Esercizi sulla definizione di limite e sulla topologia della retta

1) Scrivere la definizione matematica della proposizione "il limite per \(x\) tendente a \(+\infty\) di \(f(x)\) è \(-\infty\)".

2) Verificare con la definizione che \(\lim_{x\to +\infty}2^x =+ \infty\) e che  \(\lim_{x\to -\infty}2^x =0\).

3) Sia data la funzione segno di \(x\), definita nel seguente modo: $$\text{sgn}(x)=\left\{ \begin{align} 1\hspace{30pt}  &\text{se \(x>0\)} \\ 0\hspace{30pt}  &\text{se \(x=0\)} \\ -1\hspace{30pt} &\text{se \(x<0\)} \end{align}\right. $$Verificare che il limite per \(x\) tendente a \(0^+\) (cioè da destra) di \(f(x)\) è \(1\). Cosa si può dire del limite sinistro? E del limite bilaterale?

4) Verificare che il limite per \(x\) tendente a \(1\) di \(f(x)=x^3\) è uguale a \(1\).

5) Sapendo che una funzione \(f(x)\) è continua in un punto \(x_0\) del suo dominio se e solo se $$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$scrivere la definizione di continuità in \(x_0\) usando \(\epsilon\) e \(\delta\). (Sugg: si tratta di adattare la definizione di limite finito...)

6) Scrivere la definizione di intorno di un punto \(x_0\) e di intorno di \(+\infty\). 

7) Verificare che \(\lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^2}=+\infty\).

8) Si dice che una funzione \(f(x)\) tende a \(l\) per eccesso (o dall'alto) per \(x\) tendente a \(+\infty\) se $$\forall \epsilon>0 \exists N>0 | x>N\Rightarrow f(x)<l+\epsilon.$$Verificare che \(f(x)=\frac{1}{x}\) tende per eccesso a \(0\). 

9) Disegnare il grafico di una funzione che tenda a \(0\) per \(x\) tendente a \(+\infty\) ma che non tenda a \(0\) né per eccesso né per difetto. 

10) Dato un insieme non vuoto \(A\subseteq\mathbb{R}\), diciamo che \(x\) è un maggiorante di \(A\) se $$x\geqslant a, \forall a \in A.$$Se \(A=[0,1]\) è corretto dire che \(1\) è un maggiorante di \(A\)? In caso di risposta affermativa, stabilire se esistono altri maggioranti, In caso di risposta negativa, trovare un maggiorante.

11) Verificare usando la definizione che $$\lim_{x \to 0^+}\log x = -\infty.$$

12) Verificare usando la definizione che $$\lim_{x \to (-1)^+}\frac{2}{(x+1)^3} = +\infty \\ \lim_{x \to (-1)^-}\frac{2}{(x+1)^3} = -\infty $$

13) Verificare che $$\lim_{x \to 0}\cos x = 1$$specificando se la funzione tende a \(1\) per eccesso o per difetto.

14) Rappresentare sulla retta reale i punti dell'insieme $$A=\left\{x=\frac{1}{n}|n\in\mathbb{N}^+\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\right\}.$$Chi sono i maggioranti e i minoranti di \(A\)? Sapendo che l'estremo superiore (inferiore) di un insieme è il più piccolo dei maggioranti (il più grande dei minoranti), chi sono \(\sup A\) e \(\inf A\)?

15) Se \(\sup\) e \(\inf\) appartengono all'insieme, essi prendono il nome di massimo e minimo rispettivamente: con riferimento all'esercizio precedente \(\sup\) e \(\inf\) sono anche \(\max\) e \(\min\)?

16) Sia \(A=\{x|\frac{x^2}{x^2-1}\geqslant 0\}\): quali sono i suoi punti di accumulazione? Sono presenti punti isolati? Trovare inoltre punti di accumulazione e isolati per l'insieme \(B=\{x|x^2> 0\}\).

17) Sia \(x_0=1\): per ciascuno dei seguenti intervalli si specifichi se si tratta di un intorno di \(1\) specificando il tipo (destro, sinistro, bilaterale, simmetrico).$$[1,2] \hspace{30pt} ]0,2[ \hspace{30pt} ]1,2[ \hspace{30pt} ]-1,3[ \hspace{30pt} \{1\}$$

18) Verificare che $$\lim_{x \to \pi}\sin x = 0.$$

19) Verificare che $$\lim_{x \to 2}(3-2x) = -1.$$

20) Determinare, se ve ne sono,  i punti di accumulazione dei seguenti insiemi $$ A=(3,7] \\ B= [0,1) \cup \{ 2 \} \\ C=\left\{x=\frac{-7}{\sqrt{n}}, n \in \mathbb{N}^+\right\} \\ D=\left\{x=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}, n \in \mathbb{N}^+\right\} $$

21) Individua intorni, intorni sinistri ed intorni destri del punto \(x_0=\frac{3}{2}\) tra i seguenti insiemi:$$A=(3,4] \\ B=(3,4) \\ C= [0,1) \cup (2,4) \\ D=(-97,103) \\ E=(2,4) \\ F= (0,3)$$

22) Aiutandosi con i quadretti, dedurre i valori dei limiti per \(x\) tendente a \(-\infty,-1,+\infty\) della funzione rappresentata in figura:

 

23) Aiutandosi con i quadretti, dedurre i valori dei limiti per \(x\) tendente a \(-\infty,0^-,0^+,+\infty\) della funzione rappresentata in figura. Esiste il limite per \(x\) tendente a \(0\)?

24) Aiutandosi con i quadretti, dedurre i valori dei limiti per \(x\) tendente a \(-\infty,(-1)^-,0^+,+\infty\) della funzione rappresentata in figura. Perché non ha senso cercare il limite per \(x\) tendente a \(0^-\) e \((-1)^+\)?