Radiantiseno coseno; angoli notevoli; tangentefunzioni inverseformule utili

 

 

Nel calcio, il dischetto da cui si batte il calcio di rigore si trova a circa \(11\) metri dalla linea di porta. Se un calciatore tira un rigore con un angolo di \(30^\circ\) alla velocità media di circa \(100\)km/h, quanto tempo ha il portiere per raggiungere il pallone?

Il quesito appena proposto è molto utile a introdurre la trigonometria con un esempio pratico. Osserviamo che la traiettoria del tiro dell'attaccante può essere immaginata come l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente cateto maggiore di misura \(11\), inoltre l'angolo compreso tra tale cateto e l'ipotenusa misura \(30^\circ\): ci servirebbe quindi una relazione che permetta di determinare l'ipotenusa a partire da questi dati. La trigonometria fa proprio questo, infatti avremo la relazione
$$AB=AC\cos\alpha \Rightarrow AC=\frac{AB}{\cos\alpha}=\frac{11}{\cos 30}\approx12.7.$$A questo punto, prendendo dalla fisica la legge del moto rettilineo uniforme, calcoliamo il tempo che impiega il pallone per raggiungere la porta:
$$t=\frac{s}{v}\approx 0.46.$$Il portiere ha quindi circa mezzo secondo per effettuare la parata, ancora meno se consideriamo il tempo di reazione. Naturalmente un problema di questo tipo richiederebbe uno studio fisico molto più dettagliato, ma rimane comunque un valido esempio di applicazione della trigonometria a una situazione molto comune.

Angoli in radianti 

Addentriamoci adesso nello studio della trigonometria, definendo per prima cosa l'unità di misura detta "radiante" per misurare gli angoli. Per cominciare, introduciamo la cosiddetta circonferenza goniometria, ossia la circonferenza di raggio unitario e centro nell'origine. Richiamando quanto detto nella lezione sulle circonferenze, l'equazione che descrive la circonferenza goniometria sarà
$$X^2+Y^2=1.$$Per costruire un angolo ci servono ora due semirette: per convenzione, la prima sarà sempre il semiasse positivo delle ascisse, mentre come seconda si può prendere una qualsiasi semiretta uscente dall'origine. Detti rispettivamente \(A\) e \(P\) i punti di intersezione di ciascuna semiretta con la circonferenza, possiamo individuare sia un angolo \(\alpha\) in \(O\), che tipicamente verrà misurato in gradi, sia un arco \(\widehat{AP}\) sulla circonferenza. La misura in radianti di \(\alpha\) è, per definizione, il rapporto tra la lunghezza dell'arco \(\widehat{AP}\) e la misura del raggio della circonferenza.

Aver definito i radianti come rapporto di due lunghezze ci permette di osservare come esso sia una grandezza adimensionale; inoltre, poiché abbiamo scelto di lavorare con una circonferenza di raggio unitario, la misura in radianti di un angolo coincide a livello numerico con la lunghezza dell'arco associato. Notando infine che angoli e archi associati sono direttamente proporzionali, e che all'angolo giro corrisponde l'intera circonferenza, otteniamo la proporzione
$$\alpha:x=360:2\pi R.$$
Infine, ricordando nuovamente che per la circonferenza goniometrica vale \(R=1\), è immediato ricavare le formule che permettono di passare da gradi e radianti e viceversa:
$$x=\frac{2\pi \alpha}{360}, \hspace{50pt} \alpha= \frac{360x}{2\pi}.$$Per convenzione, diremo che la misura di un angolo è positiva se la semiretta \(OP\) è stata ottenuta ruotando la semiretta \(OA\) in senso antiorario, mentre nel caso contrario attribuiremo all'angolo una misura negativa. 

Per capire meglio questa convenzione, possiamo immaginare che la circonferenza goniometrica sia una scala a chiocciola vista dall'alto: quando ci muoviamo in senso antiorario stiamo salendo verso i piani superiori (angolo positivo) mentre se ci muoviamo in senso orario andiamo verso i piani sotterranei (angolo negativo).

In questa introduzione, abbiamo dato ai simboli \(\alpha\) e \(x\) due significati diversi, legati all'unità di misura scelta. Nei paragrafi successivi invece entrambe le scritture potranno indicare indifferentemente sia gradi che radianti, in base a cosa ci sarà più comodo usare (tipicamente useremo i radianti in analisi e algebra, mentre preferiremo i gradi per i problemi di geometria).

Seno e coseno: definizione e proprietà

Ora che abbiamo descritto gli angoli, possiamo occuparci delle funzioni ad essi associati, a cominciare da seno e coseno. Considerato nel piano cartesiano un angolo \(\alpha\) e detto \(P=(X,Y)\) il punto da esso identificato sulla circonferenza goniometrica, chiameremo coseno e seno di \(\alpha\) rispettivamente l'ascissa e l'ordinata di \(P\), ovvero
$$\cos\alpha= X, \hspace{50pt} \sin\alpha= Y.$$

A partire dalla costruzione geometrica di seno e coseno, possiamo ricavare facilmente alcune caratteristiche fondamentali di tali funzioni:

  • applicando il teorema di Pitagora al triangolo \(OAP\) otteniamo l'identità fondamentale della trigonometria, ovvero
    $$X^2+Y^2=1\Rightarrow \cos^2\alpha+\sin^2\alpha =1, \forall\alpha\in\mathbb{R};$$
  • aggiungendo a un angolo un multiplo dell'angolo giro, il punto \(P\) individuato sulla circonferenza è lo stesso, pertanto i valori di seno e coseno non cambiano. In formula scriveremo
    $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha \\
    \sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha
    \end{array}
    \right.
    \hspace{30pt}\forall\alpha\in\mathbb{R}, \forall k\in\mathbb{Z},
    \end{align*}$$dove il parametro \(k\) rappresenta il numero di giri completi compiuti. La proprietà appena descritta prende il nome di periodicità e \(2\pi\) viene anche detto periodo di seno e coseno;
  • poiché coseno e seno sono le coordinate di un punto sulla circonferenza di raggio unitario, i loro valori sono necessariamente compresi tra \(-1\) e \(1\) (estremi inclusi), ovvero
    $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    -1\leq \cos\alpha\leq 1 \\
    -1\leq \sin\alpha \leq 1
    \end{array}
    \right.
    \hspace{30pt}\forall\alpha\in\mathbb{R}.
    \end{align*}$$Questa proprietà si può anche esprimere dicendo che seno e coseno sono funzioni limitate.

Possiamo ottenere altre proprietà estremamente utili osservando alcune simmetrie. 

  • angoli opposti \(\alpha\) e \(-\alpha\): in questo caso i due angoli individuano sulla circonferenza goniometrica due punti simmetrici rispetto all'asse \(X\). Deduciamo quindi che
    $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \cos(-\alpha)=\cos\alpha \\
    \sin(-\alpha)=-\sin\alpha.
    \end{array}
    \right.
    \hspace{30pt}\forall\alpha\in\mathbb{R}.
    \end{align*}$$
  • angoli supplementari \(\alpha\) e \(\pi-\alpha\): in questo caso i punti associati agli angoli sono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate. Otteniamo quindi le relazioni
    $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha \\
    \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha.
    \end{array}
    \right.
    \hspace{30pt}\forall\alpha\in\mathbb{R}.
    \end{align*}$$
  • angoli la cui differenza è l'angolo piatto (opposti rispetto all'origine) \(\alpha\) e \(\pi+\alpha\): in questo caso troviamo punti simmetrici rispetto all'origine e pertanto
    $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha \\
    \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha.
    \end{array}
    \right.
    \hspace{30pt}\forall\alpha\in\mathbb{R}.
    \end{align*}$$

Angoli notevoli e grafici

Grazie alle osservazioni appena fatte capiamo che, per conoscere l'andamento delle funzioni seno e coseno, è sufficiente studiare cosa avviene nel I quadrante e poi estendere i risultati ottenuti a tutta la circonferenza goniometrica con le opportune simmetrie. Nello specifico, ci occuperemo ora di determinare i valori di coseno e seno per gli angoli notevoli \(0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\).

