definizione di curva; forma esplicitaintersezione e unionetrasformazioni di graficiesercizi

 

La geometria analitica è quella branca della geometria che si occupa di studiare punti e insiemi nel piano cartesiano. Ricordiamo che il piano cartesiano è un piano dotato di due rette orientate e ortogonali tra loro che prendono il nome di asse delle ascisse e asse delle ordinate. Tali rette dividono il piano in quattro regioni dette quadranti e si incontrano in un punto detto origine. Proiettando un punto \(P\) sui due assi cartesiani otteniamo le sue coordinate. 

Curve piane

Ora che abbiamo ripassato i concetti di base relativi al piano cartesiano, possiamo iniziare ad occuparci di concetti più complessi, come le curve piane. Tra le varie definizioni che si possono dare per descrivere le curve, noi useremo la seguente: diciamo che \(\mathcal{C}\subseteq\mathbb{R}^2\) è una curva se esiste una funzione \(F(x,y)\) tale che \((x,y)\in\mathcal{C}\iff F(x,y)=0\). Diremo allora che la curva \(\mathcal{C}\) è definita dall'equazione \(F(x,y)=0\) e scriveremo
$$\mathcal{C}:F(x,y)=0.$$

Se la funzione \(F(x,y)\) è un polinomio, diremo che \(\mathcal{C}\) è una curva algebrica, altrimenti parleremo di curve trascendenti. A partire dalla definizione appena data, è immediato ricavare la condizione di appartenenza di un punto a una curva, infatti diremo che
$$P=(x_P,y_P)\in\mathcal{C}\iff F(x_P,y_P)=0.$$Ad esempio, è immediato vedere che il punto \(P=(3,2)\) appartiene alla curva \(\mathcal{C}:x-2y+1=0\) mentre il punto \(Q=(0,0)\) non appartiene alla curva. Si ha infatti
$$\begin{gather*}
3-2\cdot 2+1=0\Rightarrow P\in\mathcal{C}\\
0-2\cdot0+1\neq 0\Rightarrow Q\notin\mathcal{C}.
\end{gather*}$$

Forma esplicita

Talvolta, è possibile riscrivere l'equazione di una curva esplicitando \(y\) in funzione di \(x\) o viceversa, come nei seguenti esempi:$$\begin{gather*}
2x-y+1=0\Rightarrow y=2x+1 \\
y^2+4xy-2=0\Rightarrow x=\frac{2-y^2}{4y} \\
y+2^{x+y}=0\Rightarrow x=-y+\log_2 y\end{gather*}$$

Quando definiremo una curva per mezzo di un'equazione del tipo \(y=f(x)\) o \(x=g(y)\), diremo che la curva si presenta in forma esplicita. Attenzione: esistono curve la cui equazione si può esplicitare rispetto sia a \(x\) che a \(y\), ma esistono anche curve che non si possono esplicitare, come ad esempio quella di equazione \(x^2+y^2-1=0\).

Intersezione e unione di grafici

Date due curve di equazione \(\mathcal{C}:F(x,y)=0\) e \(\mathcal{D}:G(x,y)=0\) rispettivamente, sappiamo che

$$P\in\mathcal{C}\cap\mathcal{D}\iff P\in\mathcal{C}\wedge P\in\mathcal{D},$$quindi le coordinate del punto \(P\) devono soddisfare entrambe le equazioni. Questo significa che per trovare le intersezioni di due o più curve basta mettere a sistema l'equazione di ciascuna di esse: 

$$P=(x_0,y_0)\in\mathcal{C}\cap\mathcal{D}\iff 
\left\{
\begin{array}{l}
F(x_0,y_0)=0\\
G(x_0,y_0)=0.
\end{array}
\right.$$

