Esercizi di riepilogo per il corso di Analisi 1 

 

In questa pagina pubblicheremo degli esercizi che riteniamo utili al fine di verificare se quanto è stato fatto a lezione è stato effettivamente appreso o meno. Gli studenti sono invitati a formare dei piccoli gruppi (consistenti di 3, 4 o al massimo 5 elementi) all'interno dei quali discutere gli esercizi in questione, producendo infine un elaborato scritto da consegnare ai docenti del corso.

Attenzione: per chi trovasse difficoltà a svolgere gli esercizi proposti, in fondo a questa pagina proponiamo degli esercizi più semplici da cui iniziare a "farsi le ossa". All'esame però verranno proposti esercizi di livello tipicamente superiore, quindi è bene non accontentarsi di risolvere questi esercizi di rodaggio.

2/10/15 

Esercizi

  • Scrivere le tabelle di verità associate alle seguenti proposizioni: \(\neg p \wedge \neg q\) e \(\neg p \vee\neg q\). Confrontare i risultati ottenuti con le tabelle di verità di  \(\neg (p \vee q)\) e  \(\neg (p \wedge q)\).
  • Scrivere la tabella di verità di \(p\rightarrow (q\wedge r)\) e confrontarla con quella di \(p\wedge (\neg q \vee \neg r)\). 
  • Scrivere la negazione della proposizione: "se studio tutta la settimana e il prof. non fa la carogna, allora passo l'esame di analisi."
  • Scrivere la negazione della proposizione \(\forall x\in X\, \exists y\in Y, y=f(x)\).
  • Scrivere la negazione della proposizione \(\forall x\in X\, \exists! y\in Y, y=f(x)\). (N.B: non è uguale a quella precedente) 

Commento:

  • Stabilire se l'insieme \(A=\{x=\frac{(-1)^n}{n^2+1}|n\in\mathbb{N}\}\) è superiormente o inferiormente limitato. In caso di risposta affermativa, determinare maggioranti e minoranti di \(A\).

Commento:

  • Verificare che l'insieme \(A=\{y=x+\frac{1}{x}|x\neq 0\}\) non è inferiormente limitato.

Commento:

  • Rappresentare nel piano cartesiano i punti dell'insieme \(A=\{x=100n-n^2\}\). L'insieme ottenuto è limitato? (sugg: mettere \(n\) in ascissa e \(x\) in ordinata)

Commento:

Quesiti

  • Una proposizione può essere sia vera che falsa?
  • Quand'è che la proposizione \(p\vee q\vee r\) è falsa? 
  • Quale delle seguenti affermazioni è la corretta negazione di "dato un qualunque numero reale \(x\), il suo quadrato è maggiore o uguale a zero")
    1. \(\exists x\in\mathbb{R},x^2<0\)
    2. \(\exists x\in\mathbb{R},x^2\leq 0\)
    3. \(\forall x\in\mathbb{R},x^2<0\)
    4. \(\forall x\in\mathbb{R},x^2\leq 0\)
  • Qual è l'insieme dei maggioranti dell'insieme \(A=[0,1]\cup \{2\}\) (vedi figura)?  
    1. \(]1,+\infty[\)
    2. \([1,2]\)
    3. \(]-\infty,0]\)
    4. \(\{2,3,4,5,\ldots\}\)
    5. \([2,+\infty[\)

Commento:

9/10/15

Esercizi

  • Determinare estremo superiore e inferiore dell'insieme \(A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2\leq 2\}\). Stabilire inoltre se sono anche massimo e minimo.

Commento:

  • Dimostrare che \(\forall n\geq 1\), vale l'uguaglianza \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n\frac{1}{4k^2-1}}=\frac{n}{2n+1}\).

