Integrale definito; integrale indefinito; integrazione per parti; integrazione per sostituzioneteorema fondamentale del calcolo integrale

 

 

"Su una trave orizzontale di lunghezza \(L\) è distribuito un carico con distribuzione \(p(x)\). Quanto vale il carico totale che deve sopportare la trave?"

"Quanto misura l'area di un ellisse?"

"Un corpo viaggia lungo una linea retta con velocità \(v(t)\) nota. Quanta strada percorrerà nei primi \(10\) secondi del suo moto?"

"Un gas si espande secondo una trasformazione isoterma. Qual è il lavoro compiuto dal gas durante l'espansione?"

Anche se apparentemente molto diversi, questi problemi hanno in comune il fatto che tutti possono essere risolti riconducendoli al calcolo di una somma. Consideriamo ad esempio la prima domanda: per determinare il carico totale che agisce sulla trave dobbiamo sommare i carichi \(p(x)\) che agiscono su ciascun punto. Se il carico è definito da una funzione costante di valore \(p\) il problema viene risolto facilmente moltiplicando \(p\) per la lunghezza \(L\) della trave, ovvero $$C=p\cdot L.$$

Supponiamo ora che il carico \(p(x)\) sia descritto da una funzione generica, come da esempio quella raffigurata nella figura sottostante:

In questo caso l'idea sarà quella di dividere la trave in tanti piccoli tratti di lunghezza \(h\) e di approssimare su ciascun tratto il grafico di \(p(x)\) con una costante \(p_i\).

Con questo accorgimento possiamo quindi ricondurci al caso precedente e trovare un valore approssimato di \(C\): $$C\approx \sum_{i=1}^np_i\cdot h.$$ Ripetendo questa procedura con valori sempre più piccoli di \(h\) troveremo approssimazioni sempre più precise fino a determinare il valore effettivo del carico complessivo \(C\). 

Integrale definito

La procedura che abbiamo descritto nel paragrafo precedente consiste in una generalizzazione del concetto di sommatoria dove ciascun addendo viene via via scomposto in altri addendi "più piccoli": nell'esempio precedente, questa idea era rappresentata dalla suddivisione della trave in un numero sempre maggiore di tratti di lunghezza sempre più piccola, fino ad arrivare (al limite) alla scomposizione della trave nei suoi singoli punti. Il concetto di integrazione secondo Riemann di una funzione \(f(x)\) è analogo e da un punto di vista analitico consiste nel "sommare" tutti i valori di \(f\) su un intervallo scelto a priori. A livello grafico abbiamo fortunatamente un'interpretazione più diretta del concetto di integrale, in quanto esso corrisponderà all'area compresa tra il grafico della funzione e l'asse delle ascisse. 

ATTENZIONE: spesso nei corsi di matematica l'integrale viene direttamente presentato come "area di una funzione", cosa che può aiutare gli studenti a familiarizzare col concetto di integrale partendo da una base più concreta. Tuttavia, esistono molti altri tipi di integrale (curvilineo, superficiale, di flusso) che si prestano poco a tale interpretazione e pertanto abbiamo preferito specificare fin da subito quale sia la vera natura degli integrali.

Vediamo ora a livello formale cosa significa a livello formale integrare una funzione \(f(x)\) a valori positivi e continua su un intervallo chiuso e limitato \([a,b]\): creiamo una partizione \(P\) di \([a,b]\) dividendo tale intervallo in un numero finito di sottointervalli chiusi e limitati \(I_j=[a_j,b_j]\) e su ciascuno di essi definiamo una funzione costante che approssimi per difetto \(f\): $$g_j(x)=g_j=\displaystyle{\min_{x\in I_j}f(x)}.$$Le funzioni \(g_j\) sono ben definite grazie al teorema di Weierstrass (una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ammette sempre massimo e minimo assoluti). A questo punto approssimiamo per difetto l'area sottesa dal grafico di \(f\) calcolando l'area individuata dalle funzioni \(g_j\): $$I_*(P):=\sum_{j=1}^ng_j\cdot(b_j-a_j).$$Chiamato \(\mathcal{P}\) l'insieme di tutte le partizioni di \([a,b]\), ripetiamo la procedura per ogni possibile elemento di \(\mathcal{P}\) e definiamo l'integrale inferiore di \(f\) come l'estremo superiore di tutte le approssimazioni ottenute per difetto: $$I_*:=\sup_{P\in\mathcal{P}}I_*(P).$$

In modo del tutto analogo, ponendo $$h_j(x)=h_j=\displaystyle{\max_{x\in I_j}f(x)},$$si approssima per eccesso l'integrale di \(f\) $$I^*(P):=\sum_{j=1}^nh_j\cdot(b_j-a_j)$$e si definisce l'integrale superiore di \(f\) secondo la formula $$I^*:=\inf_{P\in\mathcal{P}}I^*(P).$$

