Esercizi sulla definizione di derivata, sulle regole di derivazione, sulle rette tangenti, sul differenziale

1) Calcolare per mezzo della definizione la derivata della funzione $$f(x)= 3x-x^2.$$

2) Stabilire se la funzione $$f(x) = \begin{cases} 1-x^2 & \text{se \(x\leqslant 0\)} \\ \cos x & \text{se \(x> 0\)}\end{cases}$$è continua e derivabile in \(x_0=0\). Tracciare il grafico della funzione e commentare i risultati ottenuti.

3) Dimostrare la regola di derivazione per la funzione \(y=\ln x\).

4) Calcolare le derivate delle funzioni $$e^{\arctan x} \\ e^{\frac{x}{x^2+1}} \\ x^3\ln x \\ \frac{\sqrt{x}}{x+1} \\ \cos\frac{1}{e^x+1} \\ 2^{\sin{\frac{1}{x}}}$$

5) Disegnare una successione limitata NON convergente. 

6) Scrivere le equazioni della retta tangente e della retta normale al grafico di \(f(x)=\log_2\frac{x+1}{2}\) nel punto di ascissa \(x_0=3\).

7) Determinare i valori del parametro \(b\in\mathbb{R}\) per cui i grafici delle funzioni \(f(x)=x^2\) e \(g(x)=-x^2+bx-1\) risultano tangenti. Scrivere inoltre l'equazione della tangente comune ai due grafici. (Sugg: i grafici di due funzioni si dicono tangenti se esiste un punto dove essi si intersecano e la retta tangente è la stessa per ciascun grafico...)

8) Trovare in che punto del grafico della funzione \(f(x)=\ln x\) si ha retta normale con pendenza \(m=-2\). Scrivere l'equazione della tangente passante per tale punto.

9) Scrivere le equazioni delle rette passanti per l'origine e tangenti al grafico della funzione $$f(x)=\frac{x+1}{x-1}.$$(Sugg: chiamata \(x_0\) l'ascissa del punto di tangenza, la retta tangente ha equazione...)

10) Determinare tutte le rette orizzontali tangenti al grafico della funzione \(f(x)= \frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}+1\).

11) Calcolare la derivata della funzione \(f(x)=(x^2+1)^{\frac{1}{\sqrt{x}}}\).

12) Determinare, se esistono, ed eventualmente classificare i punti di non derivabilità delle funzioni $$f(x)=|\ln x| \\f(x)=\frac{|x|+1}{x-1} \\ f(x)=x\sqrt{x^2+x} \\ f(x)=\sqrt{1-\cos x} \\ f(x)=\begin{cases}x+1 & \text{se \(x<0\)}\\ \cos (\pi x) & \text{se \(0\leqslant x<1\)}\\e^{x^2-1} & \text{se \(x\geqslant1\)} \end{cases}$$

13) La scarica della batteria di uno smartphone può essere espressa dalla funzione $$C(t)=1-e^{-\frac{t}{10}},$$dove \(t\) è il tempo espresso in ore, \(C=0\) indica che la batteria è scarica mentre \(C=1\) indica che il telefono è completamente carico. Dopo aver determinato quante ore impiega la batteria per perdere metà della propria carica, stabilire quanta carica si perde dopo un'ulteriore mezz'ora.

14) Dimostrare la regola di derivazione per la funzione reciproca: \(\frac{1}{f(x)}\rightarrow -\frac{f'(x)}{f(x)^2}.\)

15) Calcolare il differenziale della funzione \(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\) e usarlo per approssimare la variazione di \(f\), spostandosi da \(x_0=\ln2\) di \(\Delta x = 0.1\).

16) Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico della funzione \(f(x)=\ln\frac{x}{x+1}\) nel punto \((1,f(1))\).