Commento:

  • (1.3.17) Dimostrare che \(\displaystyle{\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}}=0, \forall n\geq 1\). (sugg: ricordare che \(\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\))

Quesiti

  • Sia \(A\) un insieme limitato tale che \(|a|<1, \forall a\in A\). Possiamo concludere che \(1\) e \(-1\) sono rispettivamente sup e inf di \(A\)?
  • Consideriamo la proposizione \(3^n\geq n2^n,\forall n\in\mathbb{N}\) e proponiamo una dimostrazione per induzione errata. Cercate l'errore e provate a proporre una correzione
    1. il caso base \(P(0)\) è verificato in quanto ponendo \(n=0\) risulta \(3^0\geq 0\cdot 2^0\), che è ovviamente vero;
    2. il passo induttivo \(P(n)\) vera \(\Rightarrow P(n+1)\) vera è verificato in quanto $$3^{n+1}=3\cdot 3^n\stackrel{\text{ip. ind.}}{\geq}3\cdot n2^n\geq 2n2^n=n2^{n+1}.$$

Commento:

16/10/15

  • Determinare inf e sup dell’insieme \(A=\{x=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}|n\in\mathbb{N}\}\)

Commento:

  • Dimostrare che \(\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^2\binom{n}{k}=2^{n-2}(n^2+n)}\). (Sugg: ricordare che \(\displaystyle{\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}=2^{n-1}n}\))

Commento:

  • (1.3.28) Data la successione ricorsiva \begin{align*}\left\{\begin{array}{l} a_0=1 \\ a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}\end{array} \right.\end{align*}dimostrare che \(a_n\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2},\forall n\in\mathbb{N}\).

Commento:

Quesiti

  • Quale dei seguenti insiemi è limitato?
    1. \(X=\{x=\frac{\cos(2^\binom{n+2}{n})}{n}| n>0\}\)
    2. \(X=\{x=n(-2)^n|n\in\mathbb{N}\}\)
    3. \(X=\{x=n^2\cos(2\pi n!)|n\in\mathbb{N}\}\)
  • Una successione ricorsiva è sempre monotona?
  • Una successione crescente ha sempre minimo?
  • Disegnare una successione limitata che non ha né massimo nè minimo.

Commento:

 

23/10/15 

Esercizi

  • Dimostrare che, per ogni \(x\) positivo, vale l'identità \(\arctan x+ \arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}\). (sugg: può essere utile disegnare la circonferenza goniometrica e cercare similitudini tra opportuni triangoli rettangoli...)

Commento:

  • Disegnare, approssimativamente, il grafico della funzione \(f(x)=\sin(x^2)\), avendo cura di trovare i punti in cui la funzione assume valore \(0,+1,-1\). 

Commento:

  • Determinare l'espressione di una delle due inverse locali della funzione \(f(x)=\cosh_2 x\), specificando dominio e insieme immagine.

Commento:

Quesiti

  • La funzione \(f(x)=\sin(x^2)\) è periodica?
  • Per quali valori di \(\alpha\in\mathbb{R}\), la funzione \(f(x)=x^\alpha\), definita su \(]0,+\infty[\) risulta convessa?
  • Si consideri la funzione segno di \(x\), definita come $$\text{sgn}\,x= \left\{ \begin{array}{l} 1 & \text{se } x>0 \\ 0 & \text{se } x=0 \\ -1 & \text{se } x<0.
    \end{array} \right.$$ Quali di queste affermazioni sono corrette?
    1. \(f\) è dispari
    2. \(f\) è limitata
    3. \(f\) è lipschitziana
    4. \(f\) è convessa 
    5. \(f\) è concava
    6. \(f\) è iniettiva
    7. \(f\) strettamente crescente
    8. \(f\) debolmente crescente

Commento:

30/10/15 

Esercizi

  • Risolvere l'equazione complessa \(z^3=\overline{z}\).

Commento:

  • (2.2.2) Fattorizzare il polinomio \(P(z)=z^4-5z^3+10z^2-10z+4\). (sugg: \(1+i\) è una radice del polinomio...)

Commento:

  • Sia data la funzione \(f:\mathbb{C}\setminus\{i\}\rightarrow \mathbb{C}\) definita dalla legge $$f(z)=\frac{z+i}{z-i}.$$Determinare e rappresentare graficamente la controimmagine di \(\mathbb{R}\), ovvero l'insieme dei numeri complessi \(z\) tali che \(f(z)\in\mathbb{R}\).