Diremo infine che \(f\) è integrabile secondo Riemann sull'intervallo \([a,b]\) se gli integrali superiore e inferiore sono finiti e coincidono. In tal caso chiameremo il loro valore comune col nome di integrale definito di \(f\) su \([a,b]\) e lo indicheremo scrivendo $$\int_a^bf(x)\,dx. $$

Elenchiamo alcune proprietà dell'integrale di Riemann:

  • le funzioni continue e le funzioni limitate sono tutte integrabili su ogni intervallo chiuso e limitato su cui sono definite;
  • se \(f\) è una funzione ha valori negativi, allora il suo integrale può essere definito tramite la formula $$\int_a^bf(x)\,dx=-\int_a^b|f(x)|\,dx$$In particolare, a differenza dell'interpretazione geometrica di area, gli integrali possono restituire valori negativi;
  • vale la seguente proprietà di additività: $$\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx, \forall c\in]a,b[;$$
  • l'integrale calcolato su un singolo punto ha sempre valore nullo: $$\int_a^af(x)\,dx=0, \forall a\in\mathbb{R}.$$Da questa proprietà segue che integrare una funzione sugli intervalli \([a,b]\) e \(]a,b[\) restituisce lo stesso risultato;
  • per convenzione, scambiare l'ordine degli estremi di integrazione comporta un cambio di segno del risultato dell'integrale $$\int_b^af(x)\,dx:=-\int_a^bf(x)\,dx.$$

Integrale indefinito

Calcolare un integrale definito usando la definizione richiede, come abbiamo visto, una procedura particolarmente lunga e laboriosa e pertanto di scarsa applicabilità pratica. In questo paragrafo vedremo come ci siano metodi più semplici per calcolare gli integrali. Iniziamo con una definizione: diciamo che una funzione \(F(x)\) è una primitiva di \(f(x)\) se $$F'(x)=f(x).$$L'insieme delle primitive di una funzione, qualora esistano, prende il nome di integrale indefinito, e viene indicato scrivendo $$\int f(x)\,dx. $$Cerchiamo, a titolo di esempio, le primitive della funzione \(f(x)=1\): dalla tabella delle derivate elementari ricaviamo immediatamente che \(F(x)=x\) è una primitiva di \(f\), infatti $$(x)'=1.$$Lo stesso ragionamento però vale anche per la funzione \(F(x)=x+1\), infatti $$(x+1)'=x'+1'=1+0=1.$$Lo stesso ragionamento si può ripetere con tutte le funzioni della forma \(F(x)=x+c\), dove \(c\) è una costante arbitraria. In conclusione, la funzione \(f(x)=1\) ha infinite primitive, e il suo integrale indefinito è \(x+c\): in sintesi scriveremo $$\int 1\,dx=x+c.$$

Usando la tabella delle derivate elementari, possiamo ricavare le primitive per la maggior parte delle funzioni elementari, che riassumiamo nella seguente tabella (lasciamo ai lettori il compito di verificare che le derivate delle funzioni della colonna di destra restituiscono le funzioni della colonna sinistra):

\(f(x)\)

\(\int f(x)\,dx\)

\(0\) \(c\)
\(1\) \(x+c\)
\(x^\alpha, \forall\alpha\neq-1\) \(\frac{ x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c\)
\(\frac{1}{x}\) \(\log|x|+c_\pm\)
\(e^x\) \(e^x+c\)
\(a^x\) \(\frac{a^x}{\log a}\)
\(\sin x\) \(-\cos x+c\)
\(\cos x\) \(\sin x+c\)
\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\arcsin x+c\)
\(\frac{1}{1+x^2}\) \(\arctan x+c\)

ATTENZIONE: con riferimento alla quarta riga della tabella, spesso le primitive della funzione \(\frac{1}{x}\) sono scritte nella forma \(\log|x|+c\).

Questa scrittura però è imprecisa in quanto esclude un'infinità di primitive: se consideriamo infatti la funzione definita a tratti $$\begin{align*}F(x)=\left\{ \begin{array}{l} \log x +1 & \text{ se } x>0 \\ \log(-x)+2 & \text{ se } x<0\end{array} \right.\end{align*}$$e ne calcoliamo la derivata otteniamo $$\begin{align*}F'(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x}+0 & \text{ se } x>0 \\ \frac{1}{-x}(-1)+0 & \text{ se } x<0\end{array}\right.\Rightarrow F'(x)=\frac{1}{x},\forall x\neq 0.\end{align*}$$Questo significa che anche la funzione definita a tratti che abbiamo proposto è una valida primitiva per \(f(x)=\frac{1}{x}\), e lo stesso ragionamento si può applicare ad ogni funzione del tipo $$\begin{align*}F(x)=\left\{\begin{array}{l} \log x +c_+ & \text{ se } x>0 \\ \log(-x)+c_- & \text{ se } x<0.\end{array}\right.\end{align*}$$L'espressione "\(+c_\pm\)" che abbiamo usato in tabella serve proprio a indicare come la costante di integrazione possa assumere due valori diversi sui due intervalli di definizione di \(f\).

Lo stesso ragionamento vale per le primitive di qualsiasi funzione definita su intervalli separati (come ad esempio la funzione tangente), che avranno la forma $$F(x)=-\log|\cos x|+c_k$$ con \(c_k\) costante che può assumere un valore diverso su ciascun intervallo di definizione della tangente, ovvero \(]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi[\).

Per trovare le primitive di funzioni più complesse, ci aiuteremo usando le proprietà delle derivate. Ad esempio dalla linearità delle derivate segue anche la linearità dell'integrale indefinito: $$\int(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha\int f(x)\,dx+\beta\int g(x)\,dx.$$Più complicato invece è il caso in cui si debbano integrare prodotti o quozienti di funzioni, come vedremo nei prossimi paragrafi.

Integrazione per parti

Ricordiamo la regola di Leibniz di derivazione del prodotto: \((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\). Usando le proprietà di linearità dell'integrale indefinito possiamo allora scrivere $$\int(f(x)g(x))'\,dx=\int(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))\,dx \\ \Rightarrow \int(f(x)g(x))'\,dx=\int f'(x)g(x)\,dx+\int f(x)g'(x)\,dx \\ \Rightarrow \int f(x)g'(x)\,dx = \int(f(x)g(x))'\,dx-\int f'(x)g(x)\,dx \\ \Rightarrow \int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx.$$Nell'ultimo passaggio si è usato il fatto che, per definizione, \(f(x)g(x)\) è ovviamente una primitiva di \( (f(x)g(x))'\) (il "\(+c\)" qui non serve in quanto è già compreso nell'altro addendo a secondo membro, ovvero in \(\int f'(x)g(x)\,dx\)).

La regola che abbiamo ottenuto prende il nome di integrazione per parti e può essere riassunta con la formula $$\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx.$$Questo metodo di integrazione funziona bene quando si verificano le seguenti condizioni:

  • la funzione integranda è un prodotto di cui sappiamo integrare un fattore (che chiameremo \(g'\)); 
  • l'integrale \(\int f'(x)g(x)\,dx\) risulta più semplice da calcolarsi rispetto a quello di partenza \(\int f(x)g'(x)\,dx\).

Per capire meglio quanto appena detto, vediamo il seguente esempio: $$\int xe^x\,dx.$$Entrambi i fattori sono facilmente integrabili, perciò vediamo cosa succede operando entrambe le scelte possibili: se poniamo \(g'(x)=x\) allora una primitiva del fattore scelto è \(g(x)=\frac{x^2}{2}\), mentre la derivata di \(f(x)=e^x\) sarà \(f'(x)=e^x\). Applicando la formula per parti otterremmo $$\int xe^x\,dx= \frac{x^2}{2}-\int\frac{x^2}{2}e^x\,dx.$$L'integrale che abbiamo ottenuto è addirittura più complesso di quello di partenza e questo ci fa pensare che la scelta attuata non sia stata ottimale. Proviamo allora a porre \(g'(x)=e^x\) e \(f(x)=x\): $$f(x)=x \stackrel{D}{\longrightarrow} f'(x)=1 \\  g(x)=e^x \stackrel{I}{\longleftarrow} g'(x)=e^x.$$L'integrale diventa allora $$\int xe^x\,dx=xe^x-\int 1\cdot e^x\,dx$$dove l'integrale a secondo membro è elementare. La soluzione dell'esercizio è quindi $$\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+c.$$La tecnica appena mostrata è molto utile per risolvere tutti gli integrali del tipo $$\int x^ne^x\,dx \hspace{10pt} \int x^n\sin x\,dx \hspace{10pt} \int x^n \log x\,dx. $$

