Esercizi sui limiti notevoli, sugli asintoti e sulla continuità

1) Calcolare, usando i limiti notevoli, i seguenti i limiti: $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{3x} \\ \lim_{x\to +\infty}x\log\left(1+\frac{1}{x}\right) \\ \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1-\cos 5x}}{x^2} \\ \lim_{x\to 0}\frac{1-e^{-x}}{x} \\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{1-\cos x} \\ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$$

2) Verificare che la funzione $$f(x)=\frac{x^2-1}{x}$$ammette come asintoti le rette di equazione \(y=x\) e \(x=0\).

3) Determinare gli asintoti della funzione $$f(x)=\log(|e^x-1|).$$(Sugg: studiare prima il dominio della funzione e calcolare i limiti agli estremi del dominio...)

4) Stabilire per quali valori di \(a\in\mathbb{R}\) la funzione $$ f(x) = \left\{ \begin{align} &ax^2-x\hspace{20pt}  &\text{ se \(x\geqslant 1\)} \\ &3-ax\hspace{20pt}  &\text{ se \(x <1\)} \end{align}\right. $$è continua in \(x=1\). Disegnare la funzione ottenuta.

5) Stabilire per quali valori del parametro \(n\in \mathbb{Z}\), la funzione $$f(x)=\left\{ \begin{align} &x^n\hspace{20pt}  &\text{se \(x>0\)} \\ &\cos x\hspace{20pt} &\text{se \(x<0\)} \end{align}\right.$$possiede una discontinuità in \(x=0\) di I, II o III specie.