Tracciare un grafico qualitativo delle funzioni riportate.

 

Studiare dominio, segno, limiti (e asintoti), derivata prima ed eventualmente seconda delle funzioni:$$f(x)=e^\frac{x}{x+1} \\ f(x)=\log^2x-\log x \\ f(x)= \frac{x^2}{x^2+2} \\ f(x)=\frac{x^2-2x}{x-1} \\ f(x)=\log\frac{x-3}{x^2}$$

Per ciascuna coppia di funzioni e intervalli, stabilire se è applicabile il teorema di Lagrange e, in caso affermativo, trovare almeno uno dei punti di cui è assicurata l'esistenza: $$f(x)=x^3-x^2+2,\hspace{30pt} I = [-1,2] \\ f(x)=|x^2-2x|,\hspace{30pt} I = [-1,1] \\ f(x)=x\log(x),\hspace{30pt} I = [\frac{1}{e},1].$$

Per ciascuna coppia di funzioni e intervalli, stabilire se è applicabile il teorema di Rolle e, in caso affermativo, trovare almeno uno dei punti di cui è assicurata l'esistenza: $$f(x)=x^3-x^2+2,\hspace{30pt} I = [-1,2] \\ f(x)=|1-x^2|, \hspace{30pt} I = [-1,1] \\ f(x)=\frac{x^2+1}{x},\hspace{30pt} I = [\frac{1}{2},2] \\$$

Stabilire per quali valori \(a,b\in\mathbb{R}\) è possibile applicare il teorema di Lagrange alla funzione $$f(x)=\begin{cases}e^x & \text{se \(x<0\)}\\ ax+b & \text{se \(x\geqslant 0\)} \end{cases}$$sull'intervallo \([-1,2]\). Per i valori trovati, determinare il punto \(c\) di cui il teorema garantisce l'esistenza e stabilire se vale anche il teorema di Rolle.

Stabilire per quali valori \(a,b\in\mathbb{R}\) è possibile applicare il teorema di Rolle alla funzione $$f(x)=\begin{cases}\sin x & \text{se \(x<0\)}\\ ax^2+bx & \text{se \(x\geqslant 0\)} \end{cases}$$sull'intervallo \([-\frac{5}{6}\pi,1]\). Per i valori trovati, determinare quanti sono i punti \(c\) di cui il teorema garantisce l'esistenza.