definizione e caratteristiche; iperbole equilateraesercizi

 

In natura possiamo trovare esempi di iperboli osservando la luce che proviene da una torcia, le traiettorie di alcune comete e persino le torri di raffreddamento delle centrali nucleari. Come per l'ellisse anche per la definizione di iperbole abbiamo bisogno di due fuochi e di un numero reale \(k\), stavolta minore di \(F_1F_2\).

Definizione

Chiameremo iperbole il luogo dei punti per cui il modulo della differenza tra la distanza da \(P_1\) e quella da \(P_2\) vale \(k\): per maggiore chiarezza riscriviamo questa condizione in formula

$$|PF_1-PF_2|=k.$$Analogamente a quanto visto per l'ellisse, lo stesso discorso relativo a centro ed assi di simmetria può essere applicato anche all'iperbole, sostituendo però i termini asse maggiore/minore con asse traverso/non traverso. Possiamo inoltre trovare altre similitudini tra ellisse e iperbole nell'equazione di quest'ultima
$$\begin{align*}
\left.
\begin{array}{ll}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 &
\text{iperbole con asse traverso orizzontale}\\
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1  &
\text{iperbole con asse traverso verticale}
\end{array}
\right.
\end{align*}$$e nelle formule dei fuochi e dell'eccentricità:

$$\begin{align*}
\left.
\begin{array}{ll}
c=\sqrt{a^2+b^2}\\
F_1=(-c,0),F_2=(c,0), e=\frac{c}{a} &
\text{iperbole con asse traverso orizzontale}\\
F_1=(0,-c),F_2=(0,c), e=\frac{c}{b}  &
\text{iperbole con asse traverso verticale}
\end{array}
\right.
\end{align*}$$A differenza invece dell'ellisse però, l'iperbole possiede due asintoti, ovvero due rette a cui la curva si avvicina man mano che ci si allontana dal centro. Le equazioni degli asintoti, sempre nel caso di centro posto nell'origine, sono le seguenti:
$$y=\pm\frac{b}{a}x.$$ Il seguente grafico sintetizza quanto detto finora riguardo le iperboli.

Iperbole equilatera

Studiamo ora il caso particolare dell'iperbole equilatera, ovvero quella per cui vale \(a=b\): semplificando, gli asintoti risultano essere le rette \(y=\pm x\), ovvero le bisettrici dei quattro quadranti. Essendo tali rette ortogonali tra loro, esse possono essere usate per costruire un nuovo sistema di assi cartesiani, che risulterà ruotato di \(45^\circ\) rispetto a quello di partenza.

Vediamo più nel dettaglio come effettuare il cambio di sistema di riferimento:
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=\pm1 \Rightarrow x^2-y^2=\pm a^2 \Rightarrow \underbrace{(x-y)}_{u}\underbrace{(x+y)}_{v}=\pm a^2\Rightarrow uv=\pm a^2.$$Il nuovo asse \(u\) ha equazione \(v=0\), ovvero
$$v=0\Rightarrow x+y=0\Rightarrow y=-x$$quindi è proprio uno dei due asintoti dell'iperbole di partenza. La stessa verifica può essere fatta per l'asse \(v\), che sarà descritto dall'equazione \(y=x\).
Nota bene: quando nelle applicazioni o negli esercizi adoperiamo solo il sistema di coordinate dato dagli asintoti, rinomineremo le coordinate \(u,v\) come \(x,y\). L'equazione dell'iperbole riferita ai propri asintoti diventa quindi
$$xy=k,$$nota ai più come legge della proporzionalità inversa.
Terminiamo la trattazione delle iperboli adattando tutte le formule introdotte finora al caso in cui il centro passi dall'origine a un generico punto \(C=(\alpha,\beta)\):
$$\begin{align*}
\left.
\begin{array}{ll}
\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=\pm1 & \text{equazione iperbole} \\
y-\beta=\pm\frac{b}{a}(x-\alpha) & \text{equazione asintoti} \\
(x-\alpha')(y-\beta')=k & \text{iperbole equilatera riferita agli asintoti}
\end{array}
\right.
\end{align*}$$NOTA BENE: nell'ultima equazione abbiamo messo degli apici nelle coordinate del centro per indicare che tipicamente tali coordinate nel nuovo sistema di riferimento ruotato non coincidono con quelle iniziali \(\alpha,\beta\).

Esercizio
Determinare l'equazione dell'iperbole centrata nell'origine, avente i fuochi sull'asse delle ascisse e passante per i punti \(P=(1,1)\) e \(Q=(3,5)\).

Risoluzione:
Poiché l'asse traverso è orizzontale, sappiamo che l'equazione dell'iperbole avrà la forma \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\). Imponiamo ora il passaggio per \(P\) e \(Q\) sostituendo le loro coordinate nell'equazione dell'iperbole:
$$\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1 \\
\frac{9}{a^2}-\frac{25}{b^2}=1
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
b^2-a^2=a^2b^2 \\
9b^2-25a^2=a^2b^2
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
b^2-a^2=a^2b^2 \\
b^2-a^2=9b^2-25a^2
\end{array}
\right. \\
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
b^2-a^2=a^2b^2 \\
b^2=3a^2 
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
2a^2=3a^4 \\
b^2=3a^2 
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
a^2=\frac{2}{3} \\
b^2=2. 
\end{array}
\right.
\end{align*}$$L'iperbole avrà quindi equazione 

$$\frac{x^2}{\frac{2}{3}}-\frac{y^2}{2}=1$$e il suo grafico sarà quello riportato qui sotto.