Esercizi di ripasso 

1) Calcolare i seguenti limiti $$\lim_{x\to +\infty}\frac{x\sin x}{x^2+1} \\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(\pi- x)}{\pi x}$$

2) Dopo aver scritto in forma trigonometrica il numero complesso \(w=1+\sqrt{3}i\), risolvere l'equazione $$z^4=1+\sqrt{3}i.$$

3) Data una piramide a base quadrata (con spigolo \(l=2\)cm) e avente come facce laterali dei triangoli equilateri, si determini l'angolo che ciascuna faccia laterale forma con la base. Si calcoli poi la distanza tra ciascuna faccia laterale e il centro della base e infine si determini il volume della semisfera inscritta nella piramide.

4) Sia data la funzione $$f(x)=\frac{x^3}{x^2+2x}.$$Si determinino

• il dominio della funzione
• il segno
• gli asintoti della funzione
• eventuali punti di discontinuità (specificandone la specie)

5) Scrivere la formula che definisce la simmetria assiale rispetto alla retta \(y=2x\) e stabilire per quali valore del coefficiente angolare le rette \(y=mx\) sono unite.

6) Una sfera di volume \(V=288\pi cm^3\) è inscritta in un tronco di cono, la cui base maggiore supera in estensione quella minore di \(65\pi cm^2\). Determinare l'altezza del cono da cui è stato ottenuto il tronco.

7) Determinare il grafico probabile delle funzioni $$f(x)=x-\sqrt{x} \\ f(x)=e^\frac{1}{x}$$

9) Studiare le singolarità delle funzioni $$f(x)=\log_x e \\ f(x) = \arctan\frac{1}{x}$$

10) Calcolare i limiti $$\lim_{x\to 0}\frac{3x\sin x}{1-\cos(2x)} \\ \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{\sin x} \\ \lim_{x\to 0^+}\left(\log x +\sin\frac{1}{x}\right)$$

11) Dato il polinomio $$P(z)=z^5+z^3+8z^2+8,$$determinarne le radici e rappresentarle nel piano di Gauss. Usare i risultati ottenuti per fattorizzare completamente \(P(z)\).

12) Risolvere l'equazione $$z^2=|z|.$$(Sugg: in coordinate polari \(|z|=r\)...)