Grafico interattivo per serie armoniche, geometrichearmoniche a segni alterni

I seguenti grafici interattivi vi permetteranno di toccare con mano quanto abbiamo detto relativamente alle serie armoniche e geometriche nelle lezioni precedenti. 

Un paio di dritte su come usare i grafici:

  • per cambiare il valore di un parametro cliccate sui tasti "indice" "esponente" o "base" e inserite un numero cliccando sulle cifre e infine premendo il tasto "=" per confermare. In caso di errori, cancellate col tasto "DEL";
  • evitare indici troppo grandi, soprattutto nelle serie geometriche (perché?);
  • in alcuni i casi i termini generali daranno risultato 0, questo accade perché si è scelto di approssimare i numeri fino alla terza cifra decimale per ridurre fastidiose sovrapposizioni di numeri;
  • fate degli screenshot dei grafici ottenuti con parametri diversi e valutate cosa succede per piccole variazioni dei parametri.

Serie armoniche

Ricordiamo che una serie armonica generalizzata ha la forma $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}=1+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}+\ldots+\frac{1}{n^\alpha}+\ldots$$Nel seguente grafico sono rappresentati i termini della serie armonica e le sue somme parziali (di default abbiamo \(10\) termini e esponente \(\alpha=1\)). Provate a vedere cosa succede aumentando il numero di termini, provando vari valori di \(\alpha\)  (ad esempio \(2,1/2,0,-1\)). 

L'applicazione dovrebbe aiutarvi a convincerci che la serie converge se e solo se \(\alpha>1\)!

Serie geometriche
 
Le serie geometriche sono del tipo $$\sum_{n=0}^{+\infty}x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots$$Proponiamo di default ancora \(10\) termini e base \(x=1/2\). Anche qui, provate a modificare indice e base, per quest'ultima suggeriamo i valori \(2,1,0,-1/2,-1,-2\). Cercate conferma del fatto che la serie converga se e solo se \(-1<x<1\)! 
Serie armoniche alternate

Le serie armoniche generalizzate sono date da $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}=1-\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}-\ldots+\frac{1}{n^\alpha}+\ldots$$Modificate l'esponente \(\alpha\) e valutate il comportamento quando esso è positivo, nullo o negativo. Quand'è che la serie converge?