Esercizi sulle traslazioni, rotazioni, simmetrie, similitudini e omotetie.

1) Sia data la trasformazione $$\left\{\begin{array}{l} x'=2x+4y \\ y'=x+y+1 \end{array} \right.$$

• Determinare l'immagine del punto \((1,-2)\);
• Determinare la controimmagine del punto \((0,0)\);
• Trovare eventuali punti uniti

2) Stabilire quale delle seguenti trasformazioni è una rotazione, specificando l'angolo $$\left\{\begin{array}{l} x'=2x+4y \\ y'=x+y+1 \end{array} \right. \hspace{20pt} \left\{\begin{array}{l} x'=x+y \\ y'=x-y \end{array} \right. \hspace{20pt} \left\{\begin{array}{l} x'=\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y \\ y'=-\frac{4}{5}x+\frac{3}{5}y+1 \end{array} \right. \hspace{20pt} \left\{\begin{array}{l} x'=\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y \\ y'=-\frac{3}{5}x-\frac{4}{5}y \end{array} \right.$$

3) Scrivere la formula della simmetria centrale avente come centro il punto di coordinate \(M=(3,-4)\).

4) Scrivere la formula della rotazione avente come centro il punto \((1,1)\) e come angolo \(\alpha=\frac{\pi}{4}\).

5) Considerata la trasformazione $$\left\{\begin{array}{l} x'=-x+2y-1 \\ y'=3x+2 \end{array} \right.$$determinare l'immagine della retta \(y=2-x\) 

6) Trovare il punto ottenuto \(A'\) ottenuto come simmetrico di \(A=(3,-1)\) rispetto alla retta \(y=2x\).

7) Rispondere vero o falso:

• Componendo due traslazioni, si ottiene sempre una traslazione
• Componendo due rotazioni, si ottiene sempre una rotazione
• Una simmetria centrale di centro \(M\), corrisponde a una rotazione avente centro \(M\) e angolo \(\alpha=\frac{\pi}{2}\)
• Le simmetrie sono isometrie
• Una traslazione non può avere rette globalmente unite
• Un insieme globalmente unito deve contenere almeno un punto unito
• Data una simmetria assiale, l'asse di simmetria è un insieme puntualmente unito