  • angolo \(\alpha=0\): in questo caso è immediato notare che il punto \(P\) individuato da \(\alpha\) sulla circonferenza ha coordinate \((1,0)\) e pertanto avremo $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \cos0=1 \\
    \sin0=0
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}$$
  • angolo \(\alpha=\frac{\pi}{6}\): per determinare coseno e seno conviene disegnare il triangolo \(OPH\), dove \(H\) è la proiezione di \(P\) sull'asse \(x\). Otterremo un triangolo rettangolo con gli angoli acuti rispettivamente di \(30^\circ\) e \(60^\circ\), inoltre se chiamiamo \(Q\) il punto simmetrico a \(P\) rispetto all'asse delle ascisse, avremo costruito un triangolo \(OPQ\) equilatero, di lato unitario. Arrivati a questo punto è facile accorgersi che \(PH=\frac{PQ}{2}=\frac{1}{2}\) e infine, grazie al teorema di Pitagora, avremo
    $$OH=\sqrt{OP^2-PH^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$Possiamo riassumere il tutto dicendo che $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \displaystyle{\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}} \\
    \displaystyle{\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.}
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}$$
  • angolo \(\alpha=\frac{\pi}{4}\): procediamo in modo simile a quanto fatto prima, questa volta però notando che il triangolo \(OPH\) è metà di un quadrato. Ricordando la relazione che lega lato e diagonale, ovvero \(d=l\sqrt{2}\), e razionalizzando, otteniamo $$l=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
    Riassumendo si ha che $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \displaystyle{\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
    \displaystyle{\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.}
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}$$
  • angolo \(\alpha=\frac{\pi}{3}\): la situazione è del tutto simmetrica a quella già analizzata per \(\frac{\pi}{6}\), pertanto ci limitiamo a riportare la costruzione grafica.
    I valori di seno e coseno risulteranno "scambiati", ovvero $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \displaystyle{\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}} \\
    \displaystyle{\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.}
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}$$
  • angolo \(\alpha=\frac{\pi}{2}\): in questo caso punto \(P\)  ha coordinate \((0,1)\) e pertanto avremo $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    {\cos\frac{\pi}{2}=0} \\
    {\sin\frac{\pi}{2}=1}
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}$$

Come si diceva nei paragrafi precedenti, una volta noto il comportamento di coseno e seno nel primo quadrante, esso può essere esteso per simmetria all'intero intervallo \([0,2\pi]\) e successivamente, per periodicità, a tutto \(\mathbb{R}\). Grazie agli angoli notevoli appena analizzati, ricaviamo i grafici da \(0\) a \(\frac{\pi}{2}\):

usando gli archi associati possiamo estendere i grafici a \(2\pi\)... 

infine, per periodicità, possiamo prolungare i grafici a piacimento.

Può essere suggestivo vedere la costruzione dei grafici di seno e coseno con un'animazione, che riportiamo nell'iframe sottostante.

La funzione tangente 

All'inizio di questa lezione, per introdurre le funzioni goniometriche, avevamo usato il fatto che in un triangolo rettangolo il coseno di un angolo è dato dal rapporto tra la misura del cateto adiacente all'angolo e misura dell'ipotenusa. Se vogliamo invece stabilire una relazione tra i due cateti del triangolo sarà necessario usare una nuova funzione, che prende il nome di funzione tangente. A livello grafico, la tangente di un angolo \(\alpha\) è l'ordinata del punto \(Q\) ottenuto intersecando la semiretta \(OP\) con la retta verticale \(x=1\).

A livello algebrico, possiamo calcolare il valore della tangente osservando che, chiamando rispettivamente \(H\) e \(K\) le proiezioni di \(P\) e \(Q\) sull'asse delle ascisse, si ottengono due triangoli simili \(OPH\) e \(OQK\).

Per similitudine, è possibile stabilire una proporzione tra i cateti dei due triangoli in questione:
$$OH:OK=PH:QK \Rightarrow \cos\alpha :1=\sin\alpha:\tan\alpha \Rightarrow \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$Osserviamo che, avendo definito la tangente per mezzo di una frazione, è necessario imporre la condizione che il denominatore non si annulli: $$\cos\alpha\neq 0\Rightarrow \alpha\neq \frac{\pi}{2}+k\pi.$$Questa condizione ha un significato anche geometrico, infatti ponendo ad esempio \(\alpha= \frac{\pi}{2}\) otteniamo una semiretta \(OP\) verticale e che pertanto non potrà intersecare la retta \(x=1\).

NOTA BENE: un errore classico che viene commesso quando si vuole rappresentare la tangente di angoli ottusi, consiste nel voler ragionare per simmetria intersecando la semiretta \(OP\) con la retta \(x=-1\). Per evitare equivoci di questo tipo presentiamo un grafico che illustra come trovare la tangente di angoli appartenenti a quadranti diversi dal I, ribadendo che la tangente si trova sempre considerando la retta \(x=1\), a prescindere dalla posizione dell'angolo che stiamo studiando.

Occupiamoci ora di elencare le principali proprietà della funzione tangente, la maggior parte delle quali può comunque essere dedotta a partire dalle proprietà di coseno e seno.

  • la funzione tangente è periodica, ma il suo periodo è \(\pi\). In formula scriveremo:
    $$
    \tan(\alpha+k\pi)=\tan\alpha
    \hspace{30pt}\forall\alpha\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \forall k\in\mathbb{Z}.$$Per una spiegazione grafica si veda la seconda circonferenza della figura appena precedente;
  • la funzione tangente NON è limitata, ovvero può assumere valori arbitrariamente grandi o piccoli. Il seguente grafico ci mostra infatti che la tangente aumenta illimitatamente al tendere di \(\alpha\) all'angolo retto. La medesima osservazione può essere fatta per angoli negativi;
  • archi associati: aiutandoci col grafico che mostrava il comportamento della tangente nei vari quadranti, oppure usando le simmetrie di coseno e seno, ricaviamo facilmente le uguaglianze
    $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \tan(-\alpha)=-\tan\alpha \\
    \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha 
    \end{array}
    \right.
    \hspace{30pt}\forall\alpha\neq \frac{\pi}{2}+k\pi.
    \end{align*}$$

Infine, usando le proprietà appena descritte e aiutandoci coi valori di coseno e seno già trovati, possiamo ricavare il grafico della tangente:

Funzioni inverse

Finora abbiamo sempre affrontato situazioni in cui a partire da un angolo determinavamo (per via grafica o per via analitica) i valori delle funzioni goniometriche. Potrebbe però capitarci il problema inverso, come ad esempio nella seguente situazione.

Problema: piantiamo nel terreno un palo di lunghezza \(h=1\)m e osserviamo che la sua ombra è lunga \(l=80\)cm: con quale angolo arrivano i raggi del Sole?

La situazione è quella presentata in figura:

Come possiamo vedere, il problema richiede il calcolo dell'angolo di un triangolo rettangolo, a partire dal valore dei suoi cateti. Ricordando che la funzione tangente di \(\alpha\) rappresenta il rapporto tra la misura del cateto opposto ad \(\alpha\) e  quella del cateto adiacente, otteniamo$$\tan\alpha=\frac{l}{h}=\frac{0.8}{1}=0.8.$$Sfortunatamente però, nessuno degli angoli notevoli che abbiamo studiato ha tangente pari a \(0.8\), pertanto per risolvere il quesito ci limiteremo a dire che l'angolo formato dai raggi del Sole è quell'angolo la cui tangente vale \(0.8\). In termini matematici, chiameremo allora \(\alpha\) col nome "arcotangente di \(0.8\)", e scriveremo $$\alpha=\arctan 0.8(\approx 39^\circ).$$

N.B: non ci deve sorprendere il fatto che la funzione inversa per calcolare gli angoli si chiami "arcotangente" invece che "angolotangente" in quanto, come detto in precedenza, il radiante è un'unità di misura angolare riferita alla lunghezza degli archi associati agli angoli.

Occupiamoci ora più in dettaglio di studiare le caratteristiche delle funzioni goniometriche inverse, a partire dalla funzione arcoseno. Analogamente a quanto detto per l'arcotangente, la funzione arcoseno prende un numero \(x\) e ad esso associa quell'angolo (o arco) il cui seno vale \(x\). Notiamo però che questa definizione lascia spazio alle seguenti ambiguità:

  • supponiamo ad esempio \(x=0.3\): se intersechiamo la circonferenza goniometrica con la retta orizzontale \(Y=3\) troviamo due punti che individuano due angoli diversi aventi entrambi seno pari a \(0.3\).

    Inoltre, per periodicità, se partiamo da uno dei due angoli appena trovati e compiamo un numero intero di giri, troveremo ulteriori angoli il cui seno vale ancora \(0.3\). La cosa può essere vista in modo ancor più chiaro se guardiamo il grafico della funzione seno: appare evidente che troveremo infiniti angoli il cui seno è \(0.3\).
    Per ovviare a questa ambiguità abbiamo bisogno di un criterio oggettivo che permetta di selezionare un unico angolo tra tutti quelli trovati. Se restringiamo la nostra ricerca all'intervallo \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), per esempio, troviamo un unico angolo che soddisfa la nostra richiesta e, per convenzione, daremo a lui il ruolo di "arcoseno di \(0.3\)".
    Con riferimento alle figure precedenti relative al valore \(0.3\), l'angolo prescelto è quello denotato col simbolo \(\alpha_2\). Ricapitolando, possiamo "aggiustare" la definizione di arcoseno dicendo che l'arcoseno di \(x\) è quell'angolo, compreso tra \(-\frac{\pi}{2}\) e \(\frac{\pi}{2}\), il cui seno vale \(x\). Con la prossima figura, mostriamo come, a partire da \(\arcsen 0.3\), possiamo definire anche tutti gli altri angoli che avevano seno pari a \(0.3\).
  • il secondo problema relativo alla funzione arcoseno si verifica quando il numero di partenza \(x\) non appartiene all'intervallo \([-1,1]\): in questo caso non ci sarà nessun angolo il cui seno vale \(x\). In casi come questo c'è poco da fare, dobbiamo semplicemente imporre la condizione \(x\in[-1,1]\) prima di applicare la funzione inversa.

Considerazioni molto simili, che lasciamo allo studente, possono essere fatte per le funzioni arcocoseno e arcotangente, con l'unico accorgimento di lavorare sull'intervallo \([0,\pi]\) per definire l'arcocoseno e sull'intervallo \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) per l'arcotangente. Di seguito riportiamo a titolo di esempio la costruzione dei valori \(\arccos 0.3\) e \(\arctan 2\):

Terminiamo questa trattazione riportando i grafici delle tre funzioni goniometriche inverse: tali grafici vengono ottenuti a partire da quelli delle restrizioni attraverso una simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante (per affrondire, rimandiamo alla lezione sulle funzioni reali).

Formule utili

  • addizione: $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \sin(x+y)=\sin x\cos y+\sin y\cos x \\
    \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y \\
    \tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} 
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}$$
  • sottrazione: $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \sin(x-y)=\sin x\cos y-\sin y\cos x \\
    \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y \\
    \tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1-\tan x\tan y} 
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}$$
  • duplicazione: $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \sin(2x)=2\sin x\cos y \\
    \cos(2x)=\cos^2x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x \\
    \tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x} 
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}$$
  • bisezione: $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \sin^2(\frac{x}{2})=\frac{1-\cos x}{2} \\
    \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+\cos x}{2} \\
    \tan^2(\frac{x}{2})=\frac{1-\cos x}{1+\cos x} 
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}$$
  • parametriche:$$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \sin x=\frac{2t}{1+t^2} \\
    \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\
    \tan x=\frac{2t}{1-t^2} 
    \end{array}
    \right. \hspace{30pt} \text{dove } t=\tan(\frac{x}{2})
    \end{align*}$$
  • prostaferesi:  $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \sin x + \sin y=2\sin (\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \\
    \sin x -\sin y=2\cos(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) \\
    \cos x +\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \\
    \cos x - \cos y=-2\sin (\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) 
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}$$
  • werner: $$\begin{align*}
    \left.
    \begin{array}{l}
    \sin x\cos y=\frac{1}{2}[\sin (x+y)+\sin(x-y)] \\
    \cos x\cos y=\frac{1}{2}[\cos(x+y)+\cos(x-y)] \\
    \sin x\sin y=-\frac{1}{2}[\cos(x+y)-\cos(x-y)] \\
    \cos x\sin y=\frac{1}{2}[\sin (x+y)-\sin(x-y)]
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}$$