Un esercizio nel nuovo stile "problem solving", inventato e risolto da EduNiBa!

Esercizio: tipologia "problem solving"

Una palestra offre la possibilità ai suoi utenti di pagare ogni singola ora di utilizzo della struttura, comprare una tessera fedeltà che dà diritto ad uno sconto sul costo orario, oppure abbonarsi per l'accesso illimitato senza costi aggiuntivi. Un'ora costa normalmente 10 €, la tessera fedeltà costa 50€ e garantisce uno sconto del 50%, l'abbonamento costa 120€.

  1. Siano \(f(x)\), \(g(x)\) e \(h(x)\) rispettivamente le funzioni che rappresentano la spesa sostenuta in funzione di \(x\) ore passate in palestra dagli utenti senza tessera, dagli utenti con la tessera fedeltà e dagli abbonati. Scrivi la loro espressione analitica, studiale e rappresentale sul piano cartesiano. Interpreta le proprietà delle tre funzioni e spiega il loro rapporto con la situazione reale sulla quale sono state costruite. Considera la funzione$$q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$trovane gli asintoti e spiega cosa ci dicono sulla convenienza dei primi due tipi di utenza (escludendo quindi l'abbonamento mensile).
  2. Consideriamo il caso di un cliente accorto che, per decidere quale modalità di pagamento utilizzare, confrontando i diversi casi sceglie sempre quello più conveniente calcolando inoltre non la spesa totale che dovrà sostenere, ma il costo orario (gli euro da pagare per ogni singola ora). Studia \(a(x)\), la funzione del costo unitario utilizzata dal cliente accorto per la sua scelta, facendo attenzione in particolare alle proprietà di continuità e derivabilità.

Risoluzione 1:

Consideriamo uno alla volta i diversi tipi di utenza, scrivendo e studiando le funzioni relative. Il primo caso prevede il pagamento di 10€ per ogni ora, e detto \(x\) il numero della ore è immediato vedere che$$f(x)=10x$$A questo punto possiamo riconoscere facilmente l'equazione della retta \(y=10x\), e quindi rappresentarne il grafico non richiederebbe alcun conto a parte l'individuazione di due coppie di coordinate di due punti di passaggio. La richiesta è comunque quella di studiare la funzione, quindi procediamo punto per punto sulla scaletta di dominio, eventuali simmetrie, segno, limiti ed asintoti, derivata prima con ricerca di massimi e minimi, derivata seconda per eventuali flessi.

Dominio: \(f(x)\) non ha alcun problema di dominio, pertanto \(D=\mathbb{R}\). Abbiamo però delle restrizioni dovute alla realtà che la funzione deve descrivere: ha senso accettare valori negativi per \(x\)? Certamente no, pertanto poniamo \(D=\mathbb{R}^+=\{x \in \mathbb{R} \| x\geq0\}\).

Simmetrie: per quanto la risposta risulti scontata, pensando alla retta, calcoliamo \(f(-x)=10(-x)=-10x=f(x)\), ed abbiamo verificato quindi che la funzione è dispari.

Segno:$$f(x)\geq 0 \qquad 10x\geq 0 \qquad x\geq 0$$la funzione è quindi sempre positiva all'interno del suo dominio. Lo studio del segno, se svolto correttamente, individua anche le intersezioni con l'asse x, ossia gli zeri. Nel nostro caso \(f(0)=0\), e pertanto \((0,0)\) vale come intersezione con l'asse x ma anche con l'asse y.

Limiti: con il nostro dominio, abbiamo un solo limite da calcolare$$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} 10x=+\infty$$Ancora una volta, il sapere che abbiamo a che fare con una retta superfluo cercare un asintoto obliquo (il risultato sarebbe infatti la retta stessa!).

Derivata prima: è immediato calcolare \(f'(x)=10\), e quindi anche il segno si risolve in breve$$f'(x)\geq0 \qquad 10\geq0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$$si noti inoltre che \(f'(x)\neq0 \forall x \in \mathbb{R}\), e quindi non esistono punti critici. La ricerca di massimi e minimi deve quindi avvenire sui "bordi" del dominio (la frontiera, più esattamente). Dato che \(D=[0,\infty[\), il candidato è \(x=0\). La derivata è positiva, e quindi la funzione è crescente, nell'intorno destro di \(0\), e ne deduciamo che \(x=0\) è un minimo. Il segno ci dice anche che la funzione è monotona strettamente crescente, e quindi \(x=0\) è un minimo assoluto.

