I grado; II grado; fratte; grado superiore al secondo

La maggior parte degli esercizi di matematica, fisica, statistica, economia e via dicendo richiede la risoluzione di equazioni e disequazioni. In questa lezione ci occuperemo di riassumerne i principali metodi risolutivi, rimandando i casi più specifici agli articoli successivi. Nel corso dei prossimi paragrafi si farà più volte uso di due proprietà fondamentali delle equazioni, che riportiamo di seguito:

  • sommando la medesima quantità ad entrambi i membri di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza (ovvero con le stesse soluzioni)
  • moltiplicando per la medesima quantità entrambi i membri di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza (ovvero con le stesse soluzioni)

Per le disequazioni invece ricordiamo le seguenti regole:

  • sommando la medesima quantità ad entrambi i membri di una disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza
  • moltiplicando per una medesima quantità positiva entrambi i membri di una disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza
  • moltiplicando per una medesima quantità negativa entrambi i membri di una disequazione, e cambiando il verso del simbolo di disugualianza, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza

Equazioni e disequazioni di I grado

Partiamo rapidamente dal caso più semplice, ovvero un'equazione del tipo $$ax+b=0,$$dove supponiamo \(a\neq 0\) per evitare casi degeneri. Per risolvere l'equazione dobbiamo isolare l'incognita \(x\), e questo può essere fatto facilmente applicando le proprietà delle equazioni $$ax+b=0 \\ax+b+(-b)=0+(-b) \\ ax=-b \\ ax\cdot\frac{1}{a}=-b \cdot\frac{1}{a} \\ x=-\frac{b}{a}.$$Poco sarebbe cambiato se al posto di un'equazione avessimo avuto una disequazione, ad esempio $$ax+b>0:$$ se il coefficiente \(a\) è positivo possiamo seguire senza problemi gli stessi passi mostrati per l'equazione \(ax+b=0\), ottenendo $$ax+b=0 \\ ax>-b \\ x>-\frac{b}{a}.$$Nel caso \(a<0\) dobbiamo stare un po' più attenti e ricordarci di invertire la disuguaglianza quando moltiplichiamo per \(\frac{1}{a}\) (che risulta ora negativo):$$ax+b>0 \\ ax>-b \\ ax \cdot\underbrace{\frac{1}{a}}_{\color{#FF0000}{<0}} \color{#FF0000}{<}-b \cdot\underbrace{\frac{1}{a}}_{\color{#FF0000}{<0}} \\ x<-\frac{b}{a}.$$Vediamo ora come si possono interpretare graficamente equazioni e disequazioni di I grado. Se ad esempio vogliamo risolvere un'equazione del tipo \(ax+b=0\) possiamo associare al polinomio a primo membro la retta $$y=ax+b;$$a questo punto l'equazione iniziale può essere vista come $$y=0$$e quindi corrisponde alla ricerca del punto della retta che ha quota nulla. Risolvere l'equazione \(ax+b=0\) significa allora trovare l'ascissa del punto di intersezione tra la retta \(y=ax+b\) e l'asse delle ascisse. In modo del tutto analogo, risolvere una disequazione del tipo \(ax+b>0\) significherà determinare le ascisse di tutti i punti della retta \(y=ax+b\) che hanno ordinata maggiore di \(0\).

Equazioni e disequazioni di II grado 

Le equazioni di II grado sono riconducibili alla forma base $$ax^2+by+c=0$$e la loro risoluzione richiede l'uso di una formula probabilmente nota alla quasi totalità dei visitatori di questo sito: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$La quantità dentro la radice viene indicata in modo sintetico con la lettera greca \(\Delta\) (delta) e prende il nome di discriminante, in quanto il suo segno determina il numero delle soluzioni dell'equazione.

  • \(\Delta>0\): l'equazione ha due soluzioni distinte \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\). A livello grafico possiamo dire che l'asse delle ascisse risulta secante alla parabola \(y=ax^2+bx+c\) associata all'equazione;
  • \(\Delta=0\): in questo caso le due soluzioni si sovrappongono dandoci un unico valore \(x=\frac{-b}{2a}\). La parabola associata all'equazione sarà stavolta tangente all'asse \(x\);
  • \(\Delta<0\): siccome nell'insieme dei numeri reali non è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo, l'equazione non ammette soluzioni reali. Nel piano cartesiano, la parabola \(y=ax^2+bx+c\) non potrà intersecare l'asse delle ascisse e pertanto se ne troverà interamente al di sopra o interamente al di sotto. 

