definizione; caratteristicheesercizi

Cos'hanno in comune un tiro libero durante una partita a pallacanestro, lo zampillo di una fontana, un impianto satellitare e il faro di automobile? 

La risposta è semplice: l'arco del tiro libero, la traiettoria dell'acqua, i profili dell'antenna satellitare e del faro sono tutti archi di parabola. Una curva con così tanti riscontri nella vita di tutti i giorni merita sicuramente un po' di attenzione da parte nostra, pertanto occupiamoci di studiarne le caratteristiche principali, cominciando dalla definizione formale.

Definizione

Dato un punto \(F\) detto fuoco e una retta \(d\) (non passante per il fuoco) detta direttrice, chiameremo parabola il luogo geometrico dei punti \(P\) equidistanti da \(F\) e \(d\).

Per semplicità, noi ci occuperemo solo del caso in cui la direttrice è una retta orizzontale o verticale: l'equazione della parabola si ridurrà alla seguente forma (che non dimostriamo)

\(\mathcal{P}:y=ax^2+bx+c\) (direttrice orizzontale)

\(\mathcal{P}:x=ay^2+by+c\)  (direttrice verticale).

Caratteristiche fondamentali

Concentriamoci ora sulle parabole con direttrice orizzontale e descriviamone le caratteristiche principali:

  • il coefficiente \(a\) rappresenta la convessità della parabola
  • la quantità \(\Delta=b^2-4ac\) si chiama discriminante e il suo segno determina il numero di intersezioni tra la parabola e l'asse delle ascisse
  • la retta passante per il fuoco e ortogonale alla direttrice si chiama asse di simmetria e ha equazione \(y=-\frac{b}{2a}\)
  • il punto di intersezione tra asse di simmetria e parabola prende il nome di vertice e ha coordinate \(V=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})\)al variare del coefficiente \(b\) la parabola trasla e il suo vertice percorre la parabola \(y=-ax^2+c\)
  • il coefficiente \(c\) indica a che altezza viene intersecato l'asse \(y\)
  • il fuoco della parabola ha coordinate \(F=(-\frac{b}{2a},\frac{1}{4a}-\frac{\Delta}{4a})\)
  • la direttrice ha equazione \(y=-\frac{1}{4a}-\frac{\Delta}{4a}\)

Per le parabole con direttrice verticale valgono osservazioni analoghe, scambiando però i ruoli delle variabili \(x\) e \(y\). La figura sottostante riassume il significato del discriminante.

Esercizio
Determinare l'equazione della retta tangente alla parabola di equazione \(y=2x^2\) e parallela alla bisettrice del I e III quadrante.

Risoluzione:
Sappiamo che la retta cercata è parallela alla retta \(y=x\), pertanto il suo coefficiente angolare deve valere \(1\). Rimane da determinare il valore dell'intercetta \(q\): ricordiamo che la condizione di tangenza significa che la retta e la parabola devono intersecarsi in un solo punto. Le intersezioni si trovano mettendo a sistema le equazioni delle due curve

$$\left\{
\begin{array}{l} y=2x^2\\
y=x+q
\end{array}
\right.
\Rightarrow 2x^2=x+q\Rightarrow 2x^2-x-q=0.$$

L'equazione ottenuta ha una e una sola soluzione se e solo se il suo discriminante vale \(0\), pertanto ci basta risolvere

$$b^2-4ac=0\Rightarrow (-1)^2-4\cdot2\cdot(-q)=0\Rightarrow q=-\frac{1}{8}.$$

La retta cercata avrà quindi equazione \(y=x-\frac{1}{8}\), come possiamo vedere anche con la risoluzione grafica.