Esercizi di riepilogo per il corso di Analisi 1
In questa pagina pubblicheremo degli esercizi che riteniamo utili al fine di verificare se quanto è stato fatto a lezione è stato effettivamente appreso o meno. Gli studenti sono invitati a formare dei piccoli gruppi (consistenti di 3, 4 o al massimo 5 elementi) all'interno dei quali discutere gli esercizi in questione, producendo infine un elaborato scritto da consegnare ai docenti del corso.
Attenzione: per chi trovasse difficoltà a svolgere gli esercizi proposti, in fondo a questa pagina proponiamo degli esercizi più semplici da cui iniziare a "farsi le ossa". All'esame però verranno proposti esercizi di livello tipicamente superiore, quindi è bene non accontentarsi di risolvere questi esercizi di rodaggio.
2/10/15
Esercizi
- Scrivere le tabelle di verità associate alle seguenti proposizioni: \(\neg p \wedge \neg q\) e \(\neg p \vee\neg q\). Confrontare i risultati ottenuti con le tabelle di verità di \(\neg (p \vee q)\) e \(\neg (p \wedge q)\).
- Scrivere la tabella di verità di \(p\rightarrow (q\wedge r)\) e confrontarla con quella di \(p\wedge (\neg q \vee \neg r)\).
- Scrivere la negazione della proposizione: "se studio tutta la settimana e il prof. non fa la carogna, allora passo l'esame di analisi."
- Scrivere la negazione della proposizione \(\forall x\in X\, \exists y\in Y, y=f(x)\).
- Scrivere la negazione della proposizione \(\forall x\in X\, \exists! y\in Y, y=f(x)\). (N.B: non è uguale a quella precedente)
Commento:
- Stabilire se l'insieme \(A=\{x=\frac{(-1)^n}{n^2+1}|n\in\mathbb{N}\}\) è superiormente o inferiormente limitato. In caso di risposta affermativa, determinare maggioranti e minoranti di \(A\).
Commento:
- Verificare che l'insieme \(A=\{y=x+\frac{1}{x}|x\neq 0\}\) non è inferiormente limitato.
Commento:
- Rappresentare nel piano cartesiano i punti dell'insieme \(A=\{x=100n-n^2\}\). L'insieme ottenuto è limitato? (sugg: mettere \(n\) in ascissa e \(x\) in ordinata)
Commento:
Quesiti
- Una proposizione può essere sia vera che falsa?
- Quand'è che la proposizione \(p\vee q\vee r\) è falsa?
- Quale delle seguenti affermazioni è la corretta negazione di "dato un qualunque numero reale \(x\), il suo quadrato è maggiore o uguale a zero")
- \(\exists x\in\mathbb{R},x^2<0\)
- \(\exists x\in\mathbb{R},x^2\leq 0\)
- \(\forall x\in\mathbb{R},x^2<0\)
- \(\forall x\in\mathbb{R},x^2\leq 0\)
- Qual è l'insieme dei maggioranti dell'insieme \(A=[0,1]\cup \{2\}\) (vedi figura)?
- \(]1,+\infty[\)
- \([1,2]\)
- \(]-\infty,0]\)
- \(\{2,3,4,5,\ldots\}\)
- \([2,+\infty[\)
Commento:
9/10/15
Esercizi
- Determinare estremo superiore e inferiore dell'insieme \(A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2\leq 2\}\). Stabilire inoltre se sono anche massimo e minimo.
Commento:
- Dimostrare che \(\forall n\geq 1\), vale l'uguaglianza \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n\frac{1}{4k^2-1}}=\frac{n}{2n+1}\).
Commento:
- (1.3.17) Dimostrare che \(\displaystyle{\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}}=0, \forall n\geq 1\). (sugg: ricordare che \(\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\))
Quesiti
- Sia \(A\) un insieme limitato tale che \(|a|<1, \forall a\in A\). Possiamo concludere che \(1\) e \(-1\) sono rispettivamente sup e inf di \(A\)?
- Consideriamo la proposizione \(3^n\geq n2^n,\forall n\in\mathbb{N}\) e proponiamo una dimostrazione per induzione errata. Cercate l'errore e provate a proporre una correzione
- il caso base \(P(0)\) è verificato in quanto ponendo \(n=0\) risulta \(3^0\geq 0\cdot 2^0\), che è ovviamente vero;
- il passo induttivo \(P(n)\) vera \(\Rightarrow P(n+1)\) vera è verificato in quanto $$3^{n+1}=3\cdot 3^n\stackrel{\text{ip. ind.}}{\geq}3\cdot n2^n\geq 2n2^n=n2^{n+1}.$$
Commento:
16/10/15
- Determinare inf e sup dell’insieme \(A=\{x=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}|n\in\mathbb{N}\}\)
Commento:
- Dimostrare che \(\displaystyle{\sum_{k=0}^nk^2\binom{n}{k}=2^{n-2}(n^2+n)}\). (Sugg: ricordare che \(\displaystyle{\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}=2^{n-1}n}\))
Commento:
- (1.3.28) Data la successione ricorsiva \begin{align*}\left\{\begin{array}{l} a_0=1 \\ a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}\end{array} \right.\end{align*}dimostrare che \(a_n\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2},\forall n\in\mathbb{N}\).
Commento:
Quesiti
- Quale dei seguenti insiemi è limitato?
- \(X=\{x=\frac{\cos(2^\binom{n+2}{n})}{n}| n>0\}\)
- \(X=\{x=n(-2)^n|n\in\mathbb{N}\}\)
- \(X=\{x=n^2\cos(2\pi n!)|n\in\mathbb{N}\}\)
- Una successione ricorsiva è sempre monotona?
- Una successione crescente ha sempre minimo?
- Disegnare una successione limitata che non ha né massimo nè minimo.
Commento:
23/10/15
Esercizi
- Dimostrare che, per ogni \(x\) positivo, vale l'identità \(\arctan x+ \arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}\). (sugg: può essere utile disegnare la circonferenza goniometrica e cercare similitudini tra opportuni triangoli rettangoli...)
Commento:
- Disegnare, approssimativamente, il grafico della funzione \(f(x)=\sin(x^2)\), avendo cura di trovare i punti in cui la funzione assume valore \(0,+1,-1\).
Commento:
- Determinare l'espressione di una delle due inverse locali della funzione \(f(x)=\cosh_2 x\), specificando dominio e insieme immagine.
Commento:
Quesiti
- La funzione \(f(x)=\sin(x^2)\) è periodica?
- Per quali valori di \(\alpha\in\mathbb{R}\), la funzione \(f(x)=x^\alpha\), definita su \(]0,+\infty[\) risulta convessa?
- Si consideri la funzione segno di \(x\), definita come $$\text{sgn}\,x= \left\{ \begin{array}{l} 1 & \text{se } x>0 \\ 0 & \text{se } x=0 \\ -1 & \text{se } x<0.
\end{array} \right.$$ Quali di queste affermazioni sono corrette?- \(f\) è dispari
- \(f\) è limitata
- \(f\) è lipschitziana
- \(f\) è convessa
- \(f\) è concava
- \(f\) è iniettiva
- \(f\) strettamente crescente
- \(f\) debolmente crescente
Commento:
30/10/15
Esercizi
- Risolvere l'equazione complessa \(z^3=\overline{z}\).
Commento:
- (2.2.2) Fattorizzare il polinomio \(P(z)=z^4-5z^3+10z^2-10z+4\). (sugg: \(1+i\) è una radice del polinomio...)
Commento:
- Sia data la funzione \(f:\mathbb{C}\setminus\{i\}\rightarrow \mathbb{C}\) definita dalla legge $$f(z)=\frac{z+i}{z-i}.$$Determinare e rappresentare graficamente la controimmagine di \(\mathbb{R}\), ovvero l'insieme dei numeri complessi \(z\) tali che \(f(z)\in\mathbb{R}\).
Commento:
Quesiti
- Dato \(z=x+iy\), la parte immaginaria del numero \(iz\) è
- \(z\)
- \(iz\)
- \(0\)
- \(y\)
- \(iy\)
- \(x\)
- \(ix\)
- Il numero complesso \(\frac{1}{i}\) corrisponde a
- \(i\)
- \(-i\)
- \(1\)
- \(-1\)
- A quale quadrante appartiene il numero complesso \((1-i)^{2015}\)?
Commento:
7/11/15
Esercizi
- Dimostrare, usando la definizione di limite per le successioni, che \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-1}{3n^2+n+1}=\frac{2}{3}}\).
- Studiare limitatezza, monotonia e limite della successione ricorsiva $$\begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} a_0=\alpha \\ a_{n+1}=a_n^2\end{array} \right. \end{align*}$$ al variare di \(\alpha\in\mathbb{R}\).
- Studiare la funzione \(f(x)=\frac{|x|+1}{x^2}\), discutendone in particolare eventuali simmetrie, monotonia e convessità.
Quesiti
- Un numero complesso può appartenere ad \(\mathbb{R}\)?
- Esiste una funzione definita su tutto \(\mathbb{R}\), strettamente convessa, e limitata?
- Esistono successioni ricorsive che non ammettono limite? Se sì, fornire un esempio, altrimenti dimostrare che non ne esistono.
19/11/15
Esercizi
- Calcolare, se esiste, \(\lim_{n\to+\infty}n\sin(2\pi n e^{\frac{1}{n^2}})\).
Commento:
- Sapendo che \(n\log n-(n-1)<\log n!<n\log n-(n-1)+\log n\), dimostrare che $$\lim_{n\to+\infty}\frac{\log n!}{\log n^n}=1.$$
Commento:
- Usando gli ordini di infinito, verificare che$$\lim_{x_n\to 0^+}x_n^\alpha\log^\beta x_n =0, \forall\alpha,\beta>0.$$ (sugg: può essere utile usare un cambio di variabile usando una \(t_n\) che tenda a \(+\infty\))
Commento:
Quesiti
- Per quali \(z\in\mathbb{C}\) la successione di termine generale \(S_n=1+z+z^2+\ldots+z^n\) converge?
- Una successione \((a_n)\) il cui estremo superiore è \(+\infty\) ha necessariamente limite \(+\infty\)?
- Chi ha ordine di infinito maggiore tra \(2^n\) e \(\sqrt{n!}\)?
- Per quali valori di \(\alpha\in\mathbb{R}\) esiste finito \(\lim_{n\to+\infty}n\sin\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)\)?
- \(\forall\alpha\)
- \(\nexists\alpha\)
- \(\alpha>0\)
- \(\alpha\leqslant 0\)
- \(\alpha\geqslant 1\)
- \(\alpha<1\)
Commento:
27/11/15
Esercizi
- Verificare che la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}a_n\) dove $$a_n= \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{n} \text{ se \(n\) è dispari} \\ \frac{1}{n} \text{ se \(n\) è pari} \end{array} \right. \end{align*} $$diverge positivamente.
Commento:
- Verificare se la serie \(\sum_{n=2}^{+\infty}n^x\left(\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}-\sqrt{\frac{n}{n-1}}\right)\) converge se e solo se \(x<0\).
Commento:
- Stabilire il carattere della serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)!}{n^n}\).
Commento:
Quesiti
- Una serie con termine generale \(a_n\) infinitesimo converge necessarimente?
- Una serie con termine generale \(a_n\) infinitesimo e descrescente converge necessariamente?
- Quali dei seguenti valori \(\alpha,\beta\) rendono la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\sin\frac{1}{n^\alpha} \log(1+n^\beta)\) convergente?
- \(\alpha=1,\beta=1\)
- \(\alpha=-1,\beta=1\)
- \(\alpha=1,\beta=-1\)
- \(\alpha=-1,\beta=-1\)
Commento:
4/12/15
Esercizi
- Studiare la convergenza della serie di potenze $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(n+1)z^{3n}}{n!}$$ e calcolarne la somma dove possibile.
Commento:
- Determinare il carattere della serie $$\sum_{n=2}^{+\infty}\log\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right).$$
Commento:
- Determinare la somma della serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n)!}.$$
Commento:
Quesiti
- Se \((a_n)\) e \((b_n\)) sono due successioni rispettivamente divergente e priva di limite, la successione prodotto \((a_nb_n)\) può convergere?
- Creare una serie di potenze che converga su tutta la circonferenza unitaria ad eccezione di due punti. (sugg: partire da una serie convergente su tutta la circonferenza ad eccezione di un punto...)
- Qual è il raggio di convergenza della serie di potenze \(\sum_{n=1}^{+\infty}(1+i)^nz^{2n}\)?
- \(1+i\)
- \(\frac{1}{1+i}\)
- \(\sqrt{2}\)
- \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Commento:
11/12/15
Esercizi
- Studiare la convergenza della serie di potenze $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{i^n z^n}{n(2^n+1)}.$$
Commento:
- Dimostrare che \(e^x\) ha ordine di infinitesimo maggiore di \(\frac{1}{x^n}\) per \(x\) tendente a \(-\infty\) per qualsiasi valore \(n\in\mathbb{N}\).
Commento:
- Calcolare, se esiste, il seguente limite $$\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\sin x}{2-\cos x}.$$
Commento:
Quesiti
- Quanto vale il limite del rapporto di due funzioni se il numeratore ha ordine di infinitesimo maggiore rispetto al denominatore?
- Qual è l'ordine di infinitesimo della funzione \(\cos x\) per \(x\) tendente a \(\frac{\pi}{2}\)?
- Qual è il limite per \(x\) tendente a \(0\) della funzione segno? (ricordiamo che \(\text{sgn}\,x=\frac{x}{|x|},\forall x\neq 0 \) e \(\text{sgn}\,0=0\).)
- \(0\)
- \(1\)
- \(-1\)
- non esiste
Commento:
18/12/15
Esercizi
- Calcolare il limite $$\lim_{x\to 0}\frac{2^{x^2}-1}{\cosh x- \cos x}.$$
- Stabilire se la funzione $$f(x)=\arctan\frac{1}{x}$$ è prolungabile con continuità in \(x=0\) e studiare la continuità uniforme di \(f\).
- Usando gli ordini di infinitesimo, determinare \(\alpha\) in modo che \(\sum_{n=1}^{+\infty}n^\alpha\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)\) converga.
Quesiti
- La funzione tangente è continua?
- Sia data una funzione \(f\) che ammette asintoto obliquo \(y=x\) per \(x\to\pm\infty\). Possiamo dire che la funzione ammette almeno uno zero?
- Qual è l'ordine di infinitesimo della funzione \((1-\cos x)\sin(\sin x)\) per \(x\to 0\) ? E per \(x\to\pi\)?
8/1/16
Esercizi
- Dimostrare che l'equazione $$e^x=x^2$$ ammette una e una sola soluzione.
- Stabilire se la funzione $$f(x) = \begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} x\log x & \text{ se \(x>0\)} \\ 0 & \text{ se \(x=0\)} \end{array} \right. \end{align*}$$è derivabile in \(x_0=0\).
- Studiare le caratteristiche della funzione \(e^{-x}\sin x\) e tracciarne un grafico qualitativo.
Quesiti
- Perché nelle tabelle delle derivate è sufficiente inserire solo una tra le funzioni arcoseno e arcocoseno?
- Se \(\lim_{x\to+\infty} f'(x)=l\in\mathbb{R}\) possiamo concludere che la funzione ammette asintoto obliquo destro?
- La funzione \(|x|^\alpha\) è derivabile in \(x_0=0\) se
- \(\alpha<0\)
- \(0<\alpha<1\)
- \(\alpha>0\)
- \(\alpha>1\)
Esercizi più semplici:
- inf e sup (esercizio 1);
- induzione;
- funzioni elementari;
- numeri complessi;
- definizione di limite;
- successioni ricorsive (es 59 e 61, studiare monotonia, limitatezza e limite);
- limiti di successioni;
- serie numeriche;
- serie di potenze (es 1: trovare raggio di convergenza e studiare il comportamento sul bordo);
- limiti di funzioni (notevoli);
- limiti e ordini;
- sviluppi in serie;
- studi di funzione;