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25) Determinare i punti di accumulazione e i punti isolati dell'insieme \(A=\{x\in\mathbb{R}|x^2\geqslant|x|\}\).

26) Stabilire le equazioni degli asintoti della funzione omografica $$f(x)=\frac{2x-1}{3-x}.$$

27) Scrivere, aiutandosi coi quadretti, le equazioni degli asintoti delle funzioni in figura:


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28) Usare il teorema del confronto per dimostrare che $$\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x}=0 \\ \lim_{x\to +\infty}(x+\sin x)=+\infty \\ \lim_{x\to +\infty}(x+2^x)=+\infty.$$

29) Dimostrare, usando la definizione, che $$\lim_{x\to +\infty}(x^2-x)=+\infty \\ \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{1-\sqrt{x}}=-\infty \\ \lim_{x\to 0}\frac{1}{1-\cos x}=+\infty \\ \lim_{x\to \sqrt{e}}\ln x=\frac{1}{2}.$$

30) Calcolare i seguenti limiti: $$\lim_{x\to \pi}(\sin^2 x-2\cos x^2) \\ \lim_{x\to -1}(x^3+4x-2) \\ \lim_{x\to \frac{1}{e}}\ln^2 x \\ \lim_{x\to -1}\ e^{x+1} \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2+2x}.$$

31) Sapendo che $$\lim_{x \to x_0}f(x)=-1 \hspace{40pt} \lim_{x \to x_0}g(x) = +\infty$$calcolare, se possibile, $$\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

32) Sapendo che $$\lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty \hspace{40pt} \lim_{x \to x_0}g(x) = -\infty$$calcolare, se possibile, $$\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

33) Sapendo che $$\lim_{x \to x_0}f(x)=e \hspace{40pt} \lim_{x \to x_0}g(x) = 0^+$$calcolare, se possibile, $$\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

34) Sapendo che $$\lim_{x \to x_0}f(x)=0^- \hspace{40pt} \lim_{x \to x_0}g(x) = +\infty$$calcolare, se possibile, $$\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x)) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \hspace{30pt} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

35) Calcolare i seguenti limiti: $$\lim_{x\to +\infty}\frac{x^3-100}{-x^8+7x^4} \\ \lim_{x\to -\infty}\frac{3x^3-2x+1}{4x^2+5x} \\ \lim_{x\to 0}\frac{-3x^2+6x}{x^6+4x^3} \\ \lim_{x\to 9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9} \\ \lim_{x\to +\infty}\ \frac{\sqrt{x^3+1}}{x+1} \\ \lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2+2}+x).$$

36) Calcolare i seguenti limiti: $$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{3-x} \\ \lim_{x\to 5}\frac{x^2-2x-15}{x^2+8x-65} \\ \lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x-3}-\sqrt{x+5}}{2x^2} \\ \lim_{x\to 0}\frac{x^7-x^3-x}{x-1} \\ \lim_{x\to +\infty}\ \frac{x-x^3}{x^4-1} \\ \lim_{x\to 1}\frac{x-x^3}{x^4-1}$$

37) Dimostrare, usando la definizione, che $$\lim_{x\to 2}(2-3x)=-4 \\ \lim_{x \to 2} |x-2|=0 \\ \lim_{x \to -\infty} \arctan x^2=\frac{\pi}{2} \\ \lim_{x \to +\infty} (1+e^{-x})=1.$$

38) Determinare gli asintoti della funzione $$f(x)=\frac{2x^2-1}{3x^2+2x}.$$(Sugg: verificare che il dominio è \(]-\infty,-\frac{2}{3}[\cup]-\frac{2}{3},0[\cup]0,+\infty[\) e calcolare i limiti nei sei estremi del dominio. I limiti saranno finiti se \(x\to\pm\infty\) e infiniti se \(x\to-\frac{2}{3}\) o \(x\to 0\)...)

39) Disegnare una funzione che abbia \(y=-1\) come asintoto orizzontale sinistro; \(y=2\) come asintoto orizzontale destro; \(x=1\) come asintoto verticale.