definizione; proprietàprobabilità condizionataesempi

 

Quando vogliamo fare una scommessa mettiamo in palio una posta più o meno elevata in base a quanto riteniamo probabile 

Definizione

La probabilità di un evento è un concetto estremamente astratto e come tale non è semplice darne una definizione che sia contemporaneamente rigorosa e intuitiva. In questa lezione proporremo due possibili definizioni di probabilità: quella classica e quella soggettivista.

Definizione classica: considerato un esperimento \(\mathcal{E}\), chiamiamo spazio campionario \(\Omega\) l'insieme dei possibili risultati dell'esperimento. Chiamato evento un qualsiasi sottoinsieme \(E\) di \(\Omega\) definiremo la probabilità di \(E\) come il rapporto tra il numero di elementi di \(E\) (casi favorevoli) e il numero degli elementi di \(\Omega\) (casi possibili): $$P(E)=\frac{\#E}{\#\Omega}.$$

Graficamente, possiamo associare la probabilità di un evento come l'area che esso occupa all'interno di \(\Omega\) (a cui attribuiamo area unitaria).

La definizione classica di probabilità è particolarmente utile quando studiamo esperimenti i cui possibili risultati vengono considerati equiprobabili tra loro. Nel caso del lancio di un dado non truccato, ad esempio, attribuiamo ad ogni risultato la medesima probabilità \(\frac{1}{6}\); se vogliamo calcolare la probabilità dell'evento E:"esce un numero pari" scriveremo $$P(E)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$

Definizione soggettivista: se consideriamo  un evento del tipo "superare l'esame della patente" non saremo in grado di calcolarne la probabilità usando l'approccio classico. Questo avviene perché l'evento in questione è strettamente legato a caratteristiche umane impossibili da descrivere con formule matematiche. Con l'approccio soggettivista possiamo aggirare questo problema, interpretando il concetto di probabilità come il livello di fiducia che riponiamo nell'esaminando. Affinché i valori di fiducia che attribuiamo siano effettivamente una probabilità, dobbiamo però rispettare le seguenti regole (che per l'approccio classico sono automaticamente verificate):

  • la probabilità di un evento deve essere un numero compreso tra \(0\) e \(1\);
  • la probabilità dell'evento certo dev'essere pari a \(1\);
  • la probabilità dell'unione di eventi disgiunti deve essere pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi.

Proprietà

Dalle regole appena enunciate possiamo ricavare una lista di proprietà utili nello studio del calcolo delle probabilità:

  • \(P(E)\in[0,1],\forall E\subseteq\Omega\);
  • \(\Omega\) è l'evento certo: \(P(\Omega)=1\);
  • l'insieme vuoto è l'evento impossibile: \(P(\emptyset)=0\);
  • dato un evento \(E\), la sua negazione ha probabilità \(P(E^C)=1-P(E)\);

  • se \(E\) ed \(F\) sono eventi incompatibili, ovvero \(E\cap F=\emptyset\), allora \(P(E\cup F)=P(E)+P(F)\);

  • se \(E\) ed \(F\) sono eventi generici, allora \(P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F)\).

Probabilità condizionata

L'approccio soggettivista ci ha permesso di definire la probabilità di un evento attraverso considerazioni personali che potrebbero modificarsi alla luce di nuove informazioni; riconsideriamo l'esempio dello studente all'esame della patente e supponiamo di aver riposto molta fiducia in lui, tanto da avergli attribuito una probabilità di successo pari a \(0.9\)... Se però poco prima della prova vediamo l'esaminatore particolarmente adirato, saremo realisticamente portati a diminuire il nostro livello di fiducia. Un ragionamento simile si può naturalmente applicare anche alla probabilità classica: normalmente la probabilità di ottenere il punteggio "\(6\)" lanciando un dado è di \(\frac{1}{6}\) ma se qualcuno ci informa che il risultato uscito è stato un numero pari diremo che la probabilità è pari \(\frac{1}{3}\). In entrambi i casi, ogni volta che modifichiamo il valore di una probabilità alla luce di una nuova informazione sull'esperimento diciamo che stiamo calcolando una probabilità condizionata