Derivata seconda: siccome \(f'(x)=cost.\) abbiamo \(f''(x)=0 \forall x \in \mathbb{R}\), quindi è superfluo studiare la concavità ed andare alla ricerca di flessi.

Lo studio a questo punto è completo. Ribadiamo che uno studio così approfondito non è necessario quando si riconosce una figura nota, come una retta! Abbiamo voluto trattare approfonditamente questo esercizio, estremamente semplice, per poter ripassare la scaletta che comunque, per iscritto o mentalmente, dobbiamo assolutamente tenere presente per compiere uno studio corretto.

 

Procediamo ora con lo studio di \(g(x)\). Per fare la tessera devo pagare \(50€\), una spesa che non dipende dalle ore effettivamente spese in palestra, ed aggiungere poi \(5€\) per ogni ora, quindi \(g(x)=50 +5x\). Ancora una volta abbiamo a che fare con una retta, e diversamente da prima approfitteremo delle proprietà note di questa figura per semplificarne lo studio.

Dominio: la retta è una funzione  definita su tutto \(\mathbb{R}\), e per \(x\) valgono i discorsi già fatti, quindi \(D=\mathbb{R}^+\).

Simmetrie: una retta può essere dispari se passa per l'origine, oppure pari se è parallela a uno degli assi cartesiani. Siccome \(g(x)\) non ricade in nessuno dei due casi, non è nè pari nè dispari.

Segno:$$g(x)\geq 0 \qquad 50+5x\geq 0 \qquad x\geq -10$$ancora una volta la funzione è sempre positiva su \(D\).

Limiti: anche qui un solo limite da calcolare$$\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} 50+5x=+\infty$$senza asintoti obliqui.

Derivata prima: \(g'(x)=5\), e come nel caso precedente abbiamo una funzione monotona strettamente crescente e possiamo dedurre che \(x=0\) è un minimo assoluto.

Derivata seconda: anche qui è superfluo studiare la derivata seconda.

 

Lo studio di \(h(x)\), che è una funzione costante, è decisamente banale: una funziona costante è definita su tutto \(\mathbb{R}\), fatte salve le solite limitazioni per la nostra \(x\), ed è rappresentata da una retta parallela all'asse x ed è quindi pari. Il suo segno è sempre positivo, poichè \(h(x)=120 >0\), e non serve calcolare \(\lim_{x \rightarrow \infty}\) per escludere la presenza di asintoti, con i quali la retta dovrebbe coincidere (lo ricordiamo: una funzione si avvicina infinitamente ad un suo asintoto senza toccarlo, quindi non può coincidere con esso). In questo caso \(h(x)=0 \forall x \in D\), come ci possiamo aspettare da una funzione costante, e non ha senso cercare massimi e minimi, così come non ha senso studiare la derivata seconda.

 

Conclusi gli studi individuali, può essere interessante cercare le intersezioni tra i vari grafici, per disegnarli correttamente su un solo piano cartesiano. Ci saranno tre punti di intersezione, \(A\),\(B\) e \(C\):$$f(x)=g(x)\qquad 10x=50+5x\qquad x=10 \quad \textrm{con ordinata}\quad f(10)=100\\ f(x)=h(x)\qquad 10x=120\qquad x=12 \quad \textrm{con ordinata}\quad h(12)=120\\ g(x)=h(x)\qquad 50+5x=120\qquad x=14 \quad \textrm{con ordinata}\quad h(14)=120$$Abbiamo ora informazioni più che sufficienti per tracciare i grafici delle nostre tre funzioni:

La zona esclusa dal tratteggio rosso corrisponde al dominio, mentre quella in blu al segno.

 

Per le considerazioni sulla situazione reale: tutte le funzioni sono positive, cosa sensata se ricordiamo che calcolano il costo per l'uso della palestra, costo che non può certo essere negativo (significherebbe che i clienti vengono pagati per frequentarla!). L'unico modo di azzerare questo costo è non passare nemmeno un'ora in palestra ed evitare ogni tipo di abbonamento, come vediamo dall'ordinata del punto \(0=(0,0)\) sul grafico di \(f(x)\). Riferendoci alle sole \(f(x)\) e \(g(x)\) notiamo che sono strettamente crescenti, proprietà coerente con l'idea che più consumo un bene o servizio e più devo pagare. I punti di intersezione ci permettono inoltre di scegliere l'abbonamento migliore per le nostre necessità: se prevediamo di fare meno di 10 ore, non conviene fare tessere o abbonamenti, poichè su tale intervallo \(f(x)\) ha valori inferiori alle altre due funzioni. Tra le 10 e le 14 è conveniente fare la tessera fedeltà, mentre oltre alle quattordici ore l'abbonamento è quello che fa per noi.

