dominio; zeri e segno; limiti e asintoti; derivata primaderivata seconda

 

Nelle lezioni precedenti siamo ricorsi parecchie volte all'uso di grafici per aiutarci nella comprensione degli argomenti che stavamo studiando. In questa lezione vedremo come tracciare il grafico qualitativo di una funzione senza dover necessariamente ricorrere all'uso di una calcolatrice scientifica o di un computer. 

Generalmente lo studio di funzione si articola nei seguenti passi: dominio, zeri e segno, limiti e asintoti, montonia e massimi e minimi, convessità e flessi. Questo schema deve fare solo da traccia e non deve essere preso in modo troppo rigido, infatti a seconda della natura della funzione (e delle richieste dei docenti) può essere interessante studiare anche altre caratteristiche, come l'esistenza di punti di discontinuità o di non derivabilità; inoltre non c'è alcun obbligo di trattare i vari punti secondo l'ordine proposto in questa lezione.

Dominio 

Solitamente lo studio di funzione inizia dalla determinazione del dominio della funzione, ovvero l'insieme dei valori per cui è definita. Tipicamente imporremo le seguenti condizioni:

  • tutti i denominatori devono essere non nulli;
  • ogni logaritmo deve avere argomento strettamente positivo;
  • ogni radice di indice pari deve avere radicando non negativo;
  • gli argomenti delle funzioni arcoseno e arcocoseno devono essere compresi tra \(-1\) e \(1\) (estremi inclusi).

Altre due regole da tenere presente ma che difficilmente trovano spazio negli esercizi scolastici sono:

  • ogni logaritmo deve avere base positiva e diversa da \(1\);
  • ogni base con esponente non razionale deve avere base strettamente positiva.

Per fissare le idee, determiniamo ad esempio il dominio della funzione \(f(x)=\sqrt{x+1}\frac{\log x^2}{e^x}\). Essendo in presenza di una radice quadrata, un logaritmo e un denominatore, dobbiamo mettere a sistema tre condizioni: $$\begin{align*}\left\{ \begin{array}{l} x+1\geqslant 0 \\ x^2>0 \\ e^x\neq 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\geqslant -1 \\ x\neq 0 \\ \forall x\in\mathbb{R}. \end{array} \right.\end{align*}\Rightarrow -1\leqslant x <0 \vee x>0.$$

A livello grafico allora possiamo "cancellare" dal piano cartesiano le zone in cui NON può passare il grafico di \(f\), ovvero tutta la parte relativa a valori di \(x\) minori di \(-1\) e la retta \(x=0\).

Zeri e segno

Una volta determinato il dominio di una funzione, possiamo proseguire cercando le sue intersezioni con l'asse delle ascisse, e determinando gli intervalli in cui \(f\) è positiva (e per esclusione anche quelli dove è negativa). In base alle funzione che stiamo studiando o in base a preferenze personali, possiamo decidere di trovare separatamente zeri e segno, risolvendo prima l'equazione \(f(x)=0\) e poi la disequazione \(f(x)>0\), oppure possiamo trattare i due problemi contemporaneamente, risolvendo \(f(x)\geqslant 0\).

Proviamo a determinare zeri e segno della funzione usata come esempio nel paragrafo sul dominio, ovvero \(f(x)=\sqrt{x+1}\frac{\log x^2}{e^x}\). Gli zeri sono le soluzioni dell'equazione \(f(x)=0\), ovvero $$\sqrt{x+1}\frac{\log x^2}{e^x}=0.$$Usando la legge di annullamento del prodotto, otteniamo che \(f\) si annulla se e solo se si annulla \(\sqrt{x+1}\) o \(\log x^2\), perciò $$f(x)=0\iff \sqrt{x+1}=0 \vee \log x^2=0 \iff x=-1 \vee x=\pm 1 \iff x=\pm 1.$$Il grafico aggiornato con gli zeri appena trovati diventa il seguente.

Passiamo ora allo studio del segno: $$\sqrt{x+1}>0 \iff x>-1 \\ \log x^2>0 \iff x^2>1 \iff x<-1 \vee x>1 \\ e^x>0 \forall x\in\mathbb{R}.$$Si noti come nello schema dei segni abbiamo eliminato i valori di \(x\) che erano stati esclusi nel dominio, infatti non ha senso studiare il segno di una funzione dove essa non è definita.

