Grafico; parità; monotonia; massimi e minimiconvessitàcomposizione e invertibilità

 

 

 

Nella lezione precedente abbiamo visto come le funzioni siano uno strