Esercizi sui numeri complessi

 

Es 1: Rappresentare nel piano i vettori associati ai numeri complessi: $$2+4i \\ -3i \\ 1+i \\ -4 \\ \frac{-\sqrt{3}-i}{2} \\ 2i-1$$

Es 2: Eseguire le seguenti operazioni tra numeri complessi: $$(3-i)+(4+5i) \\ 2i-(1+4i) \\ (5+3i)\cdot(4-4i) \\ \overline{\sqrt{2}(1-i)} \\ (-3+2i)^2 \\ (1+i)(1-i) \\ \frac{i}{1-i} \\ \frac{1+2i}{3-4i}$$

Es 3: Semplificare le seguenti potenze dell'unità immaginaria \(i\): $$i^{13} \\ i^{-1} \\ i^{2016} \\ i^{6}$$

Es 4: Disegnare il vettore associato e determinare le coordinate polari (modulo e argomento) dei seguenti numeri complessi: $$\sqrt{3}+i \\ 2-2i \\ -i \\ 2+\sqrt{12}i \\ 3 \\ -3-4i \\ -1+i \\ 3+\sqrt{3}i \\ 4+4i \\ -\sqrt{2} \\ -5-12i \\ 2i-1 \\ \sqrt{3}-i \\ 2i \\ \sqrt{3}+\sqrt{3}i \\ 1 \\ -\sqrt{2}+\sqrt{6}i$$

Es 5: Disegnare le seguenti curve nel piano: $$x^2+y^2-x=0 \\ 2x+3y=0 \\ x^2-y^2=0 \\ x^2+2y^2=4 \\ x+y=1 \\ y-\sqrt{3}x=0 \\ (x-2)^2+(y+2)^2=4$$

Es 6: Risolvere, applicando il metodo per il calcolo delle radici, le seguenti equazioni: $$ z^3=-8i \\ z^5=32 \\ z^4=-2-2i $$

Es 7: Risolvere col metodo che si preferisce le equazioni: $$z^2-(1+i)z+i=0 \\ z^2+2z+4=0 \\ z^2-(2+3i)^2=0$$

Es 8: Risolvere le equazioni: $$z^6=-1 \\ (z+2)^4=i \\ z^3=(\sqrt{3}+i)^3 \\ (z^2-2i)^2=(z^2+4z)^2 \\ z^2+z+1=0 $$