Punti di accumulazione, limiti al finito, limite destro e sinistro, algebra dell'infinitoforme indeterminate

 

Nella lezione sulle successioni abbiamo introdotto l'idea di "convergere" e "divergere". In questa lezione vogliamo estendere questi concetti alle funzioni reali. Riadattando le definizioni già viste, diremo che $$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L\iff \forall \epsilon>0, \exists N_\epsilon>0 \text{ tale che } |f(x)-L|<\epsilon, \forall x>N_\epsilon \\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \iff \forall M>0, \exists N_M>0 \text{ tale che } f(x)>M, \forall x>N_M \\\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty \iff \forall M>0, \exists N_M>0 \text{ tale che } f(x)<-M, \forall x>N_M.$$A differenza delle successioni, per le quali i limiti venivano calcolati solo per \(n\to+\infty\), con le funzioni possiamo considerare anche il caso in cui \(x\to-\infty\):$$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L\iff \forall \epsilon>0, \exists N_\epsilon>0 \text{ tale che } |f(x)-L|<\epsilon, \forall x<-N_\epsilon \\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \iff \forall M>0, \exists N_M>0 \text{ tale che } f(x)>M, \forall x<-N_M \\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \iff \forall M>0, \exists N_M>0 \text{ tale che } f(x)<-M, \forall x<-N_M.$$Naturalmente i limiti che abbiamo considerato perdono di significato qualora il dominio della funzione \(f\) sia superiormente o inferiormente limitato: ad esempio non avrà alcun senso studiare il limite della funzione \(\log x\) per \(x\) tendente a \(-\infty\); analogamente non avrà senso studiare i limiti di \(\arcsin x\) per \(x\) tendente a \(\pm\infty\) e così via.

La seconda differenza tra i limiti di funzioni definite su intervalli rispetto alle successioni consiste nel fatto che ora possiamo definire anche i limiti "al finito". Se consideriamo nuovamente la funzione \(\log x\), ha senso ad esempio chiederci quale sia il suo comportamento quando \(x\) tende a \(0\). Per capire meglio quali siano i punti in cui ha senso calcolare un limite abbiamo bisogno del concetto di punto di accumulazione.

Punti di accumulazione

Dato un insieme \(A\), diremo che un suo punto di accumulazione \(x_0\) è un punto che soddisfa la seguente relazione $$\forall \epsilon>0,\, \exists x\in A\setminus\{x_0\} \text{ tale che } x_0-\epsilon <x<x_0+\epsilon.$$In termini un po' più semplici un punto di accumulazione \(x_0\) è tale se possiamo trovare punti di \(A\) (diversi da \(x_0\) stesso) vicini quanto vogliamo ad a \(x_0\). Un punto appartenente ad \(A\) ma non di accumulazione si dice invece isolato. Per comprendere meglio i concetti di punto di accumulazione e punto isolato analizziamo l'insieme \(A=\{1\}\cup]2,3[\):

  • il punto \(x_0=1\), pur appartenendo all'insieme, non è di accumulazione: scegliendo infatti \(\epsilon=0.1\) notiamo subito che nessun punto \(x\) di \(A\) diverso da \(1\) soddisfa la relazione \(1-\epsilon< x<1+\epsilon\);
  • il punto \(x_0=2\) è invece di accumulazione, nonostante non appartenga ad \(A\), infatti per ogni \(\epsilon>0\) ci sono punti di \(A\)  diversi da \(x_0\) tali che \(x_0-\epsilon< x<x_0+\epsilon\) (nello specifico vanno bene tutti i valori \(x\) che vanno da \(2\) a \(2+\epsilon\), estremi esclusi);
  • più in generale, tutti i punti che appartengono all'insieme \(]-\infty,2[\cup]3,+\infty[\) NON sono di accumulazione e il punto \(\{1\}\)} è in particolare un punto isolato (in quanto appartiene ad \(A\));
  • tutti i punti appartenenti all'insieme \([2,3]\) sono punti di accumulazione per \(A\): si noti in particolare come gli estremi del segmento siano di accumulazione pur non appartenendo ad \(A\).

Nella figura sottostante abbiamo riassunto le osservazioni appena fatte, indicando in rosso alcuni punti di accumulazione e in verde altri non di accumulazione. Si può notare come i punti verdi non abbiano punti di \(A\) (blu) "vicini" ad essi mentre per i punti rossi sia sempre possibile trovare un punto blu a distanza inferiore a \(\epsilon\) (ovvero compresi all'interno delle parentesi rosse).

Possiamo estendere il concetto di punto di accumulazione anche a \(\pm\infty\) dicendo che \(+\infty\) (\(-\infty\)) è punto di accumulazione per \(A\) se \(A\) non è superiormente (inferiormente) limitato.

Il calcolo dei limiti ha senso solo relativamente ai punti di accumulazione di \(\text{dom} f\) perché sono gli unici punti a cui la variabile indipendente \(x\) si può avvicinare a nostro piacimento. Alla luce di quanto appena detto, e ricordando che una successione è una funzione che ha come dominio un sottoinsieme non limitato di \(\mathbb{N}\), capiamo perché per le successioni l'unico limite calcolabile sia quello per \(n\) tendente a \(+\infty\).

Definizioni di limite al finito

Chiamiamo limiti al finito tutti i limiti calcolati con \(x\) tendente a un numero reale \(x_0\); i limiti per \(x\) tendente a \(+\infty\) o \(\infty\) verranno invece detti limiti all'infinito (chiameremo inoltre finiti i limiti che hanno valore reale e infiniti quelli che valgono \(\pm\infty\)).

Da un punto di vista intuitivo, dati due numeri reali \(x_0\) e \(L\), diremo che una funzione \(f(x)\) tende a \(L\) per \(x\) tendente a \(x_0\) se, man mano che \(x\) si avvicina a \(x_0\), i valori di \(f(x)\) si avvicinano arbitrariamente a \(L\); un modo un po' più preciso per esprimere lo stesso concetto consiste nel dire che data una qualunque precisione \(\epsilon\), i valori di \(f(x)\) approssimano \(l\) con precisione migliore di \(\epsilon\), a patto di scegliere \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\). La definizione formale invece è la seguente: $$\lim_{x\to x_0}f(x)=L \iff \forall\epsilon >0,\exists \delta_\epsilon >0 \text{ tale che } |x-x_0|<\delta_\epsilon \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon.$$Come abbiamo fatto per i limiti (all'infinito) di successioni, chiariamo il significato dei vari termini della definizione:

  • \(\epsilon\) rappresenta la precisione con cui vogliamo approssimare \(L\) tramite \(f(x)\) e il quantificatore \(\forall\) indica che possiamo scegliere un'approssimazione a piacere;
  • \(\delta_\epsilon\) indica quanto devo trovarmi vicino a \(x_0\) per essere sicuro che \(f(x)\) abbia distanza da \(L\) inferiore a \(\epsilon\);
  • i valori assoluti \(|x-x_0|\) e \(|f(x)-L|\) servono a calcolare rispettivamente la distanza tra \(x\) e \(x_0\) e tra \(f(x)\) e \(L\).

Nella figura sottostante rappresentiamo il limite finito, al finito, \(\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}\).

Come si può vedere dal grafico, a prescindere da quanto sia piccolo \(\epsilon\) riusciamo sempre a trovare un \(\delta\) tale che la funzione \(f(x)\) ristretta all'intervallo \(]x_0-\delta,x_0+\delta[\) sia ingabbiata tra \(L-\epsilon\) e \(L+\epsilon\).

Restano solo da definire i limiti infiniti all'infinito: iniziando come sempre dall'aspetto intuitivo diciamo che \(f(x)\) tende a \(+\infty\) per \(x\) tendente a \(x_0\) se i valori di \(f\) crescono senza limitazioni man mano che \(x\) si avvicina a \(x_0\). Formalmente scriviamo $$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \iff \forall M>0,\exists \delta_M >0 \text{ tale che } |x-x_0|<\delta_M \Rightarrow f(x)>M.$$Vediamo come al solito il significato dei vari termini:

  • \(M\) indica una generica quota che la funzione deve superare;
  • analogamente al caso di limite finito, \(\delta_M\) rappresenta quanto vicino a \(x_0\) debba stare per assicurarmi che \(f(x)\) sia maggiore di \(M\);
  • il valore assoluto \(|x-x_0|\) ha lo stesso significato del caso precedente e indica che \(x\) si può trovare indifferentemente a sinistra o a destra di \(x_0\).

Nel seguente grafico rappresentiamo la funzione \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}\), che tende a \(+\infty\) quando \(x\) tende a \(1\) (limite infinito al finito): per ogni valore di \(M\), non importa quanto grande, siamo sempre in grado di trovare un intervallo \(]1-\delta, 1+\delta[\) i cui punti abbiano immagine maggiore di \(M\).

Viste le somiglianze col caso appena analizzato, riportiamo la definizione di limite uguale a \(-\infty\) senza scendere in ulteriori particolari: $$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \iff \forall M>0,\exists \delta_M >0 \text{ tale che } |x-x_0|<\delta_M \Rightarrow f(x)<-M.$$

Limiti destro e sinistro

Consideriamo la funzione \(f(x)=\frac{1}{x}\) e analizziamo il comportamento di \(f\) per \(x\) tendente a \(0\): se guardiamo i valori positivi di \(x\), può sembrare che la funzione tenda a \(+\infty\) mentre per \(x\) negativo potremmo essere portati a dire che il limite vale \(-\infty\).

Qual è allora il vero valore del limite di \(\frac{1}{x}\) per \(x\) tendente a \(0\)?

La risposta è che il limite non esiste! La funzione infatti non soddisfa la definizione di limite né  con \(+\infty\) né  con \(-\infty\), infatti se prendiamo un valore \(M>0\) non saremo mai in grado di trovare un valore \(\delta>0\) tale che \(f(x)\) sia maggiore di \(M\) (o minore di \(-M\) su tutto l'intervallo \(]-\delta,\delta[\). 

In figura, possiamo vedere un'interpretazione grafica di quanto appena detto: se il limite fosse \(+\infty\) ad esempio, il grafico di \(\frac{1}{x}\) dovrebbe essere contenuto nella zona in alto colorata di verde, ma il ramo di iperbole rosso non soddisfa questa condizione. Considerazioni analoghe valgono per il grafico di destra, che mostra come \(f\) non tenda neanche a \(-\infty\).

Per studiare situazioni di questo genere possiamo introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro, studiando le restrizioni della funzione agli intervalli  \(]0,+\infty[\) e \(]-\infty,0[\) rispettivamente. Per indicare questi limiti useremo le notazioni \(x\to 0^+\) (limite destro) e \(x\to 0^-\) (limite sinistro) e riassumendo le osservazioni di questo paragrafo scriveremo $$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \\ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty \\ \nexists \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}.$$Le definizioni formali di limite destro e limite sinistro si possono ricavare facilmente da quelle che abbiamo già visto in questa lezione, con l'accortezza di sostituire l'espressione \(|x-x_0|<\delta\) (che equivale a \(x_0-\delta< x<x_0+\delta\)) con \(x<x_0+\delta\) (limite destro) o con \(x>x_0-\delta\). A titolo di esempio, nel caso di limite finito, otteniamo le nuove definizioni: $$ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L \iff \forall\epsilon >0,\exists \delta_\epsilon >0 \text{ tale che } x<x_0+\delta_\epsilon \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon\\ \lim_{x\to {x_0}^-}f(x)=L \iff \forall\epsilon >0,\exists \delta_\epsilon >0 \text{ tale che } x>x_0-\delta_\epsilon \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon.$$La relazione che lega il limite al finito con i limiti destro e sinistro è la seguente: $$\lim_{x\to x_0}f(x)=L \iff \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L} \\ \displaystyle{\lim_{x\to {x_0}^-}f(x)=L} \end{array} \right. $$e vale sia quando il limite è finito sia quando esso è infinito.

Limiti elementari e algebra dell'infinito

Le definizioni di limite che abbiamo usato finora richiedono, per essere applicate, di conoscere già il comportamento della funzione (convergente o divergente) e più nello specifico di conoscere il valore del limite: in sostanza, le definizioni di limite si usano per verificare la correttezza di un limite che era stato già calcolato. In questo paragrafo ci occupiamo allora di gettare le basi per questo tipo di calcolo.

Incominciamo dalle funzioni elementari: per punti interni al dominio basterà sostituire (grazie alla continuità) il valore di \(x_0\) in \(f\), come nei seguenti esempi: $$\lim_{x\to 3}x^2=3^2=9 \\ \lim_{x\to 0}\sin x= \sin 0=0 \\ \lim_{x\to\pi }e^x=e^\pi...$$

Per quanto riguarda gli estremi del dominio invece, ci limitiamo a "dedurre" i limiti delle funzioni analizzando l'andamento dei grafici. 

 

  • \(f(x)=x^2\):$$\lim_{x\to+\infty}x^2=(+\infty)^2=+\infty; \\ \lim_{x\to-\infty}x^2=(-\infty)^2=+\infty;$$
  • \(f(x)=\frac{1}{x}\):$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{+\infty}=0;\\ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{-\infty}=0; \\ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=\frac{1}{0^+}=+\infty; \\ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=\frac{1}{0^-}=-\infty;$$
  • \(f(x)=\sqrt{x}\):$$ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=\sqrt{+\infty}=+\infty; \\ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=\sqrt{0^+}=0;$$
  • \(f(x)=a^x, a>1\):$$ \lim_{x\to+\infty}a^x=a^{+\infty}=+\infty; \\ \lim_{x\to-\infty}a^x=a^{-\infty}=0;$$
  • \(f(x)=a^x, 0<a<1\):$$\lim_{x\to+\infty}a^x=a^{+\infty}=0; \\ \lim_{x\to-\infty}a^x=a^{-\infty}=+\infty;$$
  • \(f(x)=\log_a x, a>1\):$$ \lim_{x\to+\infty}\log_a x=\log_a(+\infty)=+\infty; \\ \lim_{x\to0^+}\log_a x=\log_a 0^+=-\infty;$$
  • \(f(x)=\log_a x, 0<a<1\):$$ \lim_{x\to+\infty}\log_a x=\log_a(+\infty)=-\infty; \\ \lim_{x\to 0^+}\log_a x=\log_a(0^+)=+\infty;$$
  • \(f(x)=\sin x\) (o qualsiasi altra funzione periodica): $$ \nexists\lim_{x\to+\infty}\sin x; \\ \nexists\lim_{x\to-\infty}\sin x;$$
  • \(f(x)=\arctan x\):$$ \lim_{x\to+\infty}\arctan x=\arctan(+\infty)=\frac{\pi}{2}; \\ \lim_{x\to-\infty}\arctan x=\arctan(-\infty)=-\frac{\pi}{2}.$$

Risolto il problema delle funzioni elementari, vediamo come procedere per funzioni più generiche: se una funzione è costituita da somme, sottrazioni, moltiplicazioni o divisioni tra funzioni elementari, l'idea sarà quella di calcolare il limite di ciascuna di esse e poi effettuare somma, sottrazione, moltiplicazione o divisione tra i singoli limiti. Finché le funzioni hanno limiti finiti, queste operazioni non creano problemi, tuttavia potremmo trovarci nel caso in cui compaiano anche limiti infiniti: in questo caso le regole aritmetiche che conosciamo non sono più valide e pertanto abbiamo la necessità di aggiungerne altre:

  • \(\pm\infty +a=\pm\infty, \forall a\in\mathbb{R};\)
  • \(+\infty+\infty=+\infty;\)
  • \(-\infty-\infty=-\infty;\)
  • \(\pm\infty \cdot a = \pm\infty, \forall a>0;\)
  • \(\pm\infty \cdot a =\mp \infty, \forall a<0;\)
  • \(+\infty\cdot (+\infty)=+\infty;\)
  • \(+\infty\cdot (-\infty)=-\infty;\)
  • \(-\infty\cdot (-\infty)=+\infty;\)
  • \(\frac{a}{\pm\infty}=0, \forall a\in\mathbb{R};\)
  • \(\frac{a}{0^\pm}=\pm\infty, \forall a>0;\)
  • \(\frac{a}{0^\pm}=\mp\infty, \forall a<0;\)
  • \(\frac{\pm\infty}{0^+}=\pm\infty;\)
  • \(\frac{\pm\infty}{0^-}=\mp\infty;\)
  • \((+\infty)^a=+\infty, \forall a>0;\)
  • \((+\infty)^a=0, \forall a<0;\)
  • \(0^{+\infty}=0.\)

NOTA BENE: in tutte le formule scritte sopra, il simbolo \(+\infty\) non rappresenta un numero ma indica una funzione divergente; in modo simile, quando scriviamo \(0\) non intendiamo il vero e proprio "zero" ma una quantità che tende a \(0\). Alla luce di queste osservazioni la nona riga, ad esempio, andrebbe letta come "se il numeratore di una frazione converge ad un numero reale \(a\) e il denominatore diverge a \(\pm\infty\), allora la frazione tende a \(0\)." 

Con le regole appena definite possiamo calcolare qualche limite un po' più elaborato dei precedenti: $$\lim_{x\to 0}\frac{e^x+x^2}{2\sin x-\cos x}=\frac{e^0+0^2}{\sin0-\cos 0}=\frac{1+0}{0-1}=-1; \\ \lim_{x\to 1}(1+x^3)\cos(\pi x)=(1+1)^3\cos(\pi\cdot 1)=2^3\cos\pi=8\cdot(-1)=-8; \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{\log x}{\arctan x+1}=\frac{\log(+\infty)}{\arctan(+\infty)+1}=\frac{+\infty}{\frac{\pi}{2}+1}=+\infty; \\ \lim_{x\to-\infty}\sqrt{4-e^{2x}}=\sqrt{4-e^{2(-\infty)}}=\sqrt{4-e^{-\infty}}=\sqrt{4-0}=2 ...$$

Forme indeterminate

Nelle regole dell'algebra dell'infinito non sono state contemplate tutte le operazioni possibili coi limiti: ad esempio la forma \(+\infty-\infty\) non è stata presa in considerazione. Questa forma rappresenta il limite della differenza tra due funzioni infinite e vedremo che, a seconda del contesto, tale forma può dare qualsiasi risultato. 

Consideriamo ad esempio un'azienda e indichiamo con \(R(t)\) e \(S(t)\) il ricavato e la spesa dell'azienda in funzione del tempo \(t\); il guadagno dell'azienda sarà pertanto \(G(t)=R(t)-S(t)\). Col trascorrere del tempo l'azienda aumenta la propria produzione ma per far fronte al proprio ingrandimento ci sarà un aumento anche delle spese. Vediamo cosa succede in tre possibili scenari:

  • il ricavo aumenta più rapidamente delle spese, ad esempio supponiamo che \(R(t)=t^2\) e \(S(t)=t\). Il limite della funzione \(G(t)\) si presenta in forma \(+\infty-\infty\), tuttavia possiamo calcolarlo per mezzo di un raccoglimento: $$\lim_{t\to+\infty} G(t)=\lim_{t\to+\infty} (t^2-t)=\lim_{t\to+\infty} t(t-1)=+\infty(+\infty-1)=+\infty.$$Com'era lecito aspettarsi, se il ricavo cresce più velocemente delle spese, i guadagni dell'azienda sono destinati a crescere a dismisura; 
  • il ricavo aumenta più lentamente delle spese: consideriamo il caso opposto, ovvero \(R(t)=t\) e \(S(t)=t^2\). Calcoliamo nuovamente il limite con lo stesso metodo di prima: $$\lim_{t\to+\infty} G(t)=\lim_{t\to+\infty} (t-t^2)=\lim_{t\to+\infty} t(1-t)=+\infty(1-\infty)=-\infty.$$Il risultato è opposto a quello del caso precedente, ovvero l'azienda accumula debiti sempre più consistenti;
  • ricavo e spese crescono con la stessa rapidità: supponiamo ora che \(R(t)=t+1\) e \(S(t)=t\). Questa volta il limite è ancora più semplice da calcolarsi: $$\lim_{t\to+\infty} G(t)=\lim_{t\to+\infty} ((t+1)-t)=\lim_{t\to+\infty} 1=1.$$Il guadagno stavolta è costante nel tempo, come si può vedere anche dal grafico.

Con questi semplici esempi possiamo notare che la forma \(+\infty-\infty\) può dar vita a risultati completamente diversi, e per questo motivo verrà detta anche forma indeterminata. Per calcolare un limite del tipo $$\lim_{x\to +\infty}(f(x)-g(x)) $$che si presenta in forma indeterminata \(+\infty-\infty\) dovremo studiare la velocità con cui divergono le due funzioni \(f\) e \(g\). 

Altre forme indeterminate sono le seguenti: 

  • \(\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\)
  • \(\pm\infty \cdot 0\)
  • \(\frac{0}{0}\)
  • \((+\infty)^0\)
  • \(0^0\)
  • \(1^{\pm\infty}\)

Nella prossima lezione vedremo come risolvere alcuni limiti che presentano forme indeterminate.