$$

Calcolare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto indicato: $$f(x)=\frac{x-1}{x+1}, \quad x_0=1 \\ f(x)=\frac{-1}{x^2+1}, \quad x_0=-2, \\ f(x)=e^{x^2-x}, \quad x_0=0 \\ f(x)=(4-x^2)^3, \quad x_0=2 \\ f(x)=xe^{x+1}, \quad x_0=-1 \\ f(x)=\ln(\sin x), \quad x_0=\frac{\pi}{3}. $$

Scrivere le leggi di funzioni che rispettino le seguenti caratteristiche:

  • \(f\) ha dominio \(]2,+\infty[\) e asintoto orizzontale destro di equazione \(y=3\);
  • \(f\) ha un punto di non derivabilità in \(x_0=\frac{3}{2}\) e ha come codominio l'intervallo \([-1,+\infty[\);
  • \(f\) ha asintoti verticali di equazione \(x=\pm 4\) e il suo grafico passa per l'origine;
  • \(\lim_{x\to 1^+}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to +\infty}f(x)=3\)     

Studiare dominio, limiti, asintoti, monotonia, massimi e minimi delle funzioni $$f(x)=\frac{x}{x^2-1} \\ f(x)= \frac{x^2+1}{x^2-4x} \\ f(x)=e^{\frac{x+1}{x-1}} \\ f(x)=\log x^2- \log(x+1) \\ f(x)=\sqrt{x^2-2} \\ f(x)=x^3\log x^3 \\ f(x)=\arctan{\frac{1}{x}} \\ f(x)=-3x+e^{2x} \\f(x)= (x^2-3x+2)e^{-x} \\ f(x)=\frac{e^{x+1}}{\sqrt{x}}$$

Risolvere i seguenti integrali indefiniti: $$\int(3x^4-2\sin x+6e^{x+2})\,dx \\ \int\frac{2x^3-1}{x^2}\, dx \\ \int x^2 e^{3x+4}\,dx \\ \int\sqrt{4x-6}\,dx \\ \int\cos^2x\,dx \\ \int x^{10}\log x\,dx  \\ \int (3x+1)\sin (2x)\, dx \\  \int \frac{2x+1}{x-1}\,dx \\ \int \frac{x^2}{x^2+1}\, dx \\ \int\frac{x}{x^2+1}\, dx \\ \int(e^x+1)(e^x+x)^4\, dx \\ \int \frac{1}{x\ln x}\,dx$$

Calcolare gli integrali definiti: $$\int_{-1}^1(x^3-3x)\, dx \\ \int_0^\pi \sin x\, dx \\ \int_{-1}^2 xe^{x+1}\,dx \\ \int_e^{e^2}\log x\, dx \\ \int_0^2\frac{x^2}{x^3+2}\, dx \\ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3x\,dx \\ \int_1^e\sqrt{\frac{\log x}{x^2}}\, dx \\ \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$$

Risolvere i problemi di Cauchy: $$\left\{\begin{array}{l} y'=x^2+e^x \\ y(0)=1 \end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l} y'=\frac{x}{1+x^2} \\ y(1)=\log 2 \end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l} y'=\ln ^2 x \\ y(e)=0 \end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l} y'=\sin x\cos x \\ y(\pi)=2 \end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l} y'=\frac{1}{x^2+4} \\ y(1)=\frac{\pi}{2} \end{array} \right.$$ 

Verificare che le funzioni indicate a sinistra sono soluzione dell'equazione differenziale riportata a destra: $$y=e^{2x}, \quad y'=2y \\ y=\frac{1}{x},\quad y'=-y^2 \\ y=\frac{2x^2-2x+1}{4},\quad y'+2y=x^2 \\ y=\frac{1+x^3}{3x}, \quad y'+\frac{y}{x}=x \\ y=-\frac{1}{\arctan x}, \quad y'=\frac{y^2}{x^2+1}$$

Studiare dominio, limiti, asintoti, monotonia, massimi e minimi e convessità delle funzioni $$f(x)=2x^2\ln(-x) \\ f(x)=x^2-\ln x \\ f(x)=(x^2+1)e^x \\ f(x)=e^\frac{1}{x+1} $$

Usare il teorema di de l'Hopital per calcolare i seguenti limiti: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+6x^2)}{1-\cos(2x)} \\ \lim_{x\to 5} \frac{x^2-25}{x^2-5x} \\ \lim_{x\to +\infty} \frac{(x-1)e^x}{e^{x^2}} \\ \lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}\log x^4 \\ \lim_{x\to +\infty} \frac{\log(x^2+1)}{\log(x+1)} \\ \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x+\sqrt{x}}{3x-2} \\ \lim_{x\to 0}\frac{2\cos x-2\cos (2x)}{4-\cos x}$$


Un lotto di \(100\) autovetture viene selezionato nel seguente modo: \(50\) auto provengono dal concessionario "A", \(30\) dal concessionario "B" e le restanti da un terzo concessionario "C". Sappiamo che le auto del concessionario A si guastano con una probabilità pari a \(0.01\), mentre per i concessionari B e C tale probabilità vale rispettivamente \(0.05\) e \(0.10\). Si chiede di determinare la probabilità di scegliere un'auto difettosa non conoscendo il concessionario di provenienza e infine di trovare la probabilità che un auto provenga dal concessionario B, sapendo che essa presenta difetti di fabbricazione.


Un'indagine relativa all'esame di matematica e statistica ci ha permesso di trarre le seguenti conclusioni:

  • uno studente ben preparato riesce a superare l'esame con una probabilità pari a \(0.9\);
  • uno studente con una preparazione approssimativa super l'esame con probabilità pari a \(0.20\);
  • ad una sessione d'esame circa un quarto degli studenti presenti ha una buona preparazione.

Alla luce delle informazioni riportate, determinare la probabilità che uno studente che ha superato l'esame non possieda in realtà una buona preparazione e la probabilità che uno studente si sia preparato bene pur non avendo superato l'esame.


In un'opera di fantascienza un'organizzazione terroristica crea un'arma biologica denominata T-virus e la usa per contaminare una cittadina degli Stati Uniti. Quando il virus raggiunge una diffusione del \(15\%\), tutti i cittadini vengono sottoposti a dei test diagnostici: essendo però il virus poco conosciuto, i test sono assai imprecisi, e forniscono esito positivo sul \(75\%\) dei malati ed esito negativo sul \(65\%\) dei sani. Calcolare la probabilità che un individuo positivo al test non sia stato colpito dal T-virus. 


Si consideri la funzione $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l}kx^2  \quad & \text{se \(0\leqslant x\leqslant 1\)}\\ k(2-x) \quad & \text{se \(1<x\leqslant 2\)} \\ 0 \quad & \text{altrove.} \end{array} \right.$$

  • Determinare per quale valore di \(k\) la funzione rappresenta la densità di una variabile casuale \(X\);
  • usando il valore trovato al punto precedente, calcolare \(P(X=1)\) e \(P(\frac{1}{2}<X<\frac{3}{2})\);
  • calcolare infine il valore atteso di \(X\).

Si consideri la funzione $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l}\cos x  \quad & \text{se \(0\leqslant x\leqslant k\)}\\  0 \quad & \text{altrove.} \end{array} \right.$$

  • Determinare per quale valore di \(k\) la funzione rappresenta la densità di una variabile casuale \(X\);
  • usando il valore trovato al punto precedente, calcolare \(P(\frac{\pi}{4}<X<\frac{2}{3}\pi)\) e \(P(\pi<X<2\pi)\).

Si consideri la funzione $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l}\frac{k}{2}(x+1)  \quad & \text{se \(-1\leqslant x\leqslant 0\)}\\ kx+\frac{k}{2} \quad & \text{se \(0<x\leqslant 1\)} \\ 0 \quad & \text{altrove.} \end{array} \right.$$

  • Determinare per quale valore di \(k\) la funzione rappresenta la densità di una variabile casuale \(X\);
  • usando il valore trovato al punto precedente, determinare \(\alpha\) tale che \(P(-1<X<\alpha)=0.5\);
  • calcolare infine il valore atteso e la varianza di \(X\).