Per le disequazioni le cose si complicano leggermente rispetto al caso di I grado, ma aiutandoci con l'approccio grafico nel piano cartesiano saremo ancora in grado di determinare le soluzioni abbastanza facilmente. Consideriamo ad esempio una disequazione del tipo \(ax^2+bx+c>0\) e introduciamo la parabola associata \(y=ax^2+bx+c\): la disequazione può essere vista come \(y>0\) e la sua risoluzione comporta quindi la determinazione dei punti della parabola con ordinata strettamente positiva. A questo punto sarà sufficiente tracciare un grafico approssimativo della parabola per capire a quali ascisse corrispondono i punti della parabola con quota positiva. Per fissare meglio quanto detto in questo paragrafo, vediamo la risoluzione esplicita di alcune disequazioni.

  • \(x^2-3x+2\geqslant 0\): al fine di tracciare il grafico qualitativo della parabola associata, risolviamo l'equazione associata (in modo da trovare eventuali intersezioni tra parabola e asse \(x\)):$$x^2-3x+2=0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}\Rightarrow \begin{align}\left\{ \begin{array}{l} x_1=1 \\ x_2 = 2. \end{array} \right. \end{align}$$La parabola interseca l'asse delle \(x\) in due punti distinti e avrà concavità rivolta verso l'alto, visto che \(a=1>0\): il grafico della parabola sarà allora quello mostrato in figura.

    Con le informazioni in nostro possesso affermiamo i punti della parabola con ordinata maggiore o uguale a \(0\) sono tutti quelli che hanno ascissa minore o uguale a \(1\) oppure maggiore o uguale a \(2\). Scriveremo quindi che la disequazione è soddisfatta se $$x\leqslant 1 \vee x\geqslant 2.$$
     
  • \(2x^2-20x+50>0\): risolviamo nuovamente l'equazione associata $$2x^2-20x+50=0\Rightarrow x=\frac{20\pm\sqrt{400-400}}{4}=5.$$La parabola ha concavità rivolta verso l'alto ma stavolta sarà tangente all'asse delle ascisse, per la precisione nel punto \((5,0)\). Per risolvere la disequazione osserviamo che i punti della parabola con ordinata strettamente positiva sono tutti, ad eccezione per il vertice: la disequazione risulta quindi soddisfatta se $$x\neq 5.$$Alla medesima soluzione si poteva arrivare manipolando la disequazione nel seguente modo$$2x^2-20x+50>0\Rightarrow 2(x^2-10x+25)>0\Rightarrow (x-5)^2>0.$$A questo punto è sufficiente notare che una quantità reale elevata è sempre positiva ad eccezione del caso in cui è nulla; otteniamo allora $$(x-5)^2>0\iff x-5\neq 0 \iff x\neq 5.$$

  • \(-x^2+2x-4\leqslant 0\): in questo caso il discriminante è negativo, infatti provando a calcolare le intersezioni con l'asse \(x\) si avrebbe$$x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{-12}}{-2}.$$Poiché la radice quadrata di \(-12\) non è un numero reale, concludiamo che la parabola non ha intersezioni con l'asse delle ascisse; osservando inoltre che il coefficiente \(a\) è negativo, la parabola avrà concavità rivolta verso il basso e pertanto dovrà essere interamente contenuta nel nel semipiano \(y<0\). Tornando alla disequazione, il simbolo di "minore o uguale" significa che a noi vanno bene sia i punti della parabola con quota negativa sia quelli con quota nulla: in altre parole tutti i punti della parabola soddisfano la condizione richiesta. Diciamo allora che la disequazione è soddisfatta qualunque sia il valore di \(x\) o, in formula,$$\forall x \in \mathbb{R}.$$

Equazioni e disequazioni fratte

Lo studio di equazioni e disequazioni fratte non è particolarmente complicato in quanto è per larga parte riconducibile allo studio di equazioni e disequazioni intere. Consideriamo ad esempio un'equazione della forma $$\frac{A(x)}{B(x)}=0:$$affinché una frazione dia valore nullo è necessario che il numeratore sia pari a \(0\) e, contemporaneamente, che il denominatore non si annulli (altrimenti la frazione assumerebbe la forma \(\frac{0}{0}\), priva di significato).Per risolvere l'equazione fratta è sufficiente risolvere l'equazione \(A(x)=0\) e scartare tutti valori che fanno annullare anche \(B(x)\). Consideriamo ad esempio l'equazione $$\frac{x^2-2x}{x^2-4}=0:$$il denominatore non può annullarsi e pertanto imponiamo la condizione $$x^2-4\neq 0\Rightarrow x\neq \frac{0\pm\sqrt{16}}{2}\Rightarrow x \neq \pm2.$$I valori che annullano il numeratore possono essere ricavati dalla solita formula risolutiva per le equazioni di II grado oppure con un raccoglimento, infatti $$x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0\vee x=2.$$La soluzione \(x=2\) va però scartata perché essa annulla anche il denominatore, quindi l'unica soluzione accettabile rimane $$x=0.$$Per le disequazioni operiamo in modo simile, infatti studieremo separatamente il segno del numeratore e del denominatore risolvendo le disequazioni intere \(A(x)>0\) ("\(\geqslant0\)" se la disuguaglianza era debole) e \(B(x)>0\) e poi faremo uno schema riassuntivo per confrontare i segni di numeratore e denominatore: a questo punto basterà osservare che la frazione \(\frac{A(x)}{B(x)}\) sarà positiva quando \(A\) e \(B\) sono concordi e sarà negativa quando sono discorsi. Come sempre, accompagniamo quanto appena detto con un esempio concreto, risolvendo la disequazione $$\frac{x^2-1}{x}\geqslant 0.$$Imposta per prima cosa la condizione \(B(x)\neq 0\), ovvero \(x\neq 0\), studiamo il segno del numeratore analizzando la disequazione $$x^2-1\geqslant 0.$$La disequazione è di II grado e può risolta per mezzo della parabola associata, che interseca l'asse delle ascisse per \(x=\pm 1\) e che ha concavità verso l'alto, come confermato in figura. 

Il numeratore dunque sarà maggiore o uguale a zero se \(x\leqslant -1 \vee x\geqslant 1\) mentre è banale notare che il denominatore è positivo per \(x>0\). Concludiamo quindi che la frazione \(\frac{x^2-1}{x}\) è positiva quando numeratore e denominatore sono concordi, cioè se \(x\) è compresa tra \(-1\) e \(0\) oppure maggiore di \(1\); la frazione sarà invece negativa quando numeratore e denominatori sono discordi, ovvero se \(x\) è minore di \(-1\) o compresa tra \(0\) e \(1\); infine la frazione avrà valore nullo per \(x=\pm 1\) e sarà indefinita per \(x=0\). Il tutto può essere riassunto in questo schema: 

Alcune indicazioni su come leggere lo schema:

  • i tratti orizzontali continui indicano le zone in cui numeratore o denominatore sono positivi;
  • le linee orizzontali tratteggiate rappresentano gli intervalli dove numeratore o denominatore hanno valore negativo;
  • se la disuguaglianza è debole (\(\leqslant\) o \(\geqslant\)) evidenziamo con un "pallino" gli zeri del numeratore per indicare che sono possibili soluzioni;
  • gli zeri del denominatori e, in caso di disuguaglianza stretta, quelli del numeratore sono indicati con una "crocetta" a simboleggiare il fatto che vanno sempre esclusi dalla soluzione

In conclusione, la disequazione \(\frac{x^2-1}{x}\geqslant 0\) è soddisfatta se $$-1\leqslant x <0 \vee x\geqslant 1. $$

Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo

Abbiamo visto come risolvere equazioni di primo e secondo grado per mezzo di comode formule risolutive; nel caso delle equazioni di grado superiore queste formule diventano però estremamente complicate e pertanto riteniamo poco utile presentarle. Ci limiteremo allora a studiare alcuni casi particolari che possono essere ricondotti allo studio di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado: 

