funzioni esponenziali; logaritmiproprietà

Abbiamo visto come le potenze rivestano un ruolo fondamentale nello studio dei polinomi e, di conseguenza, nello studio delle equazioni algebriche. Ci sono però altre equazioni estremamente importanti che richiedono l'uso delle potenze, dove però l'incognita si trova all'esponente e non alla base. Equazioni di questo genere si chiamano equazioni esponenziali: vediamone un esempio analizzando un problema pratico.

Una popolazione di batteri raddoppia il proprio numero ogni minuto. Partendo da un singolo batterio, quanto tempo impiegherà la popolazione per arrivare a \(64\) batteri?

Il numero di batteri, minuto per minuto, è determinato dalla seguente progressione:
$$1\rightarrow 2\rightarrow 4 \rightarrow 8 \rightarrow 16\rightarrow 32\rightarrow 64$$o, scrivendo i numeri in forma di potenza,
$$1\stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow} 2\stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow}2^2\stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow}2^3\stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow}2^4\ldots$$In generale, dopo \(x\) minuti, possiamo dedurre che la popolazione batterica consisterà di \(2^x\) batteri. Per concludere l'esercizio dobbiamo allora risolvere l'equazione esponenziale
$$2^x=64,$$che restituisce la soluzione \(x=7\).

Funzioni esponenziali

Le funzioni \(y=a^x\), con \(a>0\), vengono dette funzioni esponenziali e si differenziano dalle funzioni potenza in quanto consideriamo la base come una costante e l'esponente come una variabile (per le potenze si faceva il contrario): iniziamo a studiare il comportamento delle funzioni esponenziali vedendo dapprima cosa succede per \(a=2\) e per \(a=\frac{1}{2}\). Nel primo caso la curva passerà per i punti

\(x\)

\(y\)

\(0\) \(1\)
\(1\) \(2\)
\(2\) \(4\)
\(-1\) \(\frac{1}{2}\)
\(-2\) \(\frac{1}{4}\)

mentre nel secondo caso i punti saranno i seguenti,

\(x\)

\(y\)

\(0\) \(1\)
\(1\) \(\frac{1}{2}\)
\(2\) \(\frac{1}{4}\)
\(-1\) \(2\)
\(-2\) \(4\)

dandoci la situazione in figura

Esercizio: provare a tracciare i grafici delle funzioni esponenziali di base \(a=1; 3; \frac{1}{3}\) e confrontare ciò che si è ottenuto coi grafici presentati sopra. Cosa succede all'aumentare o al diminuire di \(a\)? Potete aiutarvi col seguente grafico interattivo!

Le proprietà delle funzioni esponenziali sono le stesse già viste per le potenze, e pertanto non le riportiamo. 

Logaritmi

All'inzio di questa lezione abbiamo risolto (in modo intuitivo) un'equazione esponenziale; altre equazioni esponenziali di facile risoluzione sono le seguenti:
$$\begin{gather*}
3^x=9\Rightarrow x=2\\
25^x=5\Rightarrow x=\frac{1}{2}\\
2^x=1\Rightarrow x=0 \\
\left(\frac{1}{2}\right)^x=4 \Rightarrow x=-2\\
\ldots
\end{gather*}$$Non è altrettanto elementare risolvere l'equazione \(2^x=3\) in quanto nessuna potenza intera, radice, o passaggio al reciproco ci permette di passare da \(2\) a \(3\). Proviamo a risolvere l'equazione per via grafica, rappresentando sul piano cartesiano le curve di equazione \(y=2^x\) e \(y=3\): le loro eventuali intersezioni, proiettate sull'asse delle ascisse, indicheranno le soluzioni dell'equazione \(2^x=3\).
Intersecando il grafico dell'esponenziale ottenuto in precedenza con la retta \(y=3\) troviamo un'unica intersezione, che proiettata sull'asse \(x\) cade tra i valori \(1\) e \(2\). Visto che non siamo in grado di localizzare tale valore con un numero finito di cifre, lo indicheremo col simbolo \(\log_2{3}\) (logaritmo in base \(2\) di \(3\)).

