definizione; teorema degli zerialtri teoremi sulle funzioni continue

 

Quando facciamo una doccia e vogliamo regolare la temperatura dell'acqua, giriamo leggermente la manopola del rubinetto a destra o sinistra fino a raggiungere la temperatura desiderata. Questo si basa sull'idea che a piccole variazioni dell'input (posizione della manopola) corrispondano piccole variazioni dell'output (temperatura dell'acqua): in matematica questo concetto si esprime dicendo che la relazione che lega la posizione della manopola alla temperatura dell'acqua è una funzione continua

A volte però l'impianto idraulico non funziona come sperato e si ha la netta sensazione che l'acqua esca o gelida o bollente, senza passare per le temperature intermedie. In questo caso la funzione "manopola-temperatura" sarebbe discontinua, in quanto passando per la posizione centrale si avrebbe un salto netto di temperatura anziché una variazione graduale.

In natura possiamo trovare esempi sia di funzioni continue sia di funzioni discontinue: la relazione che lega l'area di un poligono regolare alla misura di un suo lato o la relazione che associa il carburante consumato con la strada percorsa sono esempi di funzioni continue. Di contro, il valore di un titolo azionario è una funzione discontinua del tempo, così come l'intensità del campo elettrico generato da un conduttore sferico è una funzione discontinua della distanza dal centro del conduttore stesso.

Definizione

Come abbiamo detto, a livello intuitivo, le funzioni continue non presentano salti, ovvero per passare da un valore all'altro devono assumere anche tutti i valori intermedi. Da un punto di vista grafico invece, spesso si dice che una funzione è continua se "è possibile tracciarne il grafico senza staccare la penna dal foglio". Tutte queste definizioni sono utili per avere un'idea di massima di cosa sia la continuità in matematica, ma sono formalmente corrette solo per funzioni definite su un intervallo. Per essere rigorosi, diremo che data una funzione \(f\) e un punto \(x_0\) del suo dominio $$f \text{ è continua in } x_0 \iff \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\hspace{10pt} \text{ (oppure }x_0\text{ è un punto isolato.)}$$Ricordando la definizione di limite finito al finito, possiamo anche scrivere $$f \text{ cont. in } x_0 \iff \forall\epsilon >0,\exists \delta_\epsilon >0 \text{ tale che } |x-x_0|<\delta_\epsilon \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \hspace{10pt} \text{ (o }x_0\text{ è isolato.)}$$In generale diremo che \(f\) è continua se lo è in ogni punto del suo dominio e indicheremo con \(C^0(\mathbb{R})\) l'insieme delle funzioni reali continue.

Tutte le funzioni elementari di cui abbiamo parlato nelle lezioni precedenti (potenze, valore assoluto, esponenziali, logaritmi, seno, coseno...) sono funzioni continue; somme, prodotti, quozienti e composizioni di funzioni continue sono a loro volta funzioni continue. Vediamo invece due esempi di funzioni discontinue

  • funzione segno: definiamo il segno di \(x\) secondo tramite la seguente formula $$\text{sgn}x:=\begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} 1 & \text{ se } x>0\\ 0 & \text{ se } x=0\\ -1 & \text{ se } x<0\end{array} \right. \end{align*}$$Questa funzione è discontinua nel punto \(x_0=0\) in quanto $$\begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{\lim_{x\to 0^+}\text{sgn}x =1}\\ \displaystyle{\lim_{x\to 0^-}\text{sgn}x =-1} \end{array} \right. \end{align*} \Rightarrow \nexists \lim_{x\to 0}\text{sgn}x. $$ 
  • funzione parte intera: dato un numero reale \(x\), definiamo la sua parte intera come il più grande numero intero minore o uguale a \(x\) o, in altre parole, la sua approssimazione intera ottenuta per difetto. In formula scriviamo $$\lfloor x\rfloor:=\max\{k\in\mathbb{Z}|k\leqslant x\}.$$La funzione parte intera presenta discontinuità per ogni valore intero di \(x\), infatti per ogni \(k\in\mathbb{Z}\) vale $$\begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{\lim_{x\to k^+}\lfloor x\rfloor =k}\\ \displaystyle{\lim_{x\to k^-}\lfloor x\rfloor =k-1} \end{array} \right. \end{align*} \Rightarrow \nexists \lim_{x\to 0}\text{sgn}x. $$

Attenzione! Ragionando in modo simile a quanto fatto per i precedenti due esempi potremmo essere portati ad affermare che anche la funzione \(\frac{1}{x}\) presenta una discontinuità in \(x_0=0\). A differenza dei casi precedenti però \(0\) non appartiene al dominio della funzione e pertanto non può essere usato per negare la definizione di continuità. In definitiva, la funzione \(\frac{1}{x}\) è continua nonostante il suo grafico sia rappresentato da due rami staccati.

Il teorema degli zeri

Un vastissimo numero di problemi della matematica consiste nel risolvere, quando possibile, equazioni della forma \(f(x)=0\). Per funzioni continue e definite su un intervallo esiste un teorema che sotto certe condizioni garantisce l'esistenza di soluzioni.

Teorema degli zeri: sia \(f\) una funzione continua definita su intervallo chiuso e limitato \([a,b]\). Se \(f(a)\) e \(f(b)\) sono discordi allora esiste almeno un punto \(c\in]a,b[\) tale che \(f(c)=0\).

L'idea alla base del teorema è molto semplice: una funzione continua, per passare da valori positivi a valori negativi (o viceversa) deve tagliare almeno una volta l'asse delle ascisse. Non c'è vincolo al numero di intersezioni che possiamo trovare: ce ne può essere una sola, due, tre o addirittura infinite. Inoltre, tra due zeri consecutivi, la funzione ha segno costante.

Fissiamo un po' meglio le idee con un esempio, studiando l'equazione \(\sqrt[3]{x}-e^{-x}=0\). Chiamata \(f(x)\) la funzione a primo membro, possiamo subito osservare che tale funzione è definita su un intervallo (addirittura su tutto \(\mathbb{R}\)) ed è continua in quanto ottenuta a partire da funzioni elementari. Se calcoliamo i valori di \(f\) in \(0\) e \(1\) troviamo $$f(0)=\sqrt[3]{0}-e^{-0}=-1<0 \hspace{30pt} f(1)=\sqrt[3]{1}-e^{-1}=1-\frac{1}{e}>0,$$quindi per il teorema degli zeri esiste un valore \(c\in]0,1[\) tale che \(f(c)=0\). Osservando inoltre che \(f\) è una funzione strettamente crescente (in quanto ottenuta come differenza tra una crescente e una decrescente) possiamo anche affermare che lo zero appena trovato è unico. La funzione \(f\) assumerà quindi valori negativi per \(x<c\) e positivi per \(x>c\).

Altri teoremi sulle funzioni continue

Altri importanti teoremi sulle funzioni continue sono i seguenti:

Teorema dei valori intermedi: se \(f\) è una funzione continua definita su intervallo chiuso e limitato \([a,b]\) allora il suo grafico passa per tutte le quote comprese tra \(f(a)\) e \(f(b)\).

Teorema di permanenza del segno: sia \(f\) una funzione continua. Sia \(x_0\) (non isolato) tale che \(f(x_0)>0\), allora \(\exists \delta>0\) tale che \(f(x)>0\forall x\in]x_0-\delta,x_0+\delta[\).

Teorema di Weierstrass: se \(f\) è una funzione continua definita su intervallo chiuso e limitato \([a,b]\) allora \(f\) ammette sia massimo che minimo assoluti su \([a,b]\).