Un problema geometrico della seconda prova del 2008, risolto da EduNiBa!

Riportiamo di seguito il testo del problema 1 della maturità scientifica del 2008, per risolverlo passo a passo con tutti i commenti del caso.

 

Per cominciare notiamo che, noti ipotenusa e un angolo acuto, il triangolo rettangolo \( A\overset{\Delta}{C}B\) è risolvibile, ossia possiamo calcolarne tutti gli angoli ed i lati. Per i primi, ricordando che per qualsiasi triangolo la somma degli angoli vale \(\pi = 180°\), calcoliamo l'angolo \( A\hat{C}B = \pi -\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}\). Per i lati possiamo ricorrere a Pitagora oppure alla trigonometria, che ci risparmia il calcolo di una radice quadrata: \(\overline{AC} = \overline{AB} \cos (\frac{\pi}{3}) = \frac{a}{2}\) e \(\overline{BC} = \overline{AB} \sin (\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt(3)}{2}a\). Anche se non espressamente richiesta, la risoluzione del triangolo ci permette di individuare gli elementi noti a nostra disposizione, e quindi di indirizzare meglio la nostra analisi per rispondere alle domande senza perdere tempo.

Risoluzione a: siccome l'incognita proposta è un raggio, ossia una lunghezza, una prima banalissima limitazione sarebbe \(x \geq 0\). Considerando però la figura notiamo come i due archi di circonferenza intervengano ad imporre ulteriori limiti: l'arco centrato in \(B\), di raggio \(x\) (in rosso nella figura), non può infatti superare le dimensioni necessarie a farlo passare per \(C\), e pertanto \(x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}a\). Analogamente l'arco di centro \(A\) e raggio \(a-x\) (in blu) non può superare \(C\), e quindi \(a-x \leq \frac{a}{2} \quad \Rightarrow \quad x \geq a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}\). Riassumendo abbiamo:$$x \in [ \frac{a}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2}a ]$$

Risoluzione b: per calcolare l'area del quadrilatero mistilineo \(PQCR\) calcoliamo l'area del triangolo\(S_{A\overset{\Delta}{C}B}\) per sottrarre poi \(S_{\overset{\frown}{PBQ}}\) e \(S_{\overset{\frown}{PAR}}\), rispettivamente aree del settore circolare di centro B e di centro A.

Ricordando che i radianti sono definiti come rapporto tra arco e raggio, possiamo calcolare la misura degli archi \(\overset{\frown}{PQ} = \overline{BP} \hat{PBQ} =\frac{\pi}{6}x\) e \(\overset{\frown}{PR} = \overline{AP} \hat{PAR} =\frac{\pi}{3}(a-x)\). Ora ci serve la formula per l'area del settore circolare: è facile ricordarla pensando di calcolare l'area di un triangolo che abbia l'arco come base e il raggio come altezza. Procediamo quindi al calcolo:$$S_{A\overset{\Delta}{C}B}=\frac{1}{2}\overline{AC}\,\overline{BC}=\frac{1}{2}\frac{a}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{8}a^2 \\ S_{\overset{\frown}{PBQ}}=\overset{\frown}{PQ} \overline{PB}=\frac{1}{2}\frac{\pi}{6}x^2=\frac{\pi}{12}x^2 \\ S_{\overset{\frown}{PAR}}=\overset{\frown}{PR} \overline{PA}=\frac{1}{2}\frac{\pi}{3}(a-x)^2=\frac{\pi}{6}(a-x)^2$$possiamo ora calcolare l'espressione di \(S_{PQCR}\) in funzione di \(x\):$$S(x)=S_{A\overset{\Delta}{C}B}-S_{\overset{\frown}{PBQ}}-S_{\overset{\frown}{PAR}} = \frac{\sqrt{3}}{8}a^2-\frac{\pi}{12}x^2-\frac{\pi}{6}(a-x)^2 = -\frac{\pi}{4}x^2 +\frac{\pi}{3}ax +(\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi}{6})a^2$$Per trovare i massimi e i minimi si potrebbe procedere derivando \(S(x)\) e studiando il segno della derivata, ma notiamo che la funzione è data da un polinomio di secondo grado con coefficiente principale negativo, ossia una parabola concava (si direbbe "rivolta verso il basso"). Una parabola è una funzione continua su \(\mathbb{R}\), quindi se la restringiamo all'intervallo chiuso e limitato \([ \frac{a}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2}a ]\) possiamo applicare il teorema di Weierstrass, che ci assicura l'esistenza di massimi e minimi assoluti per \(S(x)\).

Come si intuisce anche dal grafico in figura, il massimo assoluto di una parabola concava si trova sul vertice, che ha coordinata \(x=-\frac{b}{2a}\), dove \(a\) è il coefficiente principale e \(b\) quello di grado 1, mentre i minimi si troveranno in corrispondenza degli estremi dell'intervallo al quale abbiamo ristretto l'analisi. Abbiamo quindi:$$x_{Max}=-\frac{\frac{\pi}{3}a}{-2\frac{\pi}{4}}=\frac{2}{3}a \\ x_{min}=\frac{a}{2} \\ x_{min}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$tra questi abbiamo già visto che il massimo è anche assoluto, mentre tra i minimi possiamo distinguere tra relativi ed assoluti calcolando il valore di \(S(x)\). Non è difficile impostare una disequazione e semplificarla quanto basta per vedere che$$S(\frac{a}{2}) < S(\frac{\sqrt{3}}{2}a) \\ -\frac{\pi}{16}a^2 +\frac{\pi}{6}a^2 +(\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi}{6})a^2 < -\frac{3}{16}\pi a^2 +\frac{\sqrt{3}}{6}\pi a^2 +(\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi}{6})a^2 \\ -\frac{1}{4} +\frac{1}{3} < -\frac{1}{8} +\frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{1}{8} +\frac{1}{3} < \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{5}{8} < \sqrt{3}$$e quindi \(x_{min}=\frac{a}{2}\) è anche minimo assoluto.