In conclusione, poiché la funzione è positiva per \(x>1\),in corrispondenza di tale ascisse possiamo cancellare la parte di piano che sta sotto all'asse \(x\). In modo analogo, cancelleremo la parte sopra all'asse \(x\) relativamente agli intervalli in cui \(f\) è negativa, ovvero \(]-1,0[\) e \(]0,1[\).

Come verifica dei risultati ottenuti, riportiamo il grafico finale della funzione \(f(x)=\sqrt{x+1}\frac{\log x^2}{e^x}\): è immediato notare che il grafico passi per gli zeri trovati e non entri mai nelle zone colorate di rosso.

Limiti e asintoti

Un'altra caratteristica estremamente importante che viene richiesta nell'analisi qualitativa di una funzione è lo studio dei limiti agli estremi del dominio: questo serve a farci capire da dove parte e dove finisce il grafico della funzione. Se una funzione è definita su tutto \(\mathbb{R}\) dovremo quindi calcolare i limiti per \(x\) tendente a \(\pm\infty\) mentre se il dominio è unione di più intervalli dovremo valutare i limiti sugli estremi di ciascun intervallo (ad esempio, due intervalli implicheranno il calcolo di quattro limiti, tre intervalli richiederanno il calcolo di sei limiti e così via...). Il processo può sembrare molto lungo e tedioso ma spesso proprietà di continuità o simmetria della funzione permettono di velocizzare notevolmente l'analisi dei limiti.

Una volta determinati i limiti, possiamo cercare eventuali asintoti della funzione, ovvero delle rette a cui la funzione tende ad avvicinarsi. Formalmente la ricerca degli asintoti avviene nel seguente modo:

  • se \(\lim_{x\to x_0^\pm}f(x)=\pm\infty\) allora la retta di equazione \(x=x_0\) è un asintoto verticale;
  • se \(\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=L\) (con \(L\) finito) allora la retta di equazione \(y=L\) è un asintoto verticale;
  • se \(\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=\pm\infty\) allora la funzione può presentare un asintoto obliquo di equazione \(y=mx+q\).

Mentre nei primi due casi elencati la determinazione dell'asintoto è molto semplice lo stesso non si può dire per il terzo caso: per trovare coefficiente angolare e intercetta dell'eventuale asintoto obliquo bisogna risolvere i seguenti limiti $$m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}  \\ q=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx).$$Qualora entrambi i limiti esistano, siano finiti, e il primo non sia nullo, potremo dire che la retta  \(y=mx+q\) è asintoto obliquo di \(f\).

Commentiamo ora qualche esempio, iniziando dalla funzione \(f(x)=\log(e^x+1)+\frac{1}{x}\). Poiché siamo in presenza di un logaritmo e di una frazione, il dominio sarà dato da due condizioni: $$\begin{align*}\left\{ \begin{array}{l} e^x+1> 0 \\ x\neq 0 \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{l} \forall x \\ x\neq 0 \end{array} \right. \Rightarrow x\neq 0. \end{align*}$$Il dominio di \(f\) risulta essere \(]-\infty,0[\cup]0,+\infty[\) ed essendo costituito da due intervalli richiederà il calcolo di quattro limiti, ovvero (da sinistra a destra) i limiti per \(x\) tendente a \(-\infty,0^-,0^+,+\infty\).$$\lim_{x\to-\infty}\left(\log(e^x+1)+\frac{1}{x}\right)=\log(e^{-\infty}+1)+\frac{1}{-\infty}=\log(0+1)+0=0; \\ \lim_{x\to 0^-}\left(\log(e^x+1)+\frac{1}{x}\right)=\log(e^{0^-}+1)+\frac{1}{0^-}=\log 2-\infty=-\infty; \\ \lim_{x\to0^+}\left(\log(e^x+1)+\frac{1}{x}\right)=\log(e^{0^+}+1)+\frac{1}{0^+}=\log2+\infty=+\infty; \\ \lim_{x\to+\infty}\left(\log(e^x+1)+\frac{1}{x}\right)=\log(e^{+\infty}+1)+\frac{1}{+\infty}=\log(+\infty+1)+0=+\infty.$$