Commento:

Quesiti

  • Dato \(z=x+iy\), la parte immaginaria del numero \(iz\) è
    1. \(z\)
    2. \(iz\)
    3. \(0\)
    4. \(y\)
    5. \(iy\)
    6. \(x\)
    7. \(ix\)
  • Il numero complesso \(\frac{1}{i}\) corrisponde a
    1. \(i\)
    2. \(-i\)
    3. \(1\)
    4. \(-1\)
  • A quale quadrante appartiene il numero complesso \((1-i)^{2015}\)?

Commento:

7/11/15 

Esercizi

  • Dimostrare, usando la definizione di limite per le successioni, che \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-1}{3n^2+n+1}=\frac{2}{3}}\).
  • Studiare limitatezza, monotonia e limite della successione ricorsiva $$\begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} a_0=\alpha \\ a_{n+1}=a_n^2\end{array} \right. \end{align*}$$ al variare di \(\alpha\in\mathbb{R}\).
  • Studiare la funzione \(f(x)=\frac{|x|+1}{x^2}\), discutendone in particolare eventuali simmetrie, monotonia e convessità.

Quesiti

  • Un numero complesso può appartenere ad \(\mathbb{R}\)?
  • Esiste una funzione definita su tutto \(\mathbb{R}\), strettamente convessa, e limitata?
  • Esistono successioni ricorsive che non ammettono limite? Se sì, fornire un esempio, altrimenti dimostrare che non ne esistono.

19/11/15 

Esercizi

  • Calcolare, se esiste, \(\lim_{n\to+\infty}n\sin(2\pi n e^{\frac{1}{n^2}})\).

Commento:

  • Sapendo che \(n\log n-(n-1)<\log n!<n\log n-(n-1)+\log n\), dimostrare che $$\lim_{n\to+\infty}\frac{\log n!}{\log n^n}=1.$$

Commento:

  • Usando gli ordini di infinito, verificare che$$\lim_{x_n\to 0^+}x_n^\alpha\log^\beta x_n =0, \forall\alpha,\beta>0.$$ (sugg: può essere utile usare un cambio di variabile usando una \(t_n\) che tenda a \(+\infty\))

Commento:

Quesiti

  • Per quali \(z\in\mathbb{C}\) la successione di termine generale \(S_n=1+z+z^2+\ldots+z^n\) converge?
  • Una successione \((a_n)\) il cui estremo superiore è \(+\infty\) ha necessariamente limite \(+\infty\)?
  • Chi ha ordine di infinito maggiore tra \(2^n\) e \(\sqrt{n!}\)?
  • Per quali valori di \(\alpha\in\mathbb{R}\) esiste finito \(\lim_{n\to+\infty}n\sin\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)\)?
    • \(\forall\alpha\)
    • \(\nexists\alpha\)
    • \(\alpha>0\)
    • \(\alpha\leqslant 0\)
    • \(\alpha\geqslant 1\)
    • \(\alpha<1\)

Commento:

27/11/15 

Esercizi

  • Verificare che la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}a_n\) dove $$a_n= \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{n} \text{ se \(n\) è dispari} \\ \frac{1}{n} \text{ se \(n\) è pari}  \end{array} \right. \end{align*} $$diverge positivamente.

Commento:

  • Verificare se la serie \(\sum_{n=2}^{+\infty}n^x\left(\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}-\sqrt{\frac{n}{n-1}}\right)\) converge se e solo se \(x<0\).

Commento:

  • Stabilire il carattere della serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)!}{n^n}\).

Commento:

Quesiti

  • Una serie con termine generale \(a_n\) infinitesimo converge necessarimente?
  • Una serie con termine generale \(a_n\) infinitesimo e descrescente converge necessariamente?
  • Quali dei seguenti valori \(\alpha,\beta\) rendono la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\sin\frac{1}{n^\alpha} \log(1+n^\beta)\) convergente?
    • \(\alpha=1,\beta=1\)
    • \(\alpha=-1,\beta=1\)
    • \(\alpha=1,\beta=-1\)
    • \(\alpha=-1,\beta=-1\)

Commento:

4/12/15 

Esercizi

  • Studiare la convergenza della serie di potenze  $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(n+1)z^{3n}}{n!}$$ e calcolarne la somma dove possibile.