  • Equazioni binomie: si riconoscono perché hanno la forma $$x^n=k.$$Se \(n\) è dispari, l'equazione ha come unica soluzione il valore $$x=\sqrt[n]{k}.$$Se invece \(n\) è pari, l'equazione può avere due, una o nessuna soluzione (come per le equazioni di secondo grado, infatti $$k>0\Rightarrow x=\pm\sqrt[n]{k}\\ k=0\Rightarrow x=0 \\ k<0\Rightarrow \nexists x.$$Alcuni esempi di equazioni binomie sono$$x^3=27\Rightarrow x=\sqrt[3]{27}=3 \\2 x^4-32=0\Rightarrow x=\pm\sqrt[4]{16}=\pm2 \\ 2x^4+32=0\Rightarrow \nexists x.$$
  • Equazioni trinomie: hanno la forma $$ax^{2n}+bx^n+c=0$$e possono essere ricondotte a un'equazione di secondo grado per mezzo del cambio di variabile \(t=x^n\). A questo punto basta trovare le (eventuali) soluzioni \(t_{1,2}\) dell'equazione \(at^2+bt+c=0\) per poi concludere studiando le equazioni binomie $$x^n=t_1 \\x^n=t_2.$$Risolviamo ad esempio l'equazione \(x^4-x^2-2=0\): per prima cosa poniamo \(t=x^2\) in modo da ricondurci all'equazione di secondo grado $$t^2-t-2=0\Rightarrow t=-1 \vee t=2.$$Tornando alla variabile \(x\) otteniamo $$x^2=-1 \vee x^2=2.$$La prima equazione non ha soluzioni, quindi basterà risolvere la seconda, dalla quale ricaviamo le soluzioni $$x=\pm\sqrt{2}.$$
  • Raccoglimento a fattor comune: in alcune equazioni possiamo effettuare dei raccoglimenti totali o parziali che ci permettono di ricondurre un'equazione di grado \(n\) a due o più equazioni di grado inferiore. Ad esempio, l'equazione $$x^3-4x=0$$può essere risolta raccogliendo \(x\): $$x(x^2-4)=0.$$Ricordando che un prodotto si annulla se e solo se almeno uno dei suoi fattori si annulla, possiamo dire che $$x(x^2-4)=0\iff x=0\vee x^2-4=0 \iff x=0 \vee x=\pm 2.$$Nel caso dei quadrinomi può invece essere utile il raccoglimento parziale, soprattutto se notiamo qualche proporzione tra i coefficienti. Per spiegare meglio quanto appena detto, esaminiamo l'equazione $$x^3-3x^2-5x+15=0.$$I coefficienti del polinomio a primo membro soddisfano la proporzione $$1:-3= -5: 15$$quindi possiamo provare a fare un raccoglimento parziale: nello specifico, raccogliamo \(x^2\) tra i primi due termini e \(-5\) tra gli ultimi due, scrivendo $$x^2(x-3)-5(x-3)=0.$$A questo punto possiamo raccogliere il fattor comune \(x-3\): $$(x-3)(x^2-5)=0\Rightarrow x=3\vee x=\pm\sqrt{5}.$$ 
  • Regola di Ruffini: quando non siamo in grado di trovare "a occhio" un raccoglimento, possiamo ricorrere alla regola di Ruffini. Il metodo consiste nel cercare una soluzione dell'equazione tra i divisori del termine noto e poi, tramite questa soluzione, fattorizzare il polinomio in modo da abbassarne il grado. Il metodo si basa sul teorema di Ruffini, che afferma che un polinomio \(P(x)\) di grado \(n\) che ammette una rafice \(\alpha\) può essere fattorizzato come $$P(x)=(x-\alpha)Q(x),$$dove \(Q(x)\) è un polinomio di grado \(n-1\). Prendiamo ad esempio l'equazione $$x^4-2x^3-5x^2-10x-8=0.$$Il termine noto è \(-8\), quindi i valori tra cui cerchiamo una soluzione saranno $$\pm1 \quad \pm2 \quad \pm4 \quad \pm8.$$Se proviamo a sostituire questi valori al posto della \(x\) vedremo che solo con \(x=-1\) e con \(x=4\) l'equazione è verificata, per cui applicheremo il metodo di Ruffini a partire da uno di questi valori, ad esempio \(x=-1\) (è spesso conveniente iniziare a lavorare con numeri più piccoli possibile). Dobbiamo ora determinare il polinomio \(Q(x)\): il suo primo coefficiente sarà lo stesso di \(P(x)\), mentre il secondo sarà dato dalla somma tra il secondo coefficiente di \(P\) e il primo coefficiente di \(Q\) moltiplicato per \(alpha\). In modo analogo, il terzo coefficiente di \(Q\) sarà dato dal terzo coefficiente di \(P\) sommato al secondo di \(Q\) moltiplicato per \(alpha\) e così via... il tutto può essere riassunto dallo schema sottostante.

    La fattorizzazione che si ottiene è $$x^4-2x^3-5x^2-10x-8=(x+1)(x^3-3x^2-2x-8).$$Il fattore \(Q\) è di terzo grado e pertanto va fattorizzato nuovamente con Ruffini; stavolta l'unico divisore del termine noto che va bene è \(4\) e riutilizzando di nuovo lo schema avremo $$x^3-3x^2-2x-8=(x-4)(x^2+x+2).$$

    L'equazione iniziale può essere quindi riscritta come $$(x+1)(x-4)(x^2+x+2)=0:$$rimangono da calcolare i valori di \(x\) che annullano il fattore di II grado, il quale però ha discriminante negativo (\(1-8\)). Concludiamo finalmente che le soluzioni dell'equazione sono $$x=-1 \vee x=4.$$