definizione; forma esplicita e implicita; intersezioni tra rette e circonferenze; esercizi
La leggenda narra che Didone, figlia del re di Tiro, si rifugiò sulle coste libiche dopo essere stata costretta all'esilio dal fratello. Lì, Didone convinse il sovrano del luogo a concederle tanto terreno quanto potesse contenere una pelle di bue. Didone fece quindi tagliare la pelle di bue in strisce sottilissime e le legò formando un'unica corda, con la quale potè circondare un territorio assai vasto.
Il "problema di Didone" prende il nome proprio da questa leggenda e può essere formulato così: data una corda di lunghezza fissata, determinare come va disposta la corda in modo da racchiudere la maggior superficie possibile... come si può intuire dal titolo di questa lezione, la risposta è che la corda deve formare una circonferenza!
Ricordando la formula della distanza tra due punti
$$d(P,Q)=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2}$$ed elevando ambo i membri al quadrato, deduciamo che un punto \(P=(x,y)\) appartiene alla circonferenza di centro \(C=(\alpha,\beta)\) e raggio \(R\) se e solo se le sue coordinate soddisfano l'equazione
$$(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2.$$
$$\begin{gather*}
(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2\\
x^2-2\alpha x+\alpha^2+y^2-2\beta y+\beta^2-R^2=0\\
x^2+y^2\,\underbrace{-2\alpha}_{+a}\,x\,\underbrace{-2\beta}_{+b}\,y+\underbrace{\alpha^2+\beta^2-R^2}_{+c}=0\\
x^2+y^2+ax+by+c=0.\end{gather*}$$
Per passare dalla forma esplicita a quella implicita, come abbiamo già detto, basta sviluppare le parentesi. Per effettuare il passaggio inverso invece basta risolvere il seguente sistema
$$\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
a=-2\alpha\\
b=-2\beta\\
c=\alpha^2+\beta^2-R^2
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha=-\frac{a}{2}\\
\beta=-\frac{b}{2}\\
R=\sqrt{\alpha^2+\beta^2-c}
\end{array}
\right.
\end{align*}$$
Intersezioni tra rette e circonferenze
- \(d=R\Rightarrow\) retta tangente alla circonferenza;
- \(d<R\Rightarrow\) retta secante alla circonferenza;
- \(d>R\Rightarrow\) retta esterna alla circonferenza.
Intersezioni tra circonferenze
Un ragionamento simile si può applicare anche al caso di due circonferenze, di raggi rispettivamente pari a \(R\) e \(r\) con \(R>r\). Chiamata \(d\) la distanza tra i due centri, possiamo affermare che
- \(d>R+r\Rightarrow\) circonferenze esterne;
- \(d=R+r\Rightarrow\) circonferenze tangenti esternamente;
- \(R-r<d<R+r\Rightarrow\) circonferenze secanti;
- \(d=R-r\Rightarrow\) circonferenze tangenti internamente;
- \(d<R-r\Rightarrow\) circonferenze una contenuta nell'altra.
Esercizio:
Per quale valore del parametro \(k\in\mathbb{R}\) la circonferenza di equazione \(x^2+y^2+2k^2x-6ky=0\) ha centro appartenente alla bisettrice del II e IV quadrante?
Risoluzione:
La bisettrice del II e IV quadrante ha equazione \(y=-x\), pertanto dobbiamo imporre che le coordinate del centro della circonferenza soddisfino tale relazione:
$$\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha=-\frac{2k^2}{2}\\
\beta=-\frac{-6k}{2},\\
\end{array}
\right.
\beta=-\alpha\Rightarrow 3k=-(-k^2)\Rightarrow k^2-3k=0 \Rightarrow k=0 \vee k=3.
\end{align*}$$Osserviamo però che scegliendo \(k=0\) otteniamo \(C=(0,0)\) e \(R=0\), quindi l'equazione non descrive una circonferenza ma un singolo punto (l'origine). Nel caso \(k=3\) invece troviamo \(C=(-3,3)\) e \(R=\sqrt{81+81}=9\sqrt{2}\), quindi una vera e propria circonferenza. L'unica soluzione sarà pertanto \(k=3\).