Commento:

  • Determinare il carattere della serie $$\sum_{n=2}^{+\infty}\log\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right).$$

Commento:

  • Determinare la somma della serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n)!}.$$

Commento:

Quesiti

  • Se \((a_n)\) e \((b_n\)) sono due successioni rispettivamente divergente e priva di limite, la successione prodotto \((a_nb_n)\) può convergere?  
  • Creare una serie di potenze che converga su tutta la circonferenza unitaria ad eccezione di due punti. (sugg: partire da una serie convergente su tutta la circonferenza ad eccezione di un punto...)
  • Qual è il raggio di convergenza della serie di potenze \(\sum_{n=1}^{+\infty}(1+i)^nz^{2n}\)?
    • \(1+i\)
    • \(\frac{1}{1+i}\)
    • \(\sqrt{2}\)
    • \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Commento:

11/12/15 

Esercizi

  • Studiare la convergenza della serie di potenze  $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{i^n z^n}{n(2^n+1)}.$$

Commento:

  • Dimostrare che \(e^x\) ha ordine di infinitesimo maggiore di \(\frac{1}{x^n}\) per \(x\) tendente a \(-\infty\) per qualsiasi valore \(n\in\mathbb{N}\).

Commento:

  • Calcolare, se esiste, il seguente limite $$\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\sin x}{2-\cos x}.$$

Commento:

Quesiti

  • Quanto vale il limite del rapporto di due funzioni se il numeratore ha ordine di infinitesimo maggiore rispetto al denominatore? 
  • Qual è l'ordine di infinitesimo della funzione \(\cos x\) per \(x\) tendente a \(\frac{\pi}{2}\)?
  • Qual è il limite per \(x\) tendente a \(0\) della funzione segno? (ricordiamo che \(\text{sgn}\,x=\frac{x}{|x|},\forall x\neq 0 \) e \(\text{sgn}\,0=0\).)
    • \(0\)
    • \(1\)
    • \(-1\)
    • non esiste

Commento:

18/12/15 

Esercizi

  • Calcolare il limite $$\lim_{x\to 0}\frac{2^{x^2}-1}{\cosh x- \cos x}.$$

 

  • Stabilire se la funzione $$f(x)=\arctan\frac{1}{x}$$ è prolungabile con continuità in \(x=0\) e studiare la continuità uniforme di \(f\).

 

  • Usando gli ordini di infinitesimo, determinare \(\alpha\) in modo che \(\sum_{n=1}^{+\infty}n^\alpha\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)\) converga. 

 

Quesiti

  • La funzione tangente è continua? 
  • Sia data una funzione \(f\) che ammette asintoto obliquo \(y=x\) per \(x\to\pm\infty\). Possiamo dire che la funzione ammette almeno uno zero?
  • Qual è l'ordine di infinitesimo della funzione \((1-\cos x)\sin(\sin x)\) per \(x\to 0\) ? E per \(x\to\pi\)?

8/1/16 

Esercizi

  • Dimostrare che l'equazione $$e^x=x^2$$ ammette una e una sola soluzione.

 

  • Stabilire se la funzione $$f(x) = \begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} x\log x & \text{ se \(x>0\)} \\  0 & \text{ se \(x=0\)} \end{array} \right. \end{align*}$$è derivabile in \(x_0=0\).

 

  • Studiare le caratteristiche della funzione \(e^{-x}\sin x\) e tracciarne un grafico qualitativo. 

 

Quesiti

  • Perché nelle tabelle delle derivate è sufficiente inserire solo una tra le funzioni arcoseno e arcocoseno? 
  • Se \(\lim_{x\to+\infty} f'(x)=l\in\mathbb{R}\) possiamo concludere che la funzione ammette asintoto obliquo destro?
  • La funzione \(|x|^\alpha\) è derivabile in \(x_0=0\) se 
    • \(\alpha<0\)
    • \(0<\alpha<1\)
    • \(\alpha>0\)
    • \(\alpha>1\)

Esercizi più semplici: