definizione; esempi di non derivabilità; tabella delle derivate e regole di derivazione

  

  • Un paravento è formato da tre ante rettangolari uguali tra loro. Come disporre il paravento in modo che esso racchiuda il massimo spazio possibile? (risoluzione qui)
  • Un corpo in caduta libera si trova ad un'altezza variabile in funzione del tempo secondo la legge \(y(t)=h-\frac{1}{2}gt^2\). Quanto vale la velocità del corpo durante la caduta?

I due problemi appena presentati non hanno a prima vista alcun legame, tuttavia da un punto di vista matematico possono essere accomunati in quanto entrambi risolvibili tramite l'uso delle derivate. Vedremo tra poco come la derivata di una funzione in un punto rappresenti idealmente la "ripidità" del grafico della funzione in corrispondenza di quel punto.

Definizione

Consideriamo una funzione \(f(x\)\) e un punto (non isolato) \(x_0\) del suo dominio: per definire una pendenza cerchiamo di approssimare il grafico di \(f\) con una retta. Considerato un secondo valore, che chiamiamo \(x_0+h\), sappiamo che per i punti \((x_0,f(x_0))\) e \((x_0+h,f(x_0+h))\) passa una e una sola retta, la cui equazione (vedasi lezione sulle rette) è $$y=f(x_0)+\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(x-x_0).$$

Potremmo tentare di definire la ripidità della funzione come il coefficiente angolare della retta appena trovata, ovvero col rapporto incrementale $$m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$Questa definizione presenta però due problemi: in primo luogo notiamo come valori diversi di \(h\) generino rapporti incrementali diversi, creando un caso di ambiguità.

Inoltre non abbiamo alcuna garanzia che le rette che abbiamo costruito siano effettivamente buone approssimazioni del grafico di \(f\), come si può vedere nel grafico sottostante facendo uno zoom nei pressi del punto \((x_0,f(x_0))\).

Per ovviare a entrambi i problemi considereremo valori di \(h\) sempre più vicini a \(0\), facendo in modo che il punto \((x_0+h,f(x_0+h))\) tenda a sovrapporsi al punto \((x_0,f(x_0))\). Definiremo la "ripidità" di \(f\) in \(x_0\) come la pendenza della retta che si ottiene passando al limite per \(h\) tendente a \(0\) e chiameremo questa pendenza col nome di derivata di \(f\) in \(x_0\). Formalmente diremo quindi che una funzione \(f\) è derivabile nel punto \(x_0\) se il limite $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$esiste ed è finito. Tale limite prenderà il nome di derivata di \(f\) in \(x_0\) e lo indicheremo con una a piacere delle seguenti scritture: $$f'(x_0) \hspace{10pt} \frac{df}{dx}(x_0) \hspace{10pt} Df(x_0).$$Da un punto di vista geometrico, possiamo interpretare la derivata di una funzione in un punto come il coefficiente angolare della retta tangente passante per quel punto. 

Per familiarizzare col concetto di derivata e di retta tangente, invitiamo i lettori ad utilizzare il seguente grafico interattivo: in particolare, provate a modificare il valore di \(x_0\) e successivamente fate tendere \(h\) a \(0\) per verificare come la retta approssimante diventi tangente.

La derivabilità in un punto \(x_0\) implica la continuità in quello stesso punto: innanzitutto osserviamo che, dopo il cambio di variabile \(h=x-x_0\), la condizione di continuità può essere riscritta come $$\text{f è continua in \(x_0\) }\iff  \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\iff \lim_{h\to 0}f(x_0+h)=f(x_0) .$$ Usiamo ora l'ipotesi di derivabilità:$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)\Rightarrow \lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0)\right)=0\\ \Rightarrow \lim_{h\to 0}(f(x_0+h)-f(x_0)-hf'(x_0))=0\Rightarrow  \lim_{h\to 0}f(x_0+h)= \lim_{h\to 0}(f(x_0)+hf'(x_0))=f(x_0),$$come volevasi dimostrare.

Esempi di non derivabilità

Abbiamo visto che una funzione è derivabile in un punto se e solo se il limite del rapporto incrementale esiste ed è finito. Vediamo alcuni casi in cui una di queste due condizioni non si verifica.

  • Ci chiediamo se la funzione valore assoluto è derivabile in \(x_0=0\): calcoliamo il limite del rapporto incrementale separando i casi in cui \(h\) tende a \(0^+\) e \(0^-\). $$ \lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=1\\ \lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1.$$Poiché il limite destro e il limite sinistro non coincidono, il limite per \(h\) tendente a \(0\) non esiste e, di conseguenza, nemmeno la derivata. Punti di questo tipo sono detti punti angolosi, e sono caratterizzati dal fatto che il grafico della funzione presenta in tali punti due tangenti distinte.
  • Studiamo ora la funzione radice quadrata, sempre in \(x_0=0\): in questa situazione, per ragioni di dominio, ha senso solo valutare il limite destro $$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}=\frac{1}{0^+}=+\infty.$$Il limite stavolta esiste ma non è finito: la retta tangente al grafico sarà una retta verticale e pertanto priva di coefficiente angolare.

Tabella delle derivate elementari e regole di derivazione

Finora abbiamo studiato le derivate da un punto di vista teorico, ma non ci siamo ancora occupati di effettuare qualche calcolo più concreto. Proviamo ad esempio a calcolare la derivata della funzione \(f(x)=x^2\) nel punto di ascissa \(x_0=1\) e a dedurre l'equazione della tangente al grafico di \(f\) passante per \((1,f(1))\): $$\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1+2h+h^2-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2h+h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2+h)=2.$$Il limite esiste ed è finito pertanto possiamo affermare che \(f'(1)=2\) e che la retta tangente avrà equazione $$ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\\ y=1+2(x-1) \\ y=2x-1.$$

Il problema di questo approccio è che se ora volessimo determinare derivata e retta tangente in un altro punto saremmo costretti a ripetere tutti i conti daccapo.