Integrazione per sostituzione

Non tutti i prodotti si riescono a integrare per parti, come ad esempio nel caso della funzione \(2xe^{x^2}\). Il metodo che proponiamo in questo paragrafo si basa sulla regola di derivazione delle funzioni composte \((f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)\). A livello di integrale possiamo allora dire che $$\int f'(g(x))g'(x)\,dx=f(g(x))+c.$$Questo metodo si chiama integrazione per sostituzione in quanto consiste fondamentalmente in un cambio di variabile \(t=g(x)\). Con abuso di notazione possiamo dire che alla sostituzione \(t=g(x)\) corrisponde un passaggio da \(dx\) a \(dt\) dettato dalla formula $$dt=g'(x)\,dx.$$Riassumendo, possiamo dire che l'integrazione per sostituzione è regolata dalle formule $$t=g(x) \\ dt=g'(x)\,dx.$$Usiamo quanto appena detto per calcolare $$\int 2xe^{x^2}\,dx:$$osservando che nell'integrale compare il termine \(x^2\) assieme alla sua derivata \(2x\) possiamo porre $$\color{#0000FF}{t=x^2} \\ \color{#FF0000}{dt=2x\, dx}$$ottenendo quindi $$\int e^t\,dt.$$L'integrale ricavato è elementare e vale \(e^t+c\); a questo punto risostituendo \(x^2\) al posto di \(t\) troviamo la soluzione. Ricapitolando abbiamo  $$\int \color{#FF0000}{2x}e^{\color{#0000FF}{x^2}}\color{#FF0000}{\,dx}=\int e^\color{#0000FF}{t}\,\color{#FF0000}{dt}=e^t+c=e^{x^2}+c.$$Il metodo di sostituzione funziona particolarmente bene quando all'interno dell'integrale compaiono una funzione e la propria derivata, come nei seguenti casi $$\int f(x^n)x^{n-1}\,dx \hspace{10pt} \int f(e^x)e^x\,dx \hspace{10pt} \int f(\sin x)\cos x\,dx \hspace{10pt} \int f(\log x)\frac{1}{x}\,dx.$$Per esercizio si provino ad esempio a risolvere i seguenti integrali: $$\int x^3\sin(x^4)\,dx \hspace{10pt} \int \frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx \hspace{10pt} \int \sqrt{\sin x}\cos x\,dx \hspace{10pt} \int \frac{1}{x\log x}\,dx.$$

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Terminiamo questa lezione mostrando il legame tra integrali definiti e indefiniti. Iniziamo dando la definizione di funzione integrale: se \(f\) è una funzione integrabile su un intervallo \(I\) allora per ogni \(x_0\in I\) è definita la funzione integrale $$F_{x_0}(x):=\int_{x_0}^x f(t)\,dt.$$

All'interno dell'integrale dobbiamo usare una nuova variabile \(t\) in quanto \(x\) è già stata utilizzata per definire gli estremi di integrazioni: in altre parole, \(x_0\) e \(x\) sono gli estremi mentre \(t\) è una variabile di integrazione che copre tutti i valori da  \(x_0\) a \(x\). A partire dalle funzioni integrali è immediato calcolare qualsiasi integrale definito di \(f\), infatti \(\forall a,b\in I\) vale $$\int_a^bf(x)\,dx= F_{x_0}(b)-F_{x_0}(a), \forall x_0\in I.$$Il prossimo teorema che enunciamo afferma che le funzioni integrali sono primitive di \(f\) e pertanto possono essere trovate calcolando l'integrale indefinito di \(f\). 

Teorema fondamentale del calcolo integrale: se \(f:I\to\mathbb{R}\) è una funzione continua e integrabile allora ogni sua funzione integrale \(F_{x_0}(x)\) è derivabile ed è una primitiva di \(f\), ovvero \(F_{x_0}'(x)=f(x)\).

Se \(f\) è una funzione continua su un intervallo e \(F(x)\) è una sua primitiva, tutte le altre primitive (tra cui come abbiamo visto le funzioni integrali) hanno la forma \(F(x)+c\), con \(c\) costante. Quando calcoliamo l'integrale definito avremo allora $$\int_a^bf(x)\, dx=F_{x_0}(b)-F_{x_0}(a)=(F(b)+c)-(F(a)+c)=F(b)-F(a).$$In conclusione, il legame tra integrali definiti e indefiniti è il seguente: il valore dell'integrale definito può essere calcolato come differenza di valori di una qualsiasi primitiva (e non necessariamente una funzione integrale). In formula scriviamo $$\int_a^bf(x)\, dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$$dove \(F\) è una generica primitiva di \(f\).

Calcoliamo a titolo di esempio l'integrale della funzione \(f(x)=\sin x\) tra \(0\) e \(\pi\): cerchiamo dapprima una primitiva risolvendo l'integrale indefinito $$\int \sin x\,dx=-\cos x+c.$$Tra le infinite primitive trovate ne scegliamo una a piacere, ad esempio ponendo \(c=0\) otteniamo \(F(x)=-\cos x\). A questo punto l'integrale sarà dato dalla differenza tra i valori \(F(\pi)\) e \(F(0)\):  $$\int_0^\pi \sin x\,dx=[-\cos x]_0^\pi=-\cos\pi-(-\cos 0)=-(-1)+1=2.$$