Ripasso 

Studiare dominio, limiti e monotonia delle funzioni $$f(x)=\frac{x^2}{x^4+1} \\ f(x)=x^2+\ln x^2 \\ f(x)=e^\frac{1}{x^2+1}$$

Calcolare gli integrali $$\int\frac{2x-1}{3x+5}\, dx \\ \int \cos x e^{1-\sin x}\, dx \\ \int(x^2-2x-3)e^{-x}$$

Determinare per quali valori del parametro \(k\) le funzioni proposte sono soluzioni delle equazioni differenziali alla loro destra $$y=\sin(kx), \quad y''+4y=0 \\ y=e^{kx},\quad y''-6y'+9=0 \\ y=x-e^{kx},\quad  y'=2(y-x)+1$$ 

Determinare \(k\) in modo che$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l}k\frac{1}{1+x^2}  \quad & \text{se \(-1\leqslant x\leqslant 1\)}\\ 0 \quad & \text{altrove.} \end{array} \right.$$rappresenti una funzione di probabilità. Determinare inoltre valore atteso e varianza della variabile casuale associata \(X\) e infine calcolare \(P(0<X<\frac{1}{\sqrt{3}})\).

Supponiamo che i voti raccolti da \(100\) studenti durante un test di matematica si distribuiscano con buona approssimazione secondo una legge normale con media \(\mu=21\) e varianza \(\sigma^2=9\). Determinare la probabilità che uno studente scelto a caso super il test (voto\(\geqslant 18\)), la probabilità che uno studente ottenga un punteggio compreso tra \(24\) e \(28\) e infine determinare un intervallo di confidenza con livello di fiducia pari a \(95\%\) per la variabile "voto".  

Ripasso 

Studiare dominio, zeri, segno, limiti e monotonia della funzione $$f(x)=e^{3x}-e^x.$$Determinare inoltre l'equazione della retta tangente passante per il punto \((0,f(0))\).

Calcolare gli integrali $$\int \frac{e^{\arctan{2x}}}{1+4x^2}\, dx \\ \int x^2 \ln \sqrt{x}\, dx$$

Calcolare il seguente limite:$$\lim_{x\to 1}\frac{\sin(\pi x)}{\ln x} \\ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-\sin x-1}{x^2}$$ 

Determinare \(k\) in modo che la funzione$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l}k(x+3)  \quad & \text{se \(x\leqslant 0\)}\\ \frac{1-x}{2} \quad & \text{se \(x>0\)} \end{array} \right.$$sia invertibile. Determinare inoltre per quale \(k\) la funzione \(f\) risulta continua.

Verificare che$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l}\frac{x+3}{6}  \quad & \text{se \(-3\leqslant x\leqslant 0\)}\\ \frac{1-x}{2} \quad & \text{se \(0<x\leqslant 1\)} \\ 0  \quad & \text{altrove} \end{array} \right.$$è una densità di probabilità. Dopo aver rappresentato graficamente \(f\), scrivere la legge della funzione di ripartizione associata e calcolare il valore atteso della variabile casuale. Determinare inoltre la probabilità associata agli intervalli \([-5,-1]\) e \(]-2,\frac{1}{2}[\).

Supponiamo che la durata \(X\) della carriera universitaria per uno studente della Laurea triennale possa essere ben approssimata da una variabile casuale di tipo normale, con media \(\mu=3.5\) anni e deviazione standard \(\sigma=1.2\) anni. Determinare la probabilità che uno studente finisca fuori corso (ovvero che il suo percorso di studi duri più di \(4\) anni). Preso inoltre un gruppo di \(10\) studenti iscritti alla Laurea triennale, determinare la probabilità che esattamente \(3\) di loro siano fuori corso.

Un sondaggio effettuato su un campione di \(n=16\) individui rivela che il tempo medio di attesa in uno studio dentistico è pari a \(\bar{x}=20\) minuti, mentre la deviazione standard campionaria è di \(s=7\) minuti. Trovare un intervallo di confidenza con livello di fiducia del \(95\%\) per la variabile "tempo di attesa". Ripetere l'esercizio mantenendo gli stessi dati ma assumendo ora che il campione sia costituito da \(n= 64\) persone. 

Calcolare le derivate delle funzioni $$f(x)=\frac{e^{\arctan x}}{e^{3x}+x^2}\\ \log\frac{1}{\sin^2 x+1}$$

Calcolare gli integrali $$\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,dx \\ \int x^2(4x^3-1)^{99}\,dx\\ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\, dx \\ \int_0^1\frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}}\,dx\\ \int \ln(x^2+1)\, dx$$

Integrare tra \(-1\) e \(\frac{\pi}{4}\) la funzione $$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}1-x  \quad & \text{se \(x<0\)}\\ \cos x \quad & \text{se \(x\geqslant 0\)} \end{array} \right.$$