cinematica; dinamica

 

Un corpo puntiforme è soggetto a una forza \(\vec{F}(x)=-\frac{k}{\sqrt{x}}\hat{i}\) che lo attrae verso l'origine. Supponendo di posizionare il corpo nel punto di ascissa \(x_0>0\) con una certa velocità \(v_0\), determinare 

  • l'energia potenziale del corpo all'istante iniziale
  • in quale punto avviene l'inversione del moto
  • stabilire infine se il campo di forza \(F\) ammette una velocità di fuga, ovvero una velocità di partenza che permetta al corpo di proseguire il suo moto fino all'infinito

Un cilindro di raggio \(R\) rotola lungo un piano orizzontale: il suo centro di massa ha velocità iniziale \(v_0\) mentre il cilindro ruota con velocità angolare iniziale \(\omega_0\). Si determini, valutando separatamente i tre casi \(v_0>\omega_0R, v_0=\omega_0R, v_0<\omega_0R \)

  • se il moto del cilindro è di puro rotolamento;
  • se sono presenti forze di attrito: in caso di risposta affermativa stabilire se si tratta di attrito statico o dinamico e il verso di tale forza;
  • dopo quanto tempo il moto diventa di puro rotolamento (si assumano note la massa del cilindro, i coefficienti di attrito, ecc)

Un corpo è immerso in un campo di forze avente la forma \(\vec{F}(x)=\sin x\cdot \hat{i}\). 

  • Determinare, se esiste, l'energia potenziale associata ad \(\vec{F}\).
  • Determinare le posizioni di equilibrio del corpo discutendone la stabilità.
  • Descrivere il moto del corpo se esso è parte dalla posizione \(x_0=\frac{\pi}{2}\) con velocità iniziale \(v_0=0\).

Un auto in corsa subisce una forza dovuta al vento pari a \(F=-k(v_a-v)\), dove \(v_a\) è la velocità dell'aria e \(v\) quella dell'automobile. 

  • Determinare il lavoro che deve compiere il motore dell'auto per percorrere a velocità costante un tratto di \(200\)m.

Si supponga ora di spegnere il motore:

  • Descrivere qualitativamente il moto dell'auto sia in caso di vento contrario sia di vento favorevole.
  • In caso di vento contrario, determinare la legge del moto dell'auto e calcolare dopo quanto tempo l'auto avrà velocità \(v=\frac{v_0}{10}\),