definizione; caratteristiche principaliesercizi

 

La prima legge di Keplero afferma che: "L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il sole occupa uno dei due fuochi."

Definizione

Anche l'ellisse quindi è una curva riscontrabile in natura, per cui approfondiamone lo studio a partire come sempre dalla definizione: dati due punti \(F_1\) e \(F_2\) detti fuochi e un numero \(k>F_1F_2\), chiamiamo ellisse il luogo geometrico dei punti \(P\) tali che
$$PF_1+PF_2=k.$$

Esiste un metodo molto semplice per disegnare un ellisse: si fissano su un foglio due puntine da disegno e si legano a tali puntine le estremità di uno spago di lunghezza \(k\). A questo punto con la matita si tende lo spago e la si muove attorno alle puntine; il disegno che ne risulterà sarà proprio un ellisse!

Caratteristiche dell'ellisse

Elenchiamo ora alcune delle caratteristiche principali dell'ellisse:

  • il punto medio dei due fuochi viene detto centro dell'ellisse;
  • ogni retta passante per tale centro è un asse di simmetria dell'ellisse. In particolare, l'asse passante per i fuochi prende il nome di asse maggiore mentre quello ad esso perpendicolare viene chiamato asse minore;
  • l'equazione di un ellisse centrata nell'origine ha la forma
    $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$dove i coefficienti \(a\) e \(b\) rappresentano la misura dei semiassi: se \(a>b\) allora i fuochi stanno sull'asse delle ascisse, altrimenti su quello delle ordinate (il caso \(a=b\) ci riporta alla circonferenza, i fuochi sono sovrapposti nell'origine);
  • se \(a>b\), i fuochi dell'ellisse hanno coordinate \(F_1=(-c,0)\) e \(F_2=(c,0)\), dove \(c=\sqrt{a^2-b^2}\). Se invece \(b>a\) allora i fuochi si trovano in \(F_1=(0,-c)\) e \(F_2=(0,c)\), con \(c=\sqrt{b^2-a^2}\);
  • la quantità \(e=\frac{c}{a}\) si dice eccentricità dell'ellisse e rappresenta lo "schiacciamento" della curva (se i fuochi sono situati sull'asse delle ordinate allora si avrà \(e=\frac{c}{b}\));
  • in generale, se l'ellisse non è centrata nell'origine ma in un generico punto \(C=(\alpha,\beta)\), usando le regole di traslazione otteniamo la seguente equazione:
    $$\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1.$$

Esercizio:

Quanto misura il raggio delle circonferenze passanti per l'origine, tangenti internamente all'ellisse di equazione \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\) e aventi centro sull'asse \(y\)?
Risoluzione:
Notiamo subito che, stando sull'asse \(y\), il centro delle circonferenze avrà forma \(C=(0,\beta)\), inoltre passando esse per l'origine possiamo affermare anche che \(R=|\beta|\). Grazie a queste osservazioni possiamo scrivere l'equazione delle circonferenze come
$$(x-0)^2+(y-\beta)^2=|\beta|^2\Rightarrow x^2+y^2-2\beta y+\beta^2=\beta^2 \Rightarrow x^2+y^2-2\beta y=0.$$
Mettiamo ora a sistema l'equazione della circonferenza con quella dell'ellisse:

$$
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-2\beta y=0 \\
\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x^2=-y^2+2\beta y \\
9x^2+4y^2=36
\end{array}
\right.
\Rightarrow
9(-y^2+2\beta y)+4y^2-36=0.
\end{align*}$$Abbiamo ottenuto l'equazione di II grado in \(y\): \(-5y^2+18\beta y-36=0\). Affinché le curve siano tangenti tale equazione deve avere un'unica soluzione, pertanto imponiamo che il discriminante sia nullo
$$\Delta=324\beta^2-720=0\Rightarrow \beta^2= \frac{20}{9}\beta=\pm \frac{2\sqrt{5}}{3}.$$Abbiamo trovato due circonferenze, come intuibile da uno studio grafico dell'esercizio; il raggio sarà il medesimo per entrambe e avrà valore \(R=\left|\pm\frac{2\sqrt{5}}{3}\right|=\frac{2\sqrt{5}}{3}.\)