successioni e serie di funzioni; serie fourier; max/min; integrali multipli

 

Successioni e serie di funzioni

Dimostrare che la successione di funzioni $$f_n(x)=e^{-(x-n)^2}$$converge uniformemente alla funzione nulla se restringiamo il suo dominio all'intervallo \(]-\infty,0]\) o, più in generale, a qualunque intervallo limitato superiormente.


Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni $$f_n(x)=e^{-|x|n}.$$


Dimostrare che la serie di funzioni $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{x^2+n^2}$$converge totalmente.


Studiare la convergenza della serie di potenze $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n+1}x^{n+1}.$$


Determinare i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier della funzione $$f(x)=\sinh x$$definita sull'intervallo \(]-\pi,\pi]\) ed estesa per periodicità su tutto \(\mathbb{R}\).


Determinare i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier della funzione $$f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$definita sull'intervallo \(]0,2\pi]\) ed estesa per periodicità su tutto \(\mathbb{R}\).


Senza calcolare esplicitamente i coefficienti, calcolare la somma della serie di Fourier associata alla funzione \(2\pi\)-periodica $$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \pi-x \hspace{10pt} \text{ se \(-\pi<x\leqslant0\)}\\ 0 \hspace{29pt}\text{ se \(0<x\leqslant\pi.\)}\end{array}\right.$$Discutere inoltre la convergenza della serie di Fourier a \(f\).


Calcolare il seguente integrale: $$\iint_D x|y|\,dxdx$$dove \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|y\leqslant x, \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\leqslant 1\}\).