Raccolta di esercizi di Analisi 2 proposti agli studenti di Ingegneria Civile dell'università di Udine

 

11/10/16

  1. Stabilire se le seguenti curve sono regolari, semplici, chiuse. Infine, disegnare il sostegno: $$\gamma(t)=\begin{pmatrix} t^2-1 \\ t(t^2-1) \end{pmatrix}, \quad t\in[-1,1] \\ \rho(\theta)=|\theta|,\quad \theta\in[-\pi,\pi] \\ \gamma(t)=\begin{pmatrix} 3t^2-1 \\ 4t^2+1 \end{pmatrix}, \quad t\in[-2,2] \\ \gamma(t)=\begin{pmatrix} e^t\cos t \\ e^t\sin t \\ t \end{pmatrix}, \quad t\in[-2\pi,2\pi]$$
  2. Determinare la lunghezza di un generico arco della parabola \(y=ax^2\) con \(a>0\).
  3. Riparametrizzare attraverso l'ascissa curvilinea le curve di equazione $$ \gamma(t)=\begin{pmatrix} e^t\cos t \\ e^t\sin t \\ e^t \end{pmatrix}, \quad t>0 \\ \gamma(t)=\begin{pmatrix} \cos t^2 \\ \sin t^2  \end{pmatrix}, \quad t\in[0,2\pi]$$ 
  4. Scrivere in forma polare la curva il cui sostegno ha equazione $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2.$$Disegnare la curva e determinare l'area da essa sottesa.
  5. Calcolare l'area della regione di piano delimitata dall'asse \(y\) e dal ramo di cicloide (passaggi saltati in classe qui)$$\gamma(t)=\begin{pmatrix} \theta-\sin\theta \\ 1-\cos\theta \end{pmatrix}, \quad \theta\in[0,2\pi] $$
  6. Determinare la lunghezza e area della curva polare del primo esercizio, \(\rho(\theta)=|\theta|,\quad \theta\in[-\pi,\pi]\).
  7. Calcolare l'integrale curvilineo di prima specie della funzione $$f(x,y,z)=z^2$$ lungo il cammino  $$\gamma(t)=\begin{pmatrix} t \cos t \\ t \sin t \\ \frac{2\sqrt{2t^3}}{3} \end{pmatrix}, \quad t\in[0,2\pi]$$Calcolare inoltre la lunghezza della curva.
  8. Calcolare l'integrale curvilineo di prima specie della funzione $$f(x,y,z)=x^2+y^2$$ lungo la curva $$\gamma(t)=\begin{pmatrix} e^t\cos t \\ e^t \sin t \\  t \end{pmatrix}, \quad t\in[0,\pi]$$.
  9. Calcolare l'integrale curvilineo di seconda specie del campo $$F(x,y)=(-y,x)$$ lungo l'arco di spirale $$\gamma(\theta)=\begin{pmatrix} \theta\cos \theta \\ \theta\sin \theta \end{pmatrix}, \quad \theta\in[0,2\pi]$$
  10. Calcolare l'integrale curvilineo di seconda specie (circuitazione) del campo $$F(x,y)=\left(\frac{x}{1+x^2-2xy+y^2},\frac{-y}{1+x^2-2xy+y^2}\right)$$ lungo la circonferenza  $$\gamma(t)=\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}, \quad t\in[0,2\pi]$$
  11. Trovare curvatura, torsione e terna intrinseca delle curve $$ \gamma(t)=\begin{pmatrix} \cos t  \\ \sin t \\ t \end{pmatrix}\\ \gamma(t)=\begin{pmatrix} e^t\cos t \\ e^t\sin t  \end{pmatrix}$$

28/10/16

  1. Risolvere i problemi di Cauchy: $$\left\{\begin{array}{l} y'+y=\cosh x \\ y(0)=1 \end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l} y'=\frac{x(y^2-1)}{2} \\ y(0)=0 \end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l} y'=\frac{x(y^2-1)}{2} \\ y(0)=1 \end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l} y'=\frac{y}{t} +\sin\frac{y}{t} \\ y(1)=\frac{\pi}{2} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} y'=\frac{y}{x}\left(\frac{1}{\ln y-\ln x}+1\right) \\ y(1)=1 \end{array} \right. $$
  2. Studiare qualitativamente il comportamento delle soluzioni dei problemi di Cauchy $$ \left\{\begin{array}{l} y'=\frac{x(y^2-1)}{2} \\ y(0)=\alpha \end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l} y'=\sin y\\ y(0)=\alpha \end{array} \right. $$al variare di \(\alpha\in\mathbb{R}\). (Grafico del secondo problema qui)
  3. Usando un opportuno cambio di variabile, risolvere il problema di Cauchy $$\left\{\begin{array}{l} xy''+(x-1)y'-y=0 \\ y(0)=1 \\ y(0)+y'(0)=2 \end{array} \right. $$(sugg: la seconda condizione iniziale invita a porre \(u=...\) 
  4. Risolvere l'equazione differenziale $$y'+xy=x^3y^2.$$
  5. Determinare l'integrale generale delle equazioni differenziali di II ordine $$y''+4y=\cos x \\ y''+4y = \cos(2x) \\ y'''-y'=x^2 \\ y''-4y'+3=e^{-x} \\ y''-4y'+3=e^{-x}+2e^{3x}$$
  6. Sapendo che la funzione \(y_1(t)=t\) è una soluzione dell'equazione differenziale di II ordine $$t^2 y'' − (t^2 + 2t)y' + (t + 2)y = 0 $$ trovare un'altra soluzione linearmente indipendente usando il metodo di riduzione di D'Alembert (\(y_2(t)=y_1(t)u(t)\), con \(u\) incognita). 
  7. Usare il metodo di variazione delle costanti per risolvere le equazioni differenziali $$y''+y=\frac{1}{\sin x} \\ y''-y=\frac{1}{e^x+1} $$
  8. Determinare per quali \(k\in\mathbb{R}\) tutte le soluzioni dell'equazione differenziale $$y''+2y'+ky=0$$sono limitate in \([0,+\infty[\). 

16/11/16

  1. Sia dato il sistema differenziale $$\left\{\begin{array}{l} x'=3x-y \\ y'=x+3y \\ x(0)=y(0)=1 \end{array} \right.$$Verificare che l'origine è l'unico punto di equilibrio instabile del sistema. Risolvere il sistema e usare le relazioni goniometriche $$ \cos\alpha-\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \\ \cos\alpha+\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$$per ricavare la forma polare della curva $$\gamma(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}.$$Rappresentare infine il sostegno della curva \(\gamma\) nel piano cartesiano.
  2. Verificare che l'origine è un punto di sella per il sistema differenziale $$\left\{\begin{array}{l} x'=y \\ y'=x\end{array} \right.$$Verificare che la soluzione con punto iniziale \((x_0,y_0)=(1,-1)\) tende al punto di equilibrio e disegnarla nel piano cartesiano. Estendere quanto verificato a tutte le soluzioni con punto iniziale situato sulla bisettrice del II e IV quadrante.
  3. Determinare gli equilibri del sistema $$\left\{\begin{array}{l} x'=y-x^2 \\ y'=y-x  \end{array} \right.$$ e studiarne la stabilità linearizzando il sistema.
  4. Si consideri l'equazione differenziale $$y'''+2y''+ky'=f(t).$$Studiare al variare di \(k\in\mathbb{R}\) le soluzioni dell'equazione omogenea associata. Siano \(k=10\) e \(f(t)=\sin(3t)\): come si può determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale? (non è necessario fare tutti i calcoli per determinarla) Risolvere invece con tutti i calcoli l'equazione nel caso \(k=0\) e \(f(t)=t+e^t\).
  5. Risolvere l'equazione differenziale $$y'''-4y'=e^{at}$$ nei casi \(a=-1\) e \(a=2\).
  6. Risolvere l'equazione differenziale $$y'-y\sin t=y^2\sin t.$$
  7. Risolvere il problema di Cauchy $$\left\{\begin{array}{l} y'-y\sin t=\frac{\sin t}{y} \\ y(\frac{\pi}{2})=1 \end{array} \right.$$
  8. Sapendo che \(u_0=1\) è soluzione dell'equazione di Riccati $$u'=xu^2+\left(\frac{1-2x^2}{x}\right)u+\left(\frac{x^2-1}{x}\right), \quad x>0$$trovare la soluzione generale dell'equazione. Suggerimento: impostare il cambio di variabile \(u=u_0+\frac{1}{y}\) e ricondursi a un'equazione lineare in \(y\).)

23/11/16

  1. Studiare i punti critici della funzione $$f(x,y)=x^3y^2(1-x-y).$$Sugg: per lo studio dell'origine può essere utile analizzare il segno della funzione.
  2. Studiare i punti critici della funzione $$f(x,y)=(x^2+y^2)e^{1-x-y}.$$
  3. Studiare i punti critici di $$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy+x-2z.$$
  4. Cercare massimi e minimi relativi assoluti della funzione $$f(x,y)=xy\sqrt{1-x^2-y^2}$$nel suo dominio naturale.
  5. Studiare massimi e minimi della funzione $$f(x,y)=(x^2+y^2)e^{-x^2-y^2}$$ sul quadrato dato dalle condizioni \(-1\leqslant x\leqslant 1, -1\leqslant y\leqslant 1\).
  6. Studiare massimi e minimi di $$f(x,y)=y-x^2$$sull'insieme dei punti che soddisfano la condizione \(|x|+|y|\leqslant 1\).
  7. Si consideri la restrizione della funzione $$f(x,y)=\frac{1}{x^2+xy+y^2}$$ sull'insieme determinato dalla condizione \(x^2+y^2\geqslant 1\).
    1. Dimostrare che \(f\) è inferiormente limitata su \(\Omega\) ma non ha minimo;
    2. dimostrare che \(f\) ha massimo pari a \(2\).
  8. Determinare massimi e minimi (relativi e assoluti) e gli estremi inferiore e superiore di $$f(x,y)=(x^2-2y+2)e^{y-x}$$sull'insieme dei punti che soddisfano la condizione \(0\leqslant y \leqslant x\). 
  9. Determinare massimo e minimo assoluti della funzione $$f(x,y,z)=e^{\sin(x^2+y^2+z^2)}$$ sulla sezione del cono di equazione \(x^2+y^2-z^2=0\) compresa tra i piani \(z=\pm 2\).
  10. Verificare che l'insieme $$\Gamma=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2-xy+y^2-z^2=1 ,x^2+y^2=1\}$$costituisce un vincolo regolare e determinare i punti di \(\Gamma\) che hanno distanza massima e minima dall'origine.
  11. Trovare massimo e minimo assoluti della funzione $$f(x,y,z)=xyz $$sulla sfera unitaria, ovvero sull'insieme dei punti che soddisfano il vincolo \(x^2+y^2+z^2=1\).

7/12/16

    1. Determinare le coordinate le baricentro del tetraedro \(T=\{(x,y,z)|x,y,z\geqslant 0, x+y+z\leqslant 1\}\).
    2. Trovare il momento di inerzia di una lamina quadrata di lato \(l\) rispetto a uno dei suoi lati e rispetto a una delle sue diagonali.
    3. Determinare il momento di inerzia di una lamina quadrata di vertici \((0,0),(l,0),(l,l),(0,l)\) avente densità \(\mu(x,y)=x^2+y^2\). Trovare anche il baricentro della lamina.
    4. Calcolare l'integrale improprio $$\int_D xe^{-x-y}\,dxdy$$dove \(D=\{(x,y)|0<y<x\}\).
    5. Calcolare l'integrale $$\int_D \frac{x|y|}{x^2+|y|}\,dxdy$$dove \(D=\{(x,y)|0<|y|<x^2, 0<x<1\}\).
    6. Usando le coordinate polari, calcolare l'integrale $$\int_S\sqrt{x^2+y^2}\,dxdy $$ sul semicerchio di centro \((1,0)\) contenuto nel semipiano \(y\geqslant 0\). 
    7. Calcolare l'integrale $$\int_D \frac{|x|+|y|}{z^2+1}\,dxdydz$$dove \(D=\{(x,y,z)|x^2+y^2<1, z>0\}\).
    8. Calcolare $$\int_\Omega xy\,dxdy$$dove \(\Omega=\{(x,y)|0<y<x<2y, 1<xy<2\}\).
    9. Determinare il volume dell'ellissoide $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leqslant 1$$ e trovare per quali valori di \(a,b,c\) l'ellissoide passante per \(P=(1,2,1)\) ha volume minimo.
    10. Calcolare l'integrale della funzione $$\frac{1}{(x^2+y^2)^2}$$sull'insieme \(D=\{(x,y)| x\geqslant 1, x\leqslant y\sqrt{3}\leqslant x\sqrt{3}\}\).
    11. Calcolare il volume del solido illimitato ottenuto ruotando il grafico della funzione \(f(x)=xe^{-x}\) attorno all'asse \(x\) di un angolo giro. Verificare che tale valore coincide con \(2\pi x_G A\), dove \(x_G\) e \(A\) sono rispettivamente l'ascissa del baricentro e l'area del sottografico di \(f\).
    12. Calcolare la posizione del baricentro della figura piana contenuta nel I quadrante delimitata dalle curve \(x^2+y^2=1, x^2+4y^2=4\).
    13. Calcolare l'integrale di $$f(x,y)=x^2y$$sull'insieme \(D=\{(x,y)| 0\leqslant x \leqslant 1, 0\leqslant y \leqslant \min\{\frac{1}{2},\sqrt{1-x^2}\} \}\).
    14. Calcolare l'integrale della funzione $$f(x,y,z)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$sull'insieme dei punti che soddisfano le condizioni \(x^2+y^2+z^2\leqslant z, 0\leqslant y\leqslant \frac{\sqrt{3}x}{3}\).
    15. Calcolare l'integrale della funzione $$f(x,y)=|y-x^2|$$sul quadrato \([0,1]\times [0,1]\).
    16. Siano \(D=\{(x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,x+y\leqslant2\}\) e \(D_\epsilon=D\setminus B_\epsilon(0,0)\). Calcolare su tale insieme l'integrale di $$f(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2} $$e studiarne la convergenza quando \(\epsilon\to 0\).

11/1/17

    1. Determinare una funzione \(u(x)\) definita e a valori positivi su \(\mathbb{R}\), con grafico passante per \((0,1)\)e tale che la forma differenziale $$\omega=xu(x)y^2\,dx-y\ln|u(x)|\,dx$$sia esatta.
    2. Stabilire se la forma differenziale $$\omega=\frac{y\cos x}{y^2+\sin^2x}\,dx-\frac{\sin x}{y^2+\sin^2x}\,dx $$è esatta sull'insieme \(]-\pi,\pi[\times\mathbb{R}\setminus\{(0,0)\}\).
    3. Calcolare l'integrale della forma differenziale $$\omega=e^{x-y-z}[(x^2+2x+yz)\,dx+(z-x^2-yz)\,dy+(y-x^2-yz)\,dz]$$lungo la curva parametrica $$\gamma(t)=\begin{pmatrix} \frac{\cos t}{1+t} \\ \frac{\sin t}{1+t} \\ t  \end{pmatrix}, \quad t\in[0,4\pi]$$
    4. Calcolare l'integrale della forma differenziale $$\omega =\frac{2x(x^2+y^2)+y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx+\frac{2y(x^2+y^2)-2xy}{(x^2+y^2)^2}\,dy$$sull'ellisse di equazione \(\frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{9}=1\).
    5. Usare le formule di Gauss-Green per calcolare l'area della regione di piano delimitata dall'arco di spirale $$\gamma(t)=\begin{pmatrix} t\cos t \\ t\sin t  \end{pmatrix}, \quad t\in[0,2\pi]$$e dal segmento che congiunge punto iniziale e punto finale dell'arco di spirale. 
    6. Usare le formule di Gauss-Green per calcolare l'area racchiusa dal cardioide di equazione polare \(\rho(\theta)=1-\cos\theta\) con \(\theta\in[0,2\pi]\).
    7. Dopo aver stabilito se la forma differenziale $$\omega=(2xe^{-y}+y)\,dx+x^2(1-e^{-y})\,dy$$ è chiusa e/o esatta, calcolarne l'integrale lungo il triangolo di vertici \((0,0),(1,0),(1,1)\) percorso in senso antiorario.
    8. Calcolare l'integrale della forma differenziale $$\omega=y\,dx$$ sulla frontiera dell'insieme $$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x<y<2x, 1<xy<2\}.$$

18/1/17

    1. Studiare la convergenza puntuale, assoluta e uniforme della successione di funzioni avente termine generale $$f_n(x)=x^ne^{-nx}.$$Studiare inoltre la convergenza della serie di funzioni associata$$\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x).$$
    2. Dimostrare che la successione di funzioni di termine generale $$f_n(x)=\frac{x+e^{(n+1)x}}{e^{nx}}$$converge puntualmente se e solo se \(x\geqslant 0\). Studiare inoltre la convergenza assoluta e uniforme su tale insieme. Dimostrare infine che $$\lim_{n\to +\infty}\int_0^{+\infty}|f_n(x)-f(x)|\,dx= 0.$$
    3. Studiare la convergenza delle successioni di funzioni $$f_n(x)=\arctan\frac{1}{nx} \\ g_n(x)=\arctan\frac{x}{n}$$sull'insieme \(]0,+\infty[\). Studiare inoltre la convergenza dei loro integrali.
    4. Studiare la convergenza delle serie di funzioni aventi come termine generale rispettivamente $$f_n(x)=\frac{nx}{1+n^4x^2} \\ f_n(x)=(-1)^n\frac{1}{\log(n+x^2)} \\f_n(x)=n^xx^n.$$
    5. Determinare i coefficienti \(a_k,b_k\) dello sviluppo in serie di Fourier della funzione $$f(x)=\sin\frac{x}{2}$$definita su \(\mathbb{R}\). Cosa possiamo dire sugli sviluppi delle funzioni \(f_1(x),f_2(x)\), definite estendo per periodicità le due restrizioni \(f|_{]-\pi,\pi]}\) e \(f|_{]0,2\pi]}\)?
    6. Sviluppare in serie di Fourier l'estensione periodica della funzione $$f(x)=|x|, \quad x\in[-\pi,\pi].$$Determinare i coefficienti \(c_k\) dello sviluppo in forma esponenziale. Usare i risultati trovati per determinare la somma delle serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} \\ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^4}.$$