 

Passiamo ora alla ricerca di asintoti per \(q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Ne possiamo trovare di verticali in corrispondenza di eventuali punti di discontinuità, notiamo facilmente che l'unico punto potenzialmente tale  si ha per \(g(x)=0\), ossia \(x=-10\) (un denominatore non può infatti essere nullo!)Ricordiamo però che il dominio condiviso da \(f\) e \(g\) è \(D=\mathbb{R}^+\), cosa che ci permette di ignorare il problema. Andiamo alla ricerca di asintoti orizzontali o obliqui:$$\lim_{x \rightarrow \infty} q(x)=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{10x}{50+5x}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{10x}{x(\frac{50}{x}+5)}=\frac{10}{5}=2$$abbiamo allora un asintoto orizzontale: come possiamo interpretarlo nella realtà? Se pensiamo al fatto che \(x \rightarrow \infty\), dobbiamo pensare ad una situazione nella quale passiamo un numero infinito di ore in palestra. Questo ovviamente non è possibile, ma possiamo pensare ad un numero molto elevato di ore: in questo caso, l'asintoto ci fa capire che pagando ora per ora finiremmo per pagare il doppio di quanto pagheremmo con la tessera fedeltà! Grazie agli studi precedenti sappiamo anche quante ore ci vogliono prima di cominciare a parlare di un numero "molto elevato" di ore, ossia 10 ore, dato che per \(x=10\) avviene il sorpasso tra i costi sostenuti col piano tariffario \(f\) e quelli col piano \(g\). Il rapporto di 2 a 1 ovviamente comincerà ad emergere solo per valori di x maggiori, infatti $$q(10)=1 \qquad q(50)=1,\bar{6} \qquad q(100)=1,\bar{81} \qquad q(1000)=1,98$$

Risoluzione 2:

Per calcolare il costo unitario dalla funzione che restituisce il costo totale sarà sufficiente dividere quest'ultima per il numero di ore. Abbiamo quindi nei tre casi$$f_u(x)=\frac{f(x)}{x}=10 \qquad g_u(x)=\frac{g(x)}{x}=\frac{50+5x}{x}=\frac{50}{x}+5 \qquad h_u(x)=\frac{h(x)}{x}=\frac{120}{x}$$per quanto riguarda la scelta della funzione più conveniente, possiamo ricordare l'analisi svolta al punto 1, che privilegiava \(f(x)\) su \([0,10]\), \(g(x)\) su \(]10,14]\) e \(h(x)\) su \(]14,\infty]\). Il passaggio ai costi unitari non modifica questa gerarchia, dato che il denominatore \(x\) è uguale per tutti e quindi possiamo confrontare soltanto i denominatori, che sono le funzioni già studiate. La funzione che il nostro cliente accorto andrà a studiare sarà quindi$$a(x)=\min_{x\in D} \{f_u(x),g_u(x),h_u(x)\}$$Siccome sappiamo già associare le tre funzioni a precisi intervalli, possiamo riscrivere \(a(x)\) come funzione a tratti$$a(x)=\begin{cases} 10 & 0 \leq x \leq 10 \\ \frac{50}{x} +5 & 10 < x \leq 14 \\ \frac{120}{x} & 14 < x \leq \infty \end{cases}$$non è particolarmente importante assegnare all'uno piuttosto che all'altro dei tratti un estremo degli intervalli.

Lo studio del primo tratto, una funzione costante, non ha bisogno di commento.

