Grafici interattivi relativi a problemi di ottimizzazione vincolata

Studiamo i massimi e minimi della funzione \(f(x,y)=y-x^2\) ristretta al dominio \(D=\{(x,y)||x|+|y|\leqslant 1\}\). Innanzitutto il teorema di Weierstrass ci permette di affermare immediatamente che esisteranno massimo e minimo assoluto (\(f\) è continua e \(D\) chiuso e limitato). Calcolando il gradiente della funzione è immediato verificare che non esistono punti critici interni a \(D\), infatti \(\nabla f = (-2x,1)\) non si annulla in alcun punto. I massimi e i minimi devono allora stare tutti sul bordo, ovvero sulla curva di equazione cartesiana \(|x|+|y|=1\). Lo studio di \(f\) sul bordo \(\partial D\)  può essere svolto imponendo, una alla volta, nella funzione le condizioni $$y=-x+1, \quad x\in[0,1] \\ y=x+1, \quad x\in[-1,0] \\ y=-x-1, \quad x\in[-1,0] \\ y=x-1, \quad x\in[0,1] $$che descrivono i quattro lati del quadrato. Poiché su queste restrizioni la funzione dipende da una sola variabile, è facile trovare massimi e minimi di \(f\) su \(\partial D\) con i metodi di analisi 1. Nello specifico avremo massimo assoluto pari a \(1\), raggiunto nel punto \((0,1)\); minimo assoluto pari a \(-1\) corrispondente ai tre punti \((0,-1)\) e \((\pm1, 0)\); massimo relativo \(-\frac{3}{4}\) nei punti \((\pm\frac{1}{2},\frac{1}{2})\). L'andamento di \(f\) sul bordo di \(D\) può essere visto cliccando sulla casella "interno" nel grafico sottostante. 

Ricordando che non avevamo trovato candidati massimi e minimi per \(f\) all'interno di \(D\), risulta automatico concludere che massimo e minimo assoluti di \(f\) sono quelli trovati sul bordo; non è invece detto che i punti di massimo relativo per \(\partial D\) lo siano anche per \(D\): cliccando nuovamente sulla casella "interno" possiamo infatti vedere che, muovendoci dai punti \((\pm\frac{1}{2},\frac{1}{2})\) verso l'origine, i valori di \(f\) aumentano e pertanto i punti in questione non possono essere massimi relativi per l'insieme \(D\). Per capire al meglio l'andamento di \(f\), è consigliabile provare anche a ruotare il grafico per vedere la superficie da più angolazioni (per fare ciò basta tenere cliccato il tasto sinistro del mouse e muovere il puntatore).