definizioneproprietà

 

Il valore assoluto è uno dei concetti fondamentali della matematica che crea più confusione negli studenti. Introduciamolo per mezzo di un esempio: due concorrenti di un gioco a premi devono indovinare l'età di un signore scelto a caso dal pubblico. Secondo il concorrente A il signore ha \(45\) anni mentre per B l'età corretta è \(49\) anni. Il signore del pubblico rivela successivamente di avere \(47\) anni, dunque gli errori compiuti dai due concorrenti valgono rispettivamente \(e_1=-2\) e \(e_2=+2\) anni. Il conduttore della trasmissione dichiara che entrambi i concorrenti hanno sbagliato di \(2\) anni e che pertanto la prova è terminata con un pareggio. Quello che (probabilmente senza saperlo) ha fatto il conduttore, è stato di considerare i due errori in valore assoluto, ovvero ne ha misurato la precisione calcolando la distanza di ciascun errore dallo \(0\). Siccome sia \(e_1\) che \(e_2\) hanno distanza pari a \(2\) da \(0\), ha senso far terminare la sfida in un pareggio.

Definizione

Il valore assoluto è quindi un'operazione che descrive la "grandezza" di un numero \(x\) intesa come la lunghezza del segmento che va da \(x\) a \(0\). Tradurre il tutto per mezzo di una definizione formale e sintetica non è però banale, infatti siamo costretti a ricorrere alla seguente definizione per casi:
$$|x|:=\left\{
\begin{array}{ll}
x & \text{se \(x\geq 0\)} \\
-x & \text{se \(x< 0\)}.
\end{array}
\right.$$Il valore assoluto è pertanto un'operazione che lascia invariati numeri positivi o nulli e cambia di segno (moltiplicando per \(-1\)) i numeri negativi. Vediamo ora qualche esempio: banalmente osserviamo che

  • \(|3|=3\) in quanto \(3\geq 0\);
  • \(|-3|=-(-3)\) in quanto \(-3<0\);
  • \(|0|=0\) in quanto \(0\geq 0\).

Analizziamo adesso alcune situazioni un po' più particolari.

  • \(|1-\sqrt{2}|\): l'errore classico che si compie in casi come questo consiste nel calcolare separatamente i valori assoluti dei due addendi, ottenendo \(1+\sqrt{2}\). Il ragionamento corretto da seguire invece è il seguente
    $$|\underbrace{1-\sqrt{2}}_{x<0}|=\underbrace{-(1-\sqrt{2})}_{-x}=\sqrt{2}-1.$$
  • \(|x^2|=x^2\): tenendo presente che \(x^2\geq 0 \forall x\in\mathbb{R}\), saremo sempre nel primo caso della definizione di valore assoluto.
  • \(|2x-1|\): in questo il caso il segno dell'espressione all'interno del valore assoluto dipende da \(x\). Ad esempio con \(x=0\) otteniamo \(-1\) (quindi caso \(2\)) mentre con \(x=1\) otteniamo \(1\) (caso \(1\)): in situazioni come queste è necessaria una discussione, in cui prendere in esame entrambe le possibilità. Scriveremo allora
    $$|2x-1|:=\left\{
    \begin{array}{ll}
    2x-1 & \text{se \(2x-1\geq 0\)} \\
    -(2x-1) & \text{se \(2x-1< 0\)}.
    \end{array}
    \right.\Rightarrow|2x-1|:=\left\{
    \begin{array}{ll}
    2x-1 & \text{se \(x\geq \frac{1}{2}\)} \\
    1-2x & \text{se \(x< \frac{1}{2}\)}.
    \end{array}
    \right.$$

Proprietà

Gli esempi appena presentati avevano lo scopo di farci prendere un po' di confidenza col concetto di valore assoluto. Cerchiamo ora di fare un passo avanti, aggiungendo al nostro ripasso le proprietà fondamentali e il grafico della funzione valore assoluto.

  • \(|x|\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\) e \(|x|=0 \iff x=0\);
  • \(|xy|=|x||y|, \forall x,y\in\mathbb{R}\);
  • \(|x+y|\leq |x|+|y|, \forall x,y\in\mathbb{R}\) (disuguaglianza triangolare).
    Per essere più specifici, vale il simbolo "\(=\)" quando \(x\) e \(y\) sono concordi e vale il simbolo "\(<\)" quando i numeri sono discordi.

Costruiamo ora il grafico della curva \(y=|x|\): seguendo la definizione di valore assoluto osserviamo che il grafico che cerchiamo sarà dato dal grafico di \(y=x\) per \(x\geq 0\), ovvero nel I e IV quadrante mentre per il II e il III dovremo considerare il grafico di \(y=-x\). Otteniamo pertanto un grafico dalla forma a "V" formato dall'unione delle semirette bisettrici al I quadrante e al II quadrante. A riprova di quanto abbiamo appena detto, possiamo notare che il grafico deve passare per i seguenti punti:

\(x\)

\(y\)

\(0\) \(0\)
\(1\) \(1\)
\(2\) \(2\)
\(3\) \(3\)
\(-1\) \(1\)
\(-2\) \(2\)
\(-3\) \(3\)

Un ulteriore metodo che avremmo potuto usare per determinare il grafico di \(y=|x|\) consiste nel disegnare il grafico di \(y=x\) e  specchiare rispetto all'asse delle ascisse la parte di grafico con ordinata negativa. Questo ragionamento in realtà si può estendere a tutti i grafici della forma \(y=|f(x)|\), come si può vedere nei grafici sottostanti.