Possiamo allora cambiare approccio e provare a calcolare la derivata in un punto \(x\) generico: $$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x.$$La formula appena trovata vale per ogni numero reale \(x\) e ci permette di definire una nuova funzione che associa ad ogni punto la corrispondente derivata: chiameremo questa funzione col nome di funzione derivata e la indicheremo scrivendo $$f'(x) \hspace{10pt} \frac{df}{dx}(x) \hspace{10pt} Df(x).$$Di seguito riportiamo l'elenco delle funzioni derivate associate alle funzioni elementari.

\(f(x)\)

\(f'(x)\)

\(k\) \(0\)
\(x\) \(1\)
\(x^\alpha\) \(\alpha x^{\alpha-1}\)
\(e^x\) \(e^x\)
\(\log x\) \(\frac{1}{x}\)
\(a^x\) \(a^x\log a\)
\(\log_a x\) \(\frac{1}{x\log a}\)
\(\sin x\) \(\cos x\)
\(\cos x\) \(-\sin x\)
\(\arcsin x\) \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan x\) \(\frac{1}{1+x^2}\)

Quando dovremo derivare funzioni più complesse il nostro obiettivo sarà sempre quello di ricondurci alla tabella delle derivate elementari, usando le seguenti regole:

  • somma di funzioni: la derivata di una somma (o differenza) di funzioni si ottiene facendo la somma (o differenza) delle derivate delle due funzioni. In formula scriviamo $$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$$. A titolo di esempio, la derivata della funzione \(x^2+\sin x\) sarà $$(x^2+\sin x)'=(x^2)'+(\sin x)'=2x+\cos x.$$
  • moltiplicazione per una costante: la derivata di una funzione moltiplicata per una costante si ottiene moltiplicando la costante per la derivata della funzione. A esempio, se consideriamo \(3\log x\), la sua derivata è $$(3\log x)'=3(\log x)'=3\cdot \frac{1}{x}.$$Le due regole appena descritte si chiamano proprietà di linearità e se combinate permettono di derivare con estrema facilità tutti i polinomi: ad esempio $$(4x^3-3x^2+\frac{x}{2}+\sqrt{3})'=4(x^3)'-3(x^2)'+\frac{1}{2}(x)'+(\sqrt{3})'=4\cdot3x^2-3\cdot 2x+\frac{1}{2}\cdot 1+0\\ =12x^2-6x+\frac{1}{2}.$$
  • prodotto di funzioni: per derivare un prodotto non è sufficiente derivare i singoli fattori ma bisogna seguire la regola di Leibniz: $$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$$ Proviamo a derivare la funzione \(\sqrt{x}\arctan x\): innanzitutto osserviamo che la radice si può derivare ricordando che \(\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}\), ottenendo $$(\sqrt{x})'=(x^\frac{1}{2})'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$A questo punto usiamo la regola di Leibniz: $$(\sqrt{x}\arctan x)'=(\sqrt{x})'\arctan x+\sqrt{x}(\arctan x)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\arctan x+\sqrt{x}\frac{1}{1+x^2}.$$
  • quoziente di funzioni: la regola di derivazione dei quozienti somiglia in parte a quella per i prodotti che abbiamo appena visto: $$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} \\(\tan x)'= \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}.$$
  • composizione di funzioni: l'ultima regola che proponiamo è quella relativa alla composizione. Date due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\), la funzione composta \(f(g(x))\) ha derivata \((f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\). Consideriamo ad esempio la funzione composta \(\log(\sin x)\), ottenuta componendo le funzioni \(f(x)=\log x\) e \(g(x)=\sin x\). Il primo fattore della derivata è \(f'(g(x))\) e può essere calcolato nel seguente modo: $$f(x)=\log x\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}\Rightarrow f'(g(x))=\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{\sin x}.$$Il secondo fattore è semplicemente \(g'(x)=\cos x\) e pertanto la derivata della composta sarà $$(\log(\sin x))'=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\frac{\cos x}{\sin x}.$$L'applicazione della regola di derivazione per funzioni composte spesso genera un po' di confusione e per questo proponiamo una seconda tabella ausiliaria che può essere utilizzata al posto della regola generale.

    \(f(g(x))\)

    \((f(g(x)))'\)

    \(g(x)^\alpha\) \(\alpha g(x)^{\alpha-1}g'(x)\)
    \(e^{g(x)}\) \(e^{g(x)}g'(x)\)
    \(\log g(x)\) \(\frac{1}{g(x)}g'(x)\)
    \(\sin g(x)\) \(\cos g(x)\cdot g'(x)\)
    \(\cos g(x)\) \(-\sin g(x)\cdot g'(x)\)
    \(\arcsin g(x)\) \(\frac{1}{\sqrt{1-g(x)^2}}g'(x)\)
    \(\arctan g(x)\) \(\frac{1}{1+g(x)^2}g'(x)\)

    Proviamo a usare questa tabella per calcolare la derivata di una funzione un po' insolita, ovvero \(f(x)=x^x\). Ricordando la proprietà dei logaritmi \(e^{\log a}=a\), la funzione può essere riscritta come \(f(x)=e^{\log x^x}\); a questo punto applichiamo la proprietà \(\log_a b^c=c\log_a b\) otteniamo \(f(x)=e^{x\log x}\), che corrisponde alla terza riga della nuova tabella ponendo \(g(x)=x\log x\). La sua derivata sarà quindi $$f'(x)=e^{x\log x}(x\log x)'=e^{x\log x}(1\cdot\log x+x\cdot\frac{1}{x})=x^x(\log x+1).$$