Potenze con esponente naturalerazionalereale 

L'elevamento a potenza è una delle prime operazioni che impariamo a svolgere a scuola, data l'importanza che riveste nel mondo scientifico: pensiamo al calcolo dell'area di un quadrato o del volume di un cubo, o al teorema di Pitagora, o ancora al calcolo dell'energia cinetica di un corpo... in tutti questi casi vengono usate le potenze.

Potenze con esponente naturale

A titolo di ripasso ricordiamo che dato un numero reale \(x\) e un numero naturale \(n\), il numero \(x^n\) è definito come

$$x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{\text{$n$ volte}}.$$Per definizione si pone \(x^0=1, \forall x\neq 0\): questa convenzione può essere più facilmente compresa immaginando di riscrivere la definizione precedente come \(x^n=1\cdot x\cdot x\cdot\ldots\cdot x\) e notando che con tale accorgimento \(x^0\) significa che \(1\) non viene moltiplicato per alcuna \(x\) (e pertanto resta invariato). L'espressione \(0^0\) invece è priva di significato (verrà ripresa nella trattazione dei limiti).

Applicando le definizioni appena date, non è difficile dimostrare le seguenti proprietà delle potenze:

  1. \(1^n=1, \forall n\in\mathbb{N}\)
  2. \(x^1=x, \forall x\in\mathbb{R}\)
  3. \(0^n =0,\forall n\in\mathbb{N}^+\)
  4. \(x^nx^m=x^{n+m}, \forall x\in\mathbb{R},\forall n,m\in\mathbb{N}\)
  5. \(\frac{x^n}{x^m}=x^{n-m}, \forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\forall n,m\in\mathbb{N}\)
  6. \((x^n)^m=x^{nm}, \forall x\in\mathbb{R},\forall n,m\in\mathbb{N}\)
  7. \(x^ny^n=(xy)^n, \forall x,y\in\mathbb{R},\forall n\in\mathbb{N}\)
  8. \(\frac{x^n}{y^n}=\left(\frac{x}{y}\right)^n, \forall x\in\mathbb{R}, \forall y\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\forall n\in\mathbb{N}\).

Potenze con esponente razionale

Osserviamo come applicando la quinta proprietà si possa presentare il caso di una potenza con esponente negativo. Aiutiamoci con un esempio:
$$\frac{x^2}{x^5}=x^{2-5}=x^{-3}.$$D'altro canto è anche vero che
$$\frac{x^2}{x^5}=\frac{x\cdot x}{x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}=\frac{1}{x^3},$$quindi appare naturale definire \(x^{-3}\) come \(\frac{1}{x^3}\) e più in generale
$$x^{-n}:=\frac{1}{x^n},\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\forall n\in\mathbb{N}.$$Vediamo adesso come la sesta proprietà ci possa aiutare a definire le potenze con esponente frazionario:
$$\left(x^\frac{1}{3}\right)^3=x^{\frac{1}{3}\cdot 3}=x^1=x.$$Elevando \(x^\frac{1}{3}\) alla terza abbiamo ottenuto \(x\), ma quel numero che elevato alla terza diventa \(x\) altri non è se non la radice cubica di \(x\), da cui concludiamo che \(x^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{x}\). Applicando il medesimo ragionamento definiamo allora
$$x^\frac{1}{n}:=\sqrt[n]{x}.$$NOTA BENE: il calcolo delle radici non è sempre possibile in \(\mathbb{R}\), come ad esempio accade quando proviamo a determinare la radice quadrata di un numero negativo. Per questo motivo, quando l'indice della radice è pari, richiederemo che il radicando \(x\) sia non negativo. Inoltre, sempre quando \(n\) è pari, si ha che ogni numero positivo \(x\) ha due potenziali radici distinte (ad esempio, \(\pm2\) sarebbero entrambe potenziali radici quadrate di \(4\)) e pertanto, per evitare ambiguità, imponiamo per convenzione che le scritture \(\sqrt[n]{x}\) e \(x^\frac{1}{n}\) si riferiscano solo alla radice di segno positivo.

Attraverso le definizioni appena illustrate e l'uso delle proprietà delle potenze, possiamo inoltre definire potenze aventi come esponente un numero razionale qualsiasi:

$$x^\frac{p}{q}:=\sqrt[q]{x^p}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^p,$$dove \(p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\). Per essere sicuri che l'espressione abbia significato per ogni scelta di \(p\) e \(q\), richiederemo che \(x\) sia un numero strettamente positivo. Nel seguente grafico mostriamo il comportamento della funzione potenza con vari esponenti diversi.

Qualora il grafico appena mostrato risultasse poco chiaro, ne proponiamo un altro dove focalizziamo la nostra attenzione su ciò che accade nel primo quadrante. Per esponenti positivi abbiamo

mentre per esponenti negativi la situazione sarà la seguente:

Per vedere in tempo reale come si deforma il grafico di una potenza al variare dell'esponente, potete usare questo grafico interattivo: trascinando il cerchietto rosso sulla barra denominata "esponente" potete osservare come si modifica il grafico delle potenze in funzione dell'esponente \(\alpha\).

 

Potenze con esponente reale

Infine, senza scendere nei dettagli, ricordiamo che la definizione di potenza può essere estesa ad ogni esponente reale sfruttando il fatto che ogni numero reale può essere approssimato con numeri razionali. Ad esempio il numero \(2^\pi\) può essere determinato tramite la successione di valori
$$2^3; 2^{3.1}; 2^{3.14}; 2^{3.141}; 2^{3.1415}\ldots \rightarrow 2^\pi.$$