 

Risoluzione c: la richiesta pone un problema del tutto indipendente dai precedenti, per il quale sarà necessario scegliere una nuova variabile, individuare per essa un dominio accettabile, e cercare poi il massimo richiesto. La scelta della variabile è un passaggio delicato, e se è vero che ci sono diverse possibilità, è altrettanto vero che alcune di queste possibilità possono complicare la struttura della funzione da massimizzare, e quindi rendere più difficile il problema.

Nella figura, a sinistra, vediamo come variano i rettangoli costruiti sulla base \(\overline{AB}\). Si può intuire che, "appiattendo" il rettangolo sulla base (facendo in modo che \(L\) coincida con \(A\), riferendosi alla figura a destra), l'area in esame sarà nulla. Analogamente, se portassimo \(M\) a coincidere con \(C\), avremmo di nuovo un risultato nullo. In entrambi i casi, si potrebbe obiettare, non abbiamo esattamente un rettangolo, bensì un segmento, ma questo segmento può essere un caso estremo di rettangolo, accettabile nell'analisi e tutto sommato ininfluente dato che stiamo cercando un massimo, mentre un valore nullo è sicuramente un minimo (non accetteremo infatti valori negativi per una superficie).

Le considerazioni precedenti permettono di stabilire l'intervallo di definizione per la nostra funzione superficie. Quanto alla scelta della variabile, consideriamo \(x=\overline{CK}\), allo scopo di sfruttare la similitudine tra \( A\overset{\Delta}{C}B\) e \( M\overset{\Delta}{C}N\) (l'angolo in \(C\) è in comune, \(\overline{AB} \parallel \overline{MN}\) e quindi \(\hat{ABC} \cong \hat{MNC}\) perchè angoli corrispondenti). Notando che è facilissimo calcolare \(\overline{CH}=\overline{AC}\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}a\), possiamo stabilire un intervallo per la nostra incognita:$$x \in [0,\frac{\sqrt{3}}{4}a]$$Ora che abbiamo scelto un'incognita, consideriamo dove vogliamo arrivare: stiamo cercando di calcolare l'area del rettangolo \(A_{LMNO}=\overline{LO}\,\overline{ON}=\overline{MN}\,\overline{HK}\).Sfruttiamo ora la similitudine tra triangoli per stabilire l'uguaglianza tra alcuni rapporti allo scopo di scrivere \(\overline{MN}\) in funzione di \(x\):$$\frac{\overline{CK}}{\overline{CH}}=\frac{\overline{MN}}{\overline{AB}} \\ \frac{\overline{x}}{\overline{\frac{\sqrt{3}}{4}a}}=\frac{\overline{MN}}{\overline{a}} \\ \overline{MN}=\frac{ax}{\frac{\sqrt{3}}{4}a}=\frac{4x}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}\sqrt{3}x$$per calcolare l'area del rettangolo ci manca solo \(\overline{HK}=\overline{CH}-\overline{CK}=\frac{\sqrt{3}}{4}a-x\). Possiamo finalmente scrivere la funzione desiderata:$$S(x)=\frac{4}{3}\sqrt{3}x(\frac{\sqrt{3}}{4}a-x)=-\frac{4}{3}\sqrt{3}x^2+ax \qquad x \in [0,\frac{\sqrt{3}}{4}a]$$Ancora una volta abbiamo una funzione continua e derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), e restringendoci ad un intervallo chiuso e limitato possiamo applicare Weierstrass, che ci conferma l'esistenza di massimi e minimi assoluti. Potremmo procedere a derivare la funzione e studiare il segno della derivata ma, ancora una volta, abbiamo a che fare con un polinomio di secondo grado corrispondente all'equazione di una parabola convessa, e possiamo individuare il massimo calcolando il vertice$$x_{Max}=-\frac{a}{-\frac{4}{3}\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a$$e questo è sufficiente a determinare il rettangolo richiesto.

 

Risoluzione d: ancora una volta ci viene proposto un quesito indipendente dai precedenti, a parte il fatto di lavorare sullo stesso triangolo, ormai noto. La figura richiesta è relativamente difficile da immaginare, nella sua interezza, ma solitamente è più importante comprenderne con esattezza la costruzione interna che riuscire a figurarsi gli oggetti in maniera superficiale.

In questo caso però possiamo fare un piccolo sforzo, ed immaginare di scorrere lungo \(\overline{AB}\) e disegnare man mano le sezioni quadrate. La figura che otteniamo è data dall'unione di due piramidi non rette \(P_1\) e \(P_2\) che condividono la base, data dal quadrato di lato \(\overline{CH}\), ed hanno rispettivamente vertici \(A\) e \(B\). Le loro altezze sono quindi \(\overline{AH}\) e \(\overline{BH}\). Il volume di una piramide, sia essa retta o meno, si ottiene moltiplicando l'area di base per l'altezza, dividendo poi per tre. Quindi il volume richiesto è$$V=V_{P_1}+V_{P_2}=\frac{1}{3}\overline{CH}^2\overline{AH}+\frac{1}{3}\overline{CH}^2\overline{BH}=\frac{1}{3}\overline{CH}^2(\overline{AH}+\overline{BH})=\frac{1}{3}\overline{CH}^2\overline{AB}=\frac{1}{3}(\frac{\sqrt{3}}{4}a)^2a=\frac{1}{16}a^3$$