Per lo studio del secondo tratto si nota immediatamente che \(x=0\) sarebbe un punto di discontinuità, ma sull'intervallo \(]10,14]\) non ci riguarda. Cercare simmetrie è inutile, vista la resistrizione ad un intervello non simmetrico rispetto allo zero. Per il segno$$\frac{50}{x}+5 \ge 0 \qquad \frac{50}{x}\ge -5 \qquad \frac{1}{x}\ge-\frac{1}{10} \qquad \forall x \in ]10,14]$$Per i limiti, la restrizione all'intervallo elimina il punto di discontinuità ma anche gli infiniti, quindi non rimane nulla di interessante da calcolare. Per la derivata$$D(\frac{50}{x}+5)=\frac{d}{dx}(\frac{50}{x}+5)=-\frac{50}{x^2}\qquad \textrm{e} \qquad -\frac{50}{x^2}<0 \forall x \in ]10,14]$$quindi su questo tratto la funzione è decrescente. Il punto \(x=10\) ed il punto \(x=14\) di delineano rispettivamente come massimo e minimo, anche se questa valutazione va rimandata allo studio della funzione intera, e non al singolo tratto. Per la derivata seconda:$$\frac{d^2}{dx^2}(\frac{50}{x}+5)=\frac{d}{dx}(-\frac{50}{x^2})=2\frac{50}{x^3}\qquad \textrm{e} \qquad \frac{100}{x^3}<0 \forall x \in ]10,14]$$

Per il terzo tratto, anzichè un'analisi completa come per il precedente, possiamo appoggiarci a una funzione nota molto simile a quella in esame, e seguire le modifiche per ottenere una dall'altra sia dal lato analitico sia dal lato grafico. Nel nostro caso, il tratto \(\frac{120}{x}\) somiglia moltissimo all'iperbole \(\frac{1}{x}\), infatti è sufficiente moltiplicare quest'ultima per \(120\) per ottenere la prima. Visivamente, moltiplicare una funzione nota per un numero significa espanderne (o contrarne) il grafico lungo l'asse \(y\) di un fattore pari al numero moltiplicato. Per esempio, il punto \((12,\frac{1}{12})\), appartenente a \(\frac{1}{x}\), diventerebbe \((12, 10)\), appartenente a \(\frac{120}{x}\). Possiamo quindi plasmare il grafico (che si suppone noto) dell'iperbole \(\frac{1}{x}\) per ottenere quello del tratto che ci interessa.

Pe la continuità, siccome i punti di discontinuità sottointesi dalle leggi dei singoli tratti cadono fuori dai loro intervalli di definizione, possiamo dedicarci soltanto al problema di "incollare" i vari tratti, ossia verificare la continuità usando la caratterizzazione$$f(x) \textrm{   continua in  }x_0 \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$$analizzando i punti \(x=10\) e \(x=14\). Procediamo col primo, ricordando di separare limiti destro e sinistro, e di scegliere la giusta forma per \(f(x)\) quando bisogna calcolarne il valore precisamente in \(x=10\):$$\lim_{x\rightarrow 10}f(x)=f(10) \\ \lim_{x\rightarrow 10^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 10^+}f(x)=f(10) \\ \lim_{x\rightarrow 10^-}10=\lim_{x\rightarrow 10^+}\frac{50}{x}+5=10 \\ 10=\frac{50}{10}+5=10 \\ 10=10=10$$abbiamo quindi verificato che la funzione è continua in \(x=10\) (e vale proprio \(10\), informazione utile per tracciarne il grafico). Per quanto riguarda il secondo punto$$\lim_{x\rightarrow 14}f(x)=f(14) \\ \lim_{x\rightarrow 14^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 14^+}f(x)=f(14) \\ \lim_{x\rightarrow 14^-}\frac{50}{x}+5=\lim_{x\rightarrow 14^+}\frac{120}{x}=\frac{50}{14}+5 \\ \frac{60}{7}=\frac{60}{7}=\frac{60}{7}$$e abbiamo verificato la conitnuità anche per \(x=14\).

Per la derivabilità il sistema è tutto sommato simile alla continuità, solo utilizzando le derivate. Per \(x=10\) abbiamo $$\lim_{x\rightarrow 10^-}f^{'}(x)=\lim_{x\rightarrow 10^+}f^{'}(x) \\ \lim_{x\rightarrow 10^-}0=\lim_{x\rightarrow 10^+}-\frac{50}{x^2} \\ 0 \neq -\frac{1}{2}$$e la funzione risulta quindi non derivabile in \(x=10\). Similmente abbiamo$$\lim_{x\rightarrow 14^-}f^{'}(x)=\lim_{x\rightarrow 14^+}f^{'}(x) \\ \lim_{x\rightarrow 14^-}-\frac{50}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 14^+}-\frac{120}{x^2} \\ -\frac{1}{2}\neq-\frac{120}{196}$$ossia la funzione non è derivabile in \(x=14\). Proviamo ora a tracciare il grafico di \(a(x)\):