limiti; studio funzione; integrali; variabili casuali; intervalli di confidenza

 

Calcolare i seguenti limiti $$\lim_{x\to +\infty}e^\frac{x^3+2}{x^2+3}\\ \lim_{x\to 4}\frac{x^2-7x+12}{x^2+x-20} \\ \lim_{x\to+\infty}\frac{x\sin x}{1+x^2} \\ \lim_{x\to 1^+}\frac{\log(\log x)}{\log^2 x}  \\ \lim_{x\to 0}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}\\ \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{\log(1+x)} \\ \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{\log(1+x^2)} \\ \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3} \\ \lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-1}{1-\cos x} \\ \lim_{x\to 0^+}x\log^2x. $$N.B: l'espressione \(\log^2 x\) significa \((\log x)^2\).


 

Calcolare le derivate delle seguenti funzioni $$\log(2x-1) \\ \log(2x^2-1) \\ e^{3-x^3} \\ \log^4 x \\ \cos^2 x \\ \sin(\cos x) \\ e^\frac{1}{x} \\ \sqrt{x} \\ e^{\sin x +x} \\ e^{e^x}. $$N.B: l'espressione \(\sqrt{x}\) può essere riscritta come \(x^\frac{1}{2}\).


 

Determinare dominio, eventuali asintoti, intervalli di monotonia e massimi e minimi per le seguenti funzioni $$f(x)=\frac{x^2+1}{x} \\ f(x)=(x^2-1)e^x \\ f(x)=\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \\ f(x)=\frac{e^{2x^2}}{x} \\ f(x)=\log^2 x \\ f(x)=2+\frac{e^{-x}}{x+2} \\ f(x)=\frac{\log x}{x^3}$$


Risolvere i seguenti integrali $$\int_0^1(x^2-x)\,dx \\ \int e^{3x}\, dx \\ \int x^4\log x\, dx \\ \int_0^{\pi}\sin x\cos x\, dx \\ \int (2x-1)\cos(4x)\, dx \\ \int \frac{\log x}{x}\, dx \\ \int_2^{10} \sqrt{2x+5}\,dx \\ \int_0^{+\infty}e^{-x}\, dx \\ \int(x^2+x+1)e^\frac{x}{2}\,dx$$

Calcolare \(k\) in modo che i seguenti integrali diano risultato \(1\) $$\int_0^2(kx^2-4kx)\,dx \\ \int_{-1}^{1} (kx+2)\,dx \\ \int_1^k\frac{1}{x^3}\,dx$$


Sia data la funzione $$\begin{align*} f(x)=\left\{\begin{array}{l} kx^2 & \text{ se 0<x<1}  \\ 0 & \text{ altrimenti}\end{array} \right. \end{align*}$$

  • determinare \(k\) in modo che \(f\) sia una densità;
  • calcolare il valore atteso della variabile avente densità \(f\);
  • determinare la probabilità dell'intervallo \([0,\frac{1}{3}]\)

Un sacchetto contiene delle palline numerate da 1 a 3. Se ne estrae una casualmente e si inseriscono in un cassetto tanti calzini bianchi quanti indicati dalla pallina numerata; successivamente si estrae un calzino in modo casuale. Se il cassetto conteneva inizialmente 5 calzini bianchi e 5 neri, qual è la probabilità di pescare un calzino nero? Supponiamo ora che il calzino estratto sia nero: qual è la probabilità che dal sacchetto avessimo estratto la pallina col numero 3?

Secondo un sondaggio risulta che 3 persone su 10 sono ritardatari cronici. Preso un campione di 15 persone:

  • calcolare la probabilità che tutti siano ritardatari
  • calcolare la probabilità di avere 5 ritardatari
  • calcolare il numero atteso di ritardatari

Secondo alcune stime il peso di un essere umano è distribuito approssimativamente secondo un modello gaussiano con media \(\mu=70kg\) e varianza \(\sigma^2=25kg^2\). Determinare

  • la probabilità che un individuo pesi esattamente 70kg;
  • la probabilità che un individuo pesi almeno 60kg;
  • la probabilità che un individuo abbia peso compreso tra 70 e 80kg

In una scuola si effettua un sondaggio sul numero di ore giornaliere spese dagli studenti davanti al computer: si suppone che tale numero segua una distribuzione normale con media \(\mu\) ignota e deviazione standard \(\sigma=1\). Su un campione di \(100\) studenti, la media di ore spese davanti al computer è pari a \(\overline{x}=2.5\); determinare l'intervallo di confidenza per la media \(\mu\) con grado di fiducia del 90%.

Con riferimento all'esercizio precedente, si supponga ora di non disporre dell'effettiva deviazione standard, ma di averla stimata con la deviazione standard campionaria \(s=1\). Determinare nuovamente l'intervallo di confidenza per la media e commentare brevemente la differenza di risultato rispetto all'esercizio precedente.

Sia data la funzione $$\begin{align*} f(x)=\left\{\begin{array}{l}  \cos x & \text{ se 0<x<k}  \\ 0 & \text{ altrimenti}\end{array} \right. \end{align*}$$

  • determinare \(k\) in modo che \(f\) sia una densità;
  • calcolare il valore atteso della variabile avente densità \(f\);
  • determinare e rappresentare graficamente la funzione di ripartizione \(F\)

Da un'indagine interna risulta che una fabbrica produttrice di componenti elettronici mette in vendita alcuni chip difettosi. L'indagine ha rivelato che ogni 100 chip, 15 presentano difetti. Scelti a caso 12 chip, determinare 

  • la probabilità che esattamente 4 di essi siano difettosi;
  • la probabilità che almeno 2 chip siano difettosi

In un allevamento ci sono 100 animali, di cui 95 sani e 5 malati. Per cercare di capire quali sono gli animali malati, vengono tutti sottoposti a un test, il quale restituisce esito positivo sui malati con probabilità del 98% ed esito negativo sui sani con probabilità del 96%. Determinare la probabilità che un animale sia effettivamente malato, quando il test è positivo.