La formula per calcolare la probabilità di un evento \(E\) condizionato a \(F\) (supposto non impossibile) è la seguente: $$P(E|F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}.$$Possiamo dare alla formula la seguente interpretazione: poiché sappiamo che \(F\) gli unici casi possibili sono gli elementi di \(F\), che pertanto può essere usato come nuovo spazio campionario al posto di \(\Omega\); inoltre, i casi favorevoli ad \(E\) saranno solamente quelli compatibili anche con \(F\), e dunque a numeratore usiamo \(E\cap F\) invece che \(E\).

A titolo di verifica, applichiamo la formula della probabilità condizionata all'esempio del dado: l'evento \(E\) è "esce il numero \(6\)" e va condizionato all'evento \(F\) "è uscito un numero pari". La probabilità condizionata sarà quindi data da $$P(E|F)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{3},$$come ci aspettavamo.

Quando il condizionamento a \(F\) non altera la probabilità di un evento \(E\) (e viceversa), diremo che gli eventi \(E\) e \(F\) sono indipendenti. In formula possiamo dire che $$E,F \text{ indipendenti }\iff P(E\cap F)=P(E)P(F).$$

Esempi

Proviamo ad applicare le nozioni di questa lezione a un paio di semplici esercizi. 

  • In un cassetto abbiamo \(8\) calzini rossi e \(6\) calzini verdi. Estraendo consecutivamente due calzini, determiniamo la probabilità di pescare un paio di calzini dello stesso colore. L'evento \(E\) "pesco due calzini uguali" può essere visto come unione di due eventi disgiunti \(RR\) "pesco due calzini rossi" e \(VV\) "pesco due calzini verdi": deduciamo allora che $$P(E)=P(RR)+P(VV).$$L'evento \(RR\) può essere a sua volta visto come intersezione dei due eventi \(1R\) "trovo un calzino rosso alla prima pescata" e \(2R\) "trovo un calzino rosso alla prima pescata", dunque $$P(RR)=P(1R)P(2R|1R).$$La probabilità che il primo calzino pescato sia rosso è semplicemente \(\frac{8}{14}\) mentre quella che il secondo sia rosso sarà \(\frac{7}{13}\) in quanto dobbiamo togliere sia dai casi favorevoli sia da quelli possibili il calzino della prima pescata (probabilità dunque condizionata). Ragionando in modo del tutto analogo anche per l'evento \(VV\) troviamo che la probabilità di pescare due calzini uguali è $$P(E)=P(1R)P(2R|1R)+P(1V)P(2V|1V)=\frac{8}{14}\frac{7}{13}+\frac{6}{14}\frac{5}{13}=\frac{86}{182}.$$Questo esercizio può anche essere risolto per via grafica, rappresentando in un albero tutte le possibilità che possono capitare ad ogni pescata.Ogni volta che percorreremo un ramo dovremo moltiplicare tra loro le probabilità presenti su ciascun segmento e infine sommeremo tra loro le varie probabilità dei rami compatibili con l'evento che stiamo analizzando. 
  • Lanciata una moneta \(6\) volte, calcoliamo la probabilità che sia uscita "testa" almeno una volta. Se ragioniamo come prima il problema può apparire molto complicato, in quanto dovremmo valutare la probabilità che esca testa esattamente una volta, sommata alla probabilità che esca testa esattamente due volte e così via... Possiamo però semplificarci notevolmente la vita se studiamo l'evento \(E^C\), ovvero "escono tutte croci". Poiché i risultati del lancio di una moneta sono indipendenti tra loro abbiamo che $$P(CCCCCC)=P(C)P(C)P(C)P(C)P(C)P(C)=\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{1}{64}.$$Usando la proprietà del complementare ricaviamo infine che $$P(E)=1-P(E^C)=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}.$$