Per quanto riguarda l'unione invece, consideriamo il prodotto delle funzioni \((x,y)\) e \(G(x,y)\) e osserviamo che 

$$F(x_0,y_0)G(x_0,y_0)=0\iff F(x_0,y_0)=0\vee G(x_0,y_0)=0 \iff P\in\mathcal{C}\vee P\in\mathcal{D},$$ma questo equivale a dire $$ P\in\mathcal{C}\cup\mathcal{D}.$$L'unione di due o più curve è pertanto descritta da una funzione che è il prodotto delle funzioni che definiscono le singole curve. Ad esempio, ricordando i prodotti notevoli, la curva di equazione \(\mathcal{C}:x^2-y^2=0\) sarà l'unione delle due curve di equazioni \(x+y=0\) e \(x-y=0\). Nelle lezioni successive vedremo che tali equazioni rappresentano le bisettrici dei quattro quadranti, pertanto \(\mathcal{C}\) sarà una curva a forma di "X".

 

Trasformazioni di grafici

Normalmente, lo studio di una curva richiede parecchia fatica e molti calcoli, tuttavia talvolta possiamo risparmiarci gran parte del lavoro se ci accorgiamo che la curva che stiamo studiando può essere ricondotta ad una dalla struttura più semplice (o addirittura già nota). In questo paragrafo prenderemo in esame traslazioni, cambi di scala, riflessioni.

  • Traslazione: data una curva di equazione \(y=f(x)\), la curva \(y=f(x-x_0)\) si ottiene dalla precedente con una traslazione lungo l'asse delle ascisse di "\(x_0\)" quadretti. La traslazione sarà verso destra se \(x_0>0\) e verso sinistra se \(x_0<0\). Per convincerci meglio di quanto detto, pensiamo alla curva \(y=x^2\) (che vedremo essere una parabola con vertice nell'origine). La parabola traslata \(y=(x-1)^2\) si annulla in \(x=1\), quindi il vertice si è spostato esattamente di un quadretto verso destra.
  • Cambio di scala: consideriamo nuovamente la curva \(y=f(x)\) e cerchiamo di capire come sarà il grafico di \(y=f(mx)\), dove \(m>0\). Possiamo osservare che i punti di ascissa \(1,2,3,\ldots\) del nuovo grafico corrispondono a quelli che nella curva di partenza avevano ascissa \(m,2m,3m,\ldots\), pertanto il nuovo grafico risulterà compresso se \(m>1\) o allungato se \(m<1\).
  • Riflessione: questa è la trasformazione più semplice. Passare da \(y=f(x)\) a \(y=f(-x)\) richiede semplicemente di specchiare il grafico iniziale rispetto all'asse delle ordinate.

Le osservazioni appena fatte rimangono ovviamente valide anche se la curva è data in forma implicita e inoltre possono essere applicate anche alla variabile \(y\) (naturalmente le traslazioni e i cambi di scala saranno riferiti ora all'asse \(y\), mentre le riflessione andrà fatta rispetto all'asse delle ascisse.

Esercizio:

Partendo dal grafico in figura, tracciare nel modo più accurato possibile il grafico di \(y=2f(1-x)-3\).

Risoluzione

L'equazione che dobbiamo analizzare può essere riscritta come $$\frac{y+3}{2}=f(-(x-1)),$$ quindi il grafico richiesto si otterrà mediante i seguenti passi:

  • \(x\mapsto x-1\)                    traslazione di \(1\) quadretto a destra;
  • \(x-1\mapsto -(x-1)\)      riflessione rispetto all'asse \(y\);
  • \(y\mapsto y+3\)                     traslazione di \(3\) quadretti verso il basso; 
  • \(y+3\mapsto \frac{y+3}{2}\)                dilatazione verticale di un fattore \(2\).

NOTA BENE: potevamo giungere alla stessa conclusione lasciando inalterata l'equazione, a patto di notare che le trasformazioni che avvengono "fuori da \(f\)" (cioè quelle che abbiamo portato a I membro) seguono le solite regole ma al contrario. Qui sotto vediamo tutte le trasformazioni intermedie, prendendo come esempio la funzione \(f(x)=\frac{1}{8}x^3-x\).