unità immaginaria; forma cartesianaoperazioni; forma trigoniometricaradici

L'unità immaginaria 

I vettori sono uno strumento fondamentale nello studio della fisica: moltiplicando un vettore \(v\) per lo scalare \(-1\), si ottiene una rotazione del vettore di \(180^\circ\). Quale scalare, se esiste, corrisponde a una rotazione di \(90^\circ\)? 

Chiamiamo \(r\) lo scalare cercato e operiamo due rotazioni consecutive di \(90^\circ\) al vettore \(v\):$$v\stackrel{\text{I rotazione}}{\longrightarrow}r\cdot v \stackrel{\text{II rotazione}}{\longrightarrow}r\cdot (r\cdot v)=r^2\cdot v. $$

Per quanto detto prima, due rotazioni di \(90^\circ\) trasformano il vettore \(v\) in \(-v\), quindi otteniamo l'uguaglianza $$r^2\cdot v=-1\cdot v \Rightarrow r^2=-1.$$In \(\mathbb{R}\) non esistono soluzioni a questa equazione, in quanto \(x^2\geqslant 0, \forall x\in\mathbb{R}\). Per risolvere il problema posto a inizio lezione siamo allora costretti a uscire dall'insieme dei numeri reali e a definire un insieme più ampio, che verrà detto insieme dei numeri complessi \(\mathbb{C}\). Lo scalare che rappresenta la rotazione di \(90^\circ\) prenderà il nome di unità immaginaria e verrà indicato col simbolo \(i\).

Forma cartesiana

Più in generale, diciamo che un numero complesso è un numero della forma $$z=a+ib,$$dove \(a\) e \(b\) sono due numeri reali detti rispettivamente parte reale e parte immaginaria di \(z\). La parte reale di un numero complesso viene indicata in simboli con \(\text{Re}\,z\) o \(\Re z\), mentre per la parte immaginaria usiamo \(\text{Im}\,z\) o \(\Im z\). Poiché un numero complesso è identificato da una coppia di numeri reali, possiamo rappresentare l'insieme \(\mathbb{C}\) attraverso un piano cartesiano, usando la parte reale come ascissa e la parte immaginaria come ordinata.

  • L'asse delle ascisse è formato da tutti i punti con ordinata nulla (\(b=0\)), ovvero da quelli del tipo \(z=a\). In altre parole, l'asse reale corrisponde proprio all'insieme \(\mathbb{R}\).
  • Ponendo \(a=0,b=1\) si trova \(z=0+i\cdot 1=i\): notiamo quindi che il numero complesso \(i\) svolge sull'asse immaginario lo stesso ruolo di "unità di misura" che il numero \(1\) svolge sull'asse reale. Questa osservazione aiuta a capire come mai il numero \(i\) venga chiamato proprio unità immaginaria; la similitudine diventa ancora più evidente osservando che la forma generale dei numeri complessi può essere riscritta come \(z=1\cdot a+i\cdot b\). 
  • Poiché riferita a un sistema di assi cartesiani, l'espressione \(z=a+ib\) viene anche detta forma cartesiana del numero complesso \(z\).

Operazioni coi numeri complessi

Le operazioni elementari sono: addizione, sottrazione, moltiplicazione, coniugio, modulo e divisione. Mentre le prime tre sono di semplice comprensione, trattando i numeri complessi come binomi, per le ultime dovremo muoverci con un po' più di cautela. 

  • Somma: dati due numeri complessi \(z=a+ib\) e \(w=c+id\), il numero complesso \(z+w\) si ottiene sommando separatamente le parti reali e le parti immaginarie, esattamente come avviene per i polinomi: $$(a+ib)+(c+id)=\underbrace{(a+c)}_{\text{Re}\,(z+w)}+i\underbrace{(b+d)}_{\text{Im}\,(z+w)}.$$
  • Differenza: in modo del tutto analogo si può definire la differenza di numeri complessi: $$(a+ib)-(c+id)=\underbrace{(a-c)}_{\text{Re}\,(z-w)}+i\underbrace{(b-d)}_{\text{Im}\,(z-w)}.$$Per un'interpretazione grafica di somma e differenza tra numeri complessi, rimandiamo alla lezione sui vettori 
  • Moltiplicazione: anche il prodotto è di semplice definizione: $$(a+ib)(c+id)=ac+ibc+iad+\underbrace{i^2}_{-1}bd=\underbrace{(ac-bd)}_{\text{Re}\,(z\cdot w)}+i\underbrace{(bc+ad)}_{\text{Im}\,(z\cdot w)}.$$
  • Coniugio: quest'operazione coinvolge un singolo numero complesso anziché una coppia. Dato \(z=a+ib\), chiamiamo coniugato di \(z\) il numero $$\overline{z}=a-ib.$$ Graficamente, il coniugato si ottiene operando una simmetria rispetto all'asse delle ascisse.

    Notiamo che se \(b=0\), cioè \(z\in\mathbb{R}\), si ha \(\overline{z}=z\), il che spiega come mai l'operazione di coniugio non venga studiata in \(\mathbb{R}\).
  • Modulo: il modulo di un numero complesso è la radice del prodotto di tale numero col suo coniugato: $$|z|=\sqrt{z\cdot\overline{z}}=\sqrt{(a+ib)(a-ib)}=\sqrt{a^2-(ib)^2}=\sqrt{a^2+b^2}.$$La formula ottenuta è in realtà il teorema di Pitagora, quindi possiamo affermare che il modulo di un numero complesso rappresenta la lunghezza del vettore che lo identifica nel piano complesso. Osserviamo inoltre che se \(b=0\), allora \(|z|=\sqrt{a^2}\), che è un modo equivalente di definire il valore assoluto di un numero reale \(a\): ne segue che il concetto di modulo in \(\mathbb{C}\) è un'estensione del concetto di valore assoluto in \(\mathbb{R}\), motivo per cui entrambe le operazioni si indicano con lo stesso simbolo.
  • Divisione: abbiamo tenuto questa operazione per ultima perché per essere trattarla utilizzeremo le operazioni di coniugio e modulo. Potremmo infatti limitarci a dire che, dati due numeri \(z=a+ib\) e \(w=c+id\) (con \(w\neq 0\)), il loro quoziente è $$\frac{z}{w}=\frac{a+ib}{c+id}.$$Il problema di questa espressione è che non abbiamo messo in evidenza parte reale e parte immaginaria del quoziente, rendendoci impossibile la rappresentazione del risultato nel piano complesso e qualsiasi altro calcolo successivo. Proviamo allora a riscrivere l'espressione del quoziente in modo equivalente, moltiplicando sia numeratore che denominatore per \(\overline{w}\):$$\frac{z}{w}=\frac{z\cdot \overline{w}}{w\cdot \overline{w}}=\frac{z\cdot \overline{w}}{|w|^2}=\frac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}=\underbrace{\frac{ac+bd}{c^2+d^2}}_{\text{Re}\,\frac{z}{w}}+i\underbrace{\frac{bc-ad}{c^2+d^2}}_{\text{Im}\,\frac{z}{w}}. $$

Forma trigonometrica

Finora abbiamo sempre espresso i numeri complessi in forma cartesiana, ovvero esplicitando parte reale e parte immaginaria. Se usiamo un po' di trigonometria è immediato trovare un metodo alternativo per scrivere un qualunque numero complesso \(z\) non nullo: se denotiamo con \(\rho\) il modulo di \(z\) e con \(\theta\) l'argomento di \(z\), ovvero l'angolo formato dal vettore associato al numero complesso stesso e il semiasse positivo delle ascisse, possiamo riscrivere \(z\) per mezzo dei seguenti passaggi $$\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
a=\rho\cos\theta \\
b=\rho\sin\theta 
\end{array}
\right.
\Rightarrow z= \rho\cos\theta+i\rho\sin\theta =\rho(\cos\theta+i\sin\theta).
\end{align*}$$

L'espressione ottenuta alla fine si chiama forma trigonometrica del numero complesso \(z\). Dobbiamo però fare attenzione: a causa della periodicità delle funzioni trigonometriche, a un numero complesso \(z\) corrispondono infiniti argomenti (angoli), che differiscono l'uno dall'altro per un multiplo del periodo \(2\pi\). Tra tutti questi angoli, chiamiamo argomento principale di \(z\) l'unico che appartiene all'intervallo \(]-\pi,\pi]\), e lo indichiamo scrivendo \(\text{Arg}\, z\). L'insieme di tutti i possibili argomenti di \(z\) verrà invece indicato con \(\arg z\), ovvero $$\arg z=\{\text{Arg}\, z+2k\pi|k\in\mathbb{Z}\}.$$Nel paragrafo precedente abbiamo definito le operazioni tra numeri complessi, e siamo riusciti a dare un'interpretazione grafica di somma e sottrazione (richiamando il calcolo vettoriale), modulo e coniugo: la forma trigonometrica ci permetterà di dare un significato grafico anche a prodotto e quoziente. Siano ad esempio \(z=\rho_z(\cos\theta_z+i\sin\theta_z)\) e \(w=\rho_w(\cos\theta_w+i\sin\theta_w)\), ricordando la regola della moltiplicazione calcoliamo il prodotto \(z\cdot w\): $$\begin{align*}&\rho_z(\cos\theta_z+i\sin\theta_z)\cdot \rho_w(\cos\theta_w+i\sin\theta_w) \\ =&\rho_z\rho_w(\cos\theta_z\cos\theta_w-\sin\theta_z\sin\theta_w)+i(\sin\theta_z\cos\theta_w+\cos\theta_z\sin\theta_w)) \\ =&\rho_z\rho_w(\cos(\theta_z+\theta_w)+i\sin(\theta_z+\theta_w)).\end{align*}$$Abbiamo ottenuto che il prodotto tra due numeri complessi è un numero che ha come modulo il prodotto dei moduli dei fattori e come argomento la somma degli argomenti dei due fattori.

In modo simile (e pertanto non lo dimostriamo) si può verificare che il quoziente tra due numeri avrà il quoziente dei moduli come modulo, e la differenza degli argomenti come argomento, cioè $$\frac{z}{w}=\frac{\rho_z}{\rho_w}(\cos(\theta_z-\theta_w)+i\sin(\theta_z-\theta_w)).$$

All'inizio di questa lezione avevamo introdotto l'unità immaginaria \(i\) cercando uno scalare che avesse l'effetto di ruotare un vettore di \(90^\circ\): vediamo ora che questo è proprio ciò che succede quando moltiplico un numero complesso \(z\) per \(i\). Ricordando che nel piano complesso \(i\) corrisponde al punto \((0,1\), è facile convincerci che \(|i|=1\) e \(\text{Arg}\, i=\frac{\pi}{2}\). Il prodotto \(z\cdot i\) sarà quindi $$z\cdot i= \rho\cdot 1\cdot (\cos(\theta+\frac{\pi}{2})+i\sin(\theta+\frac{\pi}{2})),$$quindi avremo un vettore lunghezza invariata \(\rho\) ma ruotato di \(\frac{\pi}{2}\) rispetto all'inizio.

Prima di passare al calcolo delle radici, vediamo come la forma trigonometrica si comporta nel caso del coniugio e dell'elevamento a potenza.

  • Dato un numero complesso \(z\), il suo coniugato si trova per simmetria rispetto all'asse delle ascisse, ovvero cambiando segno all'argomento: $$\overline{z}=\rho(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)).$$
  • Elevare \(z\) al quadrato significa moltiplicarlo per sè stesso, di conseguenza il modulo verrà elevato alla seconda e l'argomento risulterà raddoppiato: $$z^2=\rho^2(\cos(2\theta)+i\sin(2\theta)).$$

    Più in generale, vale la formula di de Moivre: $$z^n=\rho^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)).$$

Il calcolo delle radici n-esime

Come sappiamo, il problema del calcolo delle radici è strettamente legato alle potenze ed è centrale nella risoluzione delle equazioni polinomiali. Ricordiamo che in \(\mathbb{R}\) il numero delle radici \(n\)-esime seguiva il seguente schema: $$\begin{align*}n \text{ dispari} &\Rightarrow 1\text{ radice} \\ 
n \text{ pari}, x>0 &\Rightarrow 2\text{ radici} \\
n \text{ pari}, x<0 &\Rightarrow \text{nessuna radice}
\end{align*}$$In \(\mathbb{C}\) invece ogni numero complesso non nullo avrà \(n\) radici \(n\)-esime distinte: per cominciare calcoliamo le radici cubiche di \(1\) e poi vedremo come generalizzare la procedura agli altri valori di \(n\) e \(z\).

Calcolare le radici cubiche dell'unità significa risolvere l'equazione  \(z^3=1\). In \(\mathbb{R}\) questa equazione ha come unica soluzione \(z=1\) ma vedremo tra poco come in \(\mathbb{C}\) ci siano altre due soluzioni non reali. Per cominciare riscriviamo l'equazione in forma trigonometria, osservando che il numero complesso \(1\) ha modulo unitario e argomento nullo: otteniamo quindi $$z^3=1\Rightarrow \rho^3(\cos(3\theta)+i\sin(3\theta))=1(\cos0+i\sin0).$$Affinché i due membri siano uguali è necessario che i moduli siano a loro volta uguali e che i due argomenti differiscano per un multiplo di \(2\pi\):$$\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\rho^3=1 \\
3\theta=0+2k\pi 
\end{array}
\right.
\Rightarrow 
\left\{
\begin{array}{l}
\rho=\sqrt[3]{1}=1 \\
\theta=\frac{2k\pi}{3},k\in\mathbb{Z}. 
\end{array}
\right.
\end{align*}$$A prima vista sembrerebbe di aver ottenuto infinite soluzioni, della forma $$z_k=\cos\left(\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right),$$tuttavia possiamo notare che tali soluzioni si ripetono periodicamente. Ad esempio abbiamo che $$z_0=\cos0+i\sin0=1 \\z_3=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1 $$e, più in generale, $$z_0=z_3=z_6=\ldots=1 \\ z_1=z_4=z_7=\ldots=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \\ z_2=z_5=z_8=\ldots =-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} $$In definitiva, possiamo concludere dicendo che l'unità ha tre radici cubiche, date da $$z_0=1 \\z_1=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \\z_2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ragionando in modo simile possiamo trovare le radici \(n\)-esime di un qualunque numero complesso non nullo \(w\). Come appena visto, è sufficiente scrivere l'equazione \(z^n=w\) in forma trigonometrica e $$ \rho_z^n(\cos(n\theta_z)+i\sin(n\theta_z))=\rho_w(\cos\theta_w+i\sin\theta_w)\Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
\rho_z^n=\rho_w \\
n\theta_z=\theta_w+2k\pi 
\end{array}
\right.
\Rightarrow 
\left\{
\begin{array}{l}
\rho_z=\sqrt[n]{\rho_w} \\
\theta_z=\frac{\theta_w+2k\pi}{n} 
\end{array}
\right.$$Facendo variare il parametro \(k\) da \(0\) a \(n-1\) troviamo le \(n\) radici \(n\)-esime di \(w\): $$z_k=\sqrt[n]{\rho_w}\left(\cos\left(\frac{\theta_w+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\theta_w+2k\pi}{n}\right)\right).$$Per disegnare le radici \(n\)-esime basta ricordare che esse sono sempre disposte sui vertici di un poligono regolare di \(n\) lati inscritto in una circonferenza di raggio \(\sqrt[n]{\rho_w}\) e che l'argomento di \(z_0\) si ottiene dividendo l'argomento di \(w\) per \(n\): qui sotto riportiamo a titolo di esempio le radici quinte del numero \(w=1+i\).