Definizioneproprietà

 

"Qual è il tuo gruppo sanguigno?"
"A"

"Cosa bisogna fare davanti a un semaforo rosso?"
"Fermarsi"

"Di che colore sono i cani?"
"Dipende da che tipo di cane..."

"Quanto tempo ci vuole per arrivare a Firenze da Udine?"
"Dipende dal mezzo di trasporto..."

Le quattro domande appena presentate hanno in comune l'idea di mettere in relazione tra loro elementi di insiemi diversi. Più nello specifico, esaminandole una alla volta, abbiamo

  1. {persone} \(\rightarrow\) {A,B,AB,0}
  2. {rosso, giallo, verde} \(\rightarrow\) {fermarsi, rallentare, passare}
  3. {cani, gatti, pappagalli, cavalli...} \(\rightarrow\) {bianco, nero, grigio, marrone, verde, giallo...}
  4. {tragitti} \(\rightarrow\){intervalli di tempo}

Dobbiamo però fare un'importante distinzione: mentre nei primi due casi il secondo interlocutore è riuscito a dare al primo una risposta precisa e univoca, nei casi successivi ciò non è stato possibile, in quanto la domanda era troppo vaga. Questa caratteristica sarà proprio quella in base alla quale diremo se una relazione è una funzione oppure no. La definizione formale di funzione è infatti la seguente:

Definizione

Dati due insiemi \(A\) e \(B\), una funzione \(f\) è una relazione che associa ad ogni elemento di \(A\) uno e un solo elemento di \(B\). Scriveremo \(f:A\rightarrow B\) per sintetizzare quanto appena enunciato.

Una rappresentazione grafica delle funzioni può essere ottenuta utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn e collegando con una freccia ogni elemento di \(A\) col suo corrispondente elemento di \(B\): notiamo che per rispettare la definizione di funzione, da ogni elemento di \(A\) deve partire una e una sola freccia, mentre non c'è alcuna restrizione relativa a quante frecce possono colpire un elemento di \(B\), come possiamo vedere nel seguente diagramma.

Alla luce di quando detto, riesaminiamo gli esempi iniziali: è facile osservare che ad ogni persona corrisponde uno e un solo gruppo sanguigno, ad ogni colore del semaforo corrisponde una e una sola azione mentre a una specie animale non corrisponde uno e un solo colore così come a un tragitto non corrisponde una e una sola durata. Per far rientrare il terzo e il quarto esempio nel contesto delle funzioni dovremmo rendere la domanda più specifica, ad esempio chiedendo"Quanto tempo ci vuole, come minimo, per arrivare a Firenze da Udine?"

Il concetto di funzione è di fondamentale importanza nella matematica (e non solo) e pertanto è accompagnato da una moltitudine di definizioni e proprietà: il nostro obiettivo è quello di introdurle un po' per volta, in modo da favorire la lettura di queste pagine anche a chi non ha ancora dimestichezza con questi concetti. Per cominciare, partiamo con alcune definizioni fondamentali legate al concetto di funzione. 

  • Gli insiemi \(A\) e \(B\) vengono chiamati rispettivamente dominio e codominio della funzione. La relazione \(f\) viene anche detta legge.
  • Dato un elemento \(a\in A\), l'elemento \(b\in B\) a cui esso viene associato è detto immagine di \(a\), e viene indicato scrivendo \(b=f(a)\). L'insieme di tutte le immagini, indicato con \(f(A)\), si chiama insieme immagine ed è un sottoinsieme di \(B\). In formula scriviamo $$f(A):=\{b\in B |\exists a\in A, f(a)=b\}\subseteq B.$$
  • Dato un elemento \(b\in B\) diciamo che \(a\in A\) è una controimmagine di \(b\) se \(f(a)=b\). Notiamo che mentre un elemento \(a\) del dominio ha sempre una e una sola immagine, un elemento \(b\) del codominio può anche avere più controimmagini o addirittura non averne alcuna. Per questo motivo, piuttosto che attribuire un simbolo a ciascuna controimmagine, indicheremo con la scrittura \(f^{-1}(b)\) il sottoinsieme di \(A\) formato da tutte le eventuali controimmagini di \(b\). In formula $$f^{-1}(b):=\{a\in A |f(a)=b\}\subseteq A.$$
  • Le definizioni di immagine e controimmagine si possono estendere a insiemi: definiremo l'immagine di \(C\subseteq A\) come l'insieme di tutte le immagini degli elementi di \(C\); similmente la controimmagine di \(D\subseteq B\) sarà l'insieme di tutti gli elementi di \(A\) la cui immagine appartiene a \(D\). $$\begin{align*}
    f(C):=\{b\in B |\exists a\in C, f(a)=b\}\subseteq B \\
    f^{-1}(D):=\{a\in A |f(a)\in D\}\subseteq A.
    \end{align*}$$

Esercizio

Consideriamo una funzione che ad ogni persona associ il colore della maglietta indossata, come mostrato in figura.

Determinare: 

  1. l'immagine dell'omino \(A\);
  2. la controimmagine del colore verde;
  3. l'insieme immagine della funzione;
  4. l'immagine dell'insieme \(V=\{B,G,H.I\}\);
  5. la controimmagine dell'insieme \(W=\{\text{giallo, nero}\}\);
  6. la controimmagine del colore grigio.

Risoluzione

  1. l'immagine di A non è nient'altro che il colore a cui tale persona viene associata, ovvero il verde. Possiamo scrivere quindi \(f(A)=\text{verde}\);
  2. la controimmagine del colore verde è l'insieme di tutte le persone a cui viene associato tale colore, ovvero tutte le persone con la maglietta verde. Concludiamo allora che \(f^{-1}(\text{verde})=\{A,F,N\}\);
  3. l'insieme immagine è l'insieme di tutte le immagini, cioè di tutti i colori indossati dalle persone nel dominio. Nello specifico, \(f(X)=\{\text{rosso, verde, giallo, blu, nero}\}\). Si noti che l'insieme immagine non coincide col codominio in quanto non comprende il colore grigio;
  4. l'immagine di \(V\) è semplicemente l'insieme delle immagini di ogni singolo elemento di \(V\). In questo caso abbiamo \(B\) e \(G\), che hanno come immagine il colore rosso, mentre ad \(H\) ed \(I\) corrisponde il giallo, pertanto \(f(\{B,G,H,I\})=\{\text{rosso, giallo}\}\);
  5. la controimmagine di \(W\) è l'insieme degli elementi di \(X\) la cui immagine appartiene a \(W\), ovvero l'insieme delle persone che hanno la maglietta gialla o nera. In formula, \(f^{-1}(\{\text{giallo, nero}\})=\{C,E,H,I,L,M\}\);
  6. poiché nessuno indossa una maglietta grigia, la controimmagine di tale colore è data dall'insieme vuoto: \(f^{-1}(\text{grigio})\)=\(\emptyset\).

Proprietà

I concetti di immagine e controimmagine sono il punto di partenza per introdurre due proprietà fondamentali nello studio delle funzioni: iniettività e suriettività. Diremo infatti che una funzione è iniettiva se elementi distinti del dominio hanno sempre immagini distinte, ovvero $$\forall a_1,a_2\in A, a_1\neq a_2 \Rightarrow f(a_1)\neq f(a_2).$$ Di conseguenza, se una funzione è iniettiva allora nessun elemento del codominio può avere più di una controimmagine. Diremo invece che una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio possiede almeno una controimmagine, cioè $$\forall b\in B, \exists a\in A \text{ t.c. }f(a)=b.$$ Deduciamo facilmente che per le funzioni suriettive insieme immagine e codominio coincidono. In termini estremamente informali, possiamo riconoscere le funzioni iniettive in quanto il digramma che le rappresenta non ha mai due frecce che colpiscono lo stesso punto, mentre le suriettive sono quelle in cui tutti i punti del codominio vengono colpiti almeno una volta. 

Iniettività e suriettività sono proprietà indipendenti tra loro, nel senso che possiamo avere funzioni solo iniettive, solo suriettive, né iniettive né suriettive, oppure sia iniettive che suriettive: queste ultime in particolare verranno dette anche biettive e saranno particolarmente importanti quando studieremo il problema dell'invertibilità. 

Notiamo infatti che, se ribaltiamo tutte le frecce in modo che si dirigano da \(B\) ad \(A\), solo nell'ultimo caso il diagramma ottenuto rappresenta ancora una funzione: nei primi tre casi infatti abbiamo punti del dominio (che ora sarebbe \(B\)) da cui non parte nessuna freccia o punti da cui ne partono più di una, in contraddizione con la definizione di funzione. Per tale motivo, le funzioni biettive saranno anche dette invertibili.