Più in generale, dati due numeri \(a\) e \(b\), chiameremo logaritmo in base \(a\) di \(b\) (in simboli \(\log_a b\)) quell'esponente che dobbiamo dare ad \(a\) per formare una potenza di valore \(b\). In altre parole, \(\log_a b\) è la soluzione dell'equazione esponenziale \(a^x=b\).
Il numero \(a\) è detto base del logaritmo mentre il numero \(b\) viene chiamato argomento. Affinché l'equazione \(a^x=b\) abbia una e una sola soluzione (e pertanto il logaritmo sia ben definito), imponiamo le seguenti tre condizioni

  • \(a>0\): questa condizione garantisce l'esistenza di \(a^x, \forall x \in\mathbb{R}\);
  • \(a\neq 1\): senza questa condizione si potrebbe ottenere l'equazione \(1^x=b\), che risulta o impossibile o indeterminata a seconda del valore di \(b\);
  • \(b>0\): dato un numero \(a>0\) qualsiasi sua potenza \(a^x\) risulterà positiva, pertanto da \(a^x=b\) deduciamo che anche l'argomento debba essere positivo.

Proprietà

A partire dalla definizione di logaritmo e dalle proprietà delle potenze è possibile ricavare (omettiamo la dimostrazione) le seguenti proprietà dei logaritmi:

  • \(a^{\log_a b} =b, \forall a>0,a\neq 1, \forall b>0\)
  • \(\log_a a^b=b, \forall a>0,a\neq 1, \forall b>0\)
  • \(\log_a 1=0, \forall a>0,a\neq 1\)
  • \(\log_a a=1 \forall a>0,a\neq 1\)
  • \(\log_a (b\cdot c) = \log_a b+\log_a c,\forall a>0,a\neq 1, \forall b>0,\forall c>0\)
  • \(\log_a \frac{b}{c} = \log_a b-\log_a c,\forall a>0,a\neq 1, \forall b>0,\forall c>0\)
  • \(\log_a (b^c) = c\log_a b,\forall a>0,a\neq 1, \forall b>0,\forall c\in\mathbb{R}\)
  • \(\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a},\forall a>0,a\neq 1, \forall b>0,\forall c>0, c\neq 1\).

Esercizio: verificare che \(\log_b a=\frac{1}{\log_a b}, \forall a,b>0, a,b\neq 1\).

Risoluzione: applichiamo l'ultima proprietà invertendo \(a\) e \(b\) e ponendo \(c=a\):
$$\log_b a =\frac{\log_a a}{\log_a b}=\frac{1}{\log_a b},$$come volevasi dimostrare.

Come per le curve esponenziali, studiamo anche i grafici delle curve logaritmiche di equazione \(y=\log_a x\). Innanzitutto osserviamo che la condizione \(x>0\) ci dice già che il grafico non potrà occupare il II e il III quadrante. Inoltre, grazie alle prorietà elencate in precedenza, il grafico dovrà necessariamente passare per i punti \((1,0)\) e \((a, 1)\). Vediamo più nello specifico cosa succede se $a=2$: la curva passerà per i seguenti punti. 

\(x\)

\(y\)

\(1\) \(0\)
\(2\) \(1\)
\(4\) \(2\)
\(8\) \(3\)
\(\frac{1}{2}\) \(-1\)
\(\frac{1}{4}\) \(-2\)

Come secondo esempio può essere interessante considerare il caso \(a=\frac{1}{2}\): anziché ripetere tutti i calcoli osserviamo che$$\log_{\frac{1}{2}} x=\frac{\log_2 x}{\log_2 \frac{1}{2}}=\frac{\log_2 x}{-1}=-\log_2 x.$$Deduciamo che il nuovo grafico si può ottenere a partire dal precedente dopo aver cambiato segno alle ordinate, come mostrato in figura.

Per tutti gli altri valori di \(a\), il comportamento del grafico somiglierà a quello del primo caso se \(a>1\) e a quello del secondo caso se \(0<a<1\), come confermato dalla seguente figura interattiva.

Dallo studio dei grafici possiamo infine ricavare delle ulteriori proprietà che si riveleranno molto utili nello studio delle equazioni e disequazioni logaritmiche:
$$\begin{align*}
\left.
\begin{array}{ll}
\log_a x=0 \iff x=1 \\
\log_a x>0 \iff x>1 & \text{se $a>1$}\\
\log_a x<0 \iff 0<x<1 & \text{se $0<a<1$}\\
\log_a x>\log_a y \iff x>y & \text{se $a>1$}\\
\log_a x>\log_a y \iff x<y & \text{se $0<a<1$}.
\end{array}
\right.
\end{align*}$$