Esercizi sul calcolo integrale

1) Calcolare l'integrale $$\int_e^{e^3}\frac{1}{x\ln^2 x}\,dx.$$

2) Calcolare l'integrale $$\int_1^3|x^2-2x|\,dx.$$

3) Disegnare e calcolare l'area della regione di piano compresa tra i grafici delle funzioni \(f(x)=x^2\) e \(g(x)=\sqrt{x}\). 

4) Un corpo si muove con velocità \(v(t)=\sqrt{2t}+3t\). Determinare la distanza percorsa dal corpo dall'istante \(t=1\) all'istante \(t=4\). 

5) Calcolare: $$\int \cos^4 x \, dx \\ \int \cos^5 x \, dx \\ \int_0^2|1-x^2|\,dx \\ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sqrt[3]{\sin x}}\,dx \\ \int\ln(1+x^2)\,dx.$$

6) Calcolare la media integrale della funzione \(f(x)=\frac{x+1}{x}\) sull'intervallo \([-2,-1]\).

7) Risolvere gli integrali indefiniti $$\int \frac{x}{x-1}\,dx \\ \int \ln\frac{1}{x}\,dx\\ \int\sqrt{x}\ln\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx \\ \int\frac{1}{x^2+4}\,dx \\ \int \frac{\sin^2x}{\cos^2x} \, dx \\ \int\frac{x^3+4x^2}{x^2+5x+6}\,dx$$

8) Calcolare l'integrale improprio $$\int_{\frac{1}{e}}^e\frac{1}{x\log^\frac{2}{3}x}\,dx $$

9) Calcolare l'integrale improprio $$\int_0^{+\infty}xe^{-x},dx $$

10) Calcolare il volume del solido (paraboloide) ottenuto ruotando attorno all'asse \(y\) il grafico di \(f(x)=1-x^2\) con \(x\in[0,1]\).

11) Calcolare gli integrali impropri $$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2-1},dx \\ \int_0^1\log^2x\,dx$$

12) Calcolare il volume del solido ottenuto ruotando attorno all'asse \(x\) il grafico di \(f(x)=\sqrt{R^2-x^2}\) con \(x\in[-R,R]\). Cosa rappresenta il risultato ottenuto?