I risultati ottenuti ci permettono di affermare immediatamente che la retta \(x=0\) sarà un asintoto verticale mentre la retta \(y=0\) sarà un asintoto orizzontale sinistro (in quanto ottenuto facendo tendere \(x\) a \(-\infty\); per \(x\) tendente a \(+\infty\) invece non sappiamo ancora con certezza se ci sia o meno un asintoto obliquo (destro) \(y=mx+q\). Per risolvere questo dubbio proviamo a calcolare esplicitamente \(m\) e \(q\): $$\begin{align*}m&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\log(e^x+1)+\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\log(e^x+1)}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\log[e^x(1+e^{-x})]}{x}+\frac{1}{x^2}\right) \\&=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+\log(1+e^{-x})}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\log(1+e^{-x})}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\\ &=1+\frac{\log(1+e^{-\infty})}{+\infty}+\frac{1}{(+\infty)^2}=1+\frac{\log 1}{+\infty}+0=1; \\ q&=\lim_{x\to+\infty}\left(\log(e^x+1)+\frac{1}{x}-1\cdot x\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x+\log(1+e^{-x})+\frac{1}{x}- x\right) \\ &=\log(1+e^{-\infty})+\frac{1}{+\infty}=\log 1+0=0.\end{align*}$$Deduciamo allora che la retta \(y=1\cdot x+0\), ovvero \(y=x\), è asintoto obliquo destro per \(f\). Nella figura seguente possiamo vedere il grafico della funzione insieme ai suoi asintoti.

Concludiamo il paragrafo vedendo alcuni casi di funzioni che divergono per \(x\) tendente a \(+\infty\) ma che non presentano asintoto obliquo. I casi più frequenti sono quelli in cui l'asintoto obliquo risulterebbe avere pendenza infinita o nulla.

  • \(f(x)=e^x\): la curva esponenziale cresce troppo velocemente rispetto a una qualsiasi retta, se proviamo a calcolare la pendenza di un eventuale asintoto obliquo infatti troviamo $$m=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}\stackrel{H}{=}\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{1}=+\infty.$$In questo caso possiamo dire che \(f\) ha crescita superlineare.
  • \(f(x)=\log x\): caso opposto al precedente. La curva logaritmica ha una crescita più lenta di qualsiasi retta e pertanto la chiameremo sublineare.$$m=\lim_{x\to+\infty}\frac{\log x}{x}\stackrel{H}{=}\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{+\infty}=0.$$

Più rare ma comunque interessanti sono le situazioni in cui il limite che definisce \(m\) o \(q\) non esiste.

  • \(f(x)=x(\sin x+2\): se proviamo a calcolare \(m\) otteniamo $$m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x(\sin x+2)}{x}=\lim_{x\to+\infty(\sin x+2)...$$La funzione \(\sin x+2\) non ammette limite a causa delle oscillazioni della funzione seno ma è limitata (oscilla tra i valori \(m=1\) e \(m=3\). Il grafico della funzione sarà compreso tra le rette \(y=x\) e \(y=3x\).
  • \(f(x)=x+\sin x\): questa volta, usando il teorema dei due carabinieri (vedi calcolo dei limiti), siamo in grado di calcolare \(m\), infatti $$m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\sin x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)=1+0=1,$$tuttavia se proviamo a calcolare \(q\) ci troviamo nello stesso problema riscontrato al caso precedente $$q=\lim_{x\to+\infty}(x+\sin x-1\cdot x)=\lim_{x\to+\infty}\sin x...$$La funzione che definisce \(q\) non ha limite ma è compresa tra \(-1\) e \(1\), e pertanto potremo dire che il grafico di \(f\) è ingabbiato dalle rette \(y=x-1\) e \(y=x+1\).

Infine commentiamo il comportamento della funzione \(f(x)=x+\log x\): il calcolo di \(m\) non presenta particolari problemi, infatti $$m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\log x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\\log x}{x}\right)=1+0=1.$$ Proviamo allora a calcolare l'intercetta: $$q=\lim_{x\to+\infty}(x+\log x-1\cdot x)=\lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty.$$Questa funzione ha sì ripidità che tende al valore \(1\) ma non si appoggerà mai ad alcuna delle rette del fascio \(y=x+q\), superandole (prima o poi) tutte.

Monotonia e punti di massimo e minimo

Come già detto nelle lezioni precedenti, monotonia e punti di massimo e minimo possono essere studiati per mezzo delle derivate. Risolvendo la disequazione \(f'(x)\geqslant 0\) troviamo sia gli intervalli di monotonia che i punti critici della funzione. Analizzando lo schema dei segni della derivata saremo anche in grado di capire la natura di ciascun punto critico. 

Consideriamo ad esempio la funzione \(f(x)=x\log x\), definita sull'intervallo \(]0,+\infty[\): la sua derivata può essere calcolata con la regola del prodotto e imponendola maggiore o uguale a \(0\) otteniamo $$f'(x)=1\cdot\log x+x\cdot \frac{1}{x}\geqslant 0\Rightarrow \log x+1\geqslant 0\Rightarrow x\geqslant e^{-1}.$$La funzione è quindi crescente nell'intervallo \(]e^{-1},+\infty[\) e decrescente in \(]0,e^{-1}[\); il punto \(x=e^{-1}\) è un punto di minimo assoluto. Il punto \(x=0\) invece non è un massimo locale in quanto \(f\) non è definita in \(0\).

Per trovare il valore minimo di \(f\) basta sostituire \(e^{-1}\) al posto di \(x\) nella legge della funzione: $$MIN=f(e^{-1})=e^{-1}\log e^{-1}=e^{-1}(-1)=-\frac{1}{e}.$$

Vediamo ora cosa succede nel caso sia presente un punto di non derivabilità: se \(f\) è continua il metodo proposto appena sopra rimane sostanzialmente invariato, come possiamo vedere per la funzione \(f(x)=x^3+|x|\). La funzione è continua su tutto \(\mathbb{R}\) ma non derivabile in \(x=0\) (a causa del valore assoluto, lo si verifichi per esercizio), pertanto studieremo la derivata separando i casi \(x>0\) e \(x<0\): $$\begin{align*}f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^3+x & \text{se \(x>0\)} \\ x^3-x & \text{se \(x<0\)} \end{array} \right. \Rightarrow f'(x)=\left\{ \begin{array}{l} 3x^2+1 & \text{se \(x>0\)} \\ 3x^2-1 & \text{se \(x<0\)} \end{array} \right.\end{align*}$$Risolvendo la disequazione \(f'(x)\geqslant 0\) per entrambi casi si ha $$x>0: 3x^2+1\geqslant 0\Rightarrow \forall x \\ x<0: 3x^2-1\geqslant 0\Rightarrow x\leqslant -\sqrt{\frac{1}{3}}.$$

Si noti che la seconda disequazione avrebbe soluzione \(x\leqslant -\sqrt{\frac{1}{3}}\vee x\geqslant \sqrt{\frac{1}{3}}\) ma la condizione \(x<0\) ci costringe ad accettare solo l'intervallo relativo ai numeri negativi. In conclusione lo schema dei segni della derivata è il seguente

e da esso deduciamo che \(x=0\) è un punto di minimo (locale, in quanto \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\)). Per completare, possiamo osservare che in \(x=-\sqrt{\frac{1}{3}}\) c'è un massimo (nuovamente locale) e che i valori massimi e minimi valgono rispettivamente $$MIN=f(0)=0^3+|0|=0 \\MAX=f\left(-\sqrt{\frac{1}{3}}\right) =\left(-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^3+\left|-\sqrt{\frac{1}{3}}\right|=-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}}.$$Di seguito riportiamo il grafico di \(f\) con uno zoom sul punto di non derivabilità \(x=0\).

Convessità e flessi

Lo studio di convessità e flessi è praticamente uguale al precedente, con la differenza che richiede lo studio della derivata seconda invece che della derivata prima: agli zeri corrisponderanno i flessi, mentre gli intervalli in cui \(f''\) è positiva (negativa) saranno le zone in cui \(f\) è convessa (concava).

A titolo di esempio studiamo la convessità della funzione \(f(x)=xe^x\). Per esercizio invitiamo i lettori a verificare autonomamente le seguenti caratteristiche di \(f\): $$\text{dom} f=\mathbb{R}; \\ \text{zeri: } x=0; \\ f(x)>0\iff x>0;\\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0; \\  \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty;\\ x=-1 \text{ punto di minimo assoluto}; \\f \text{ crescente } \iff x>-1.$$Passiamo all'analisi della derivata seconda: $$f(x)=xe^x\Rightarrow f'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x\Rightarrow f''(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x.$$La disequazione \(f''(x)\geqslant 0\) restituisce come soluzione \(x\geqslant -2\), pertanto deduciamo che \(f\) sarà concava fino al valore \(x=-2\) (punto di flesso), superato il quale diventerà convessa.  

Come per i paragrafi precedenti, terminiamo riportando il grafico della funzione che abbiamo esaminato in modo da avere una conferma visiva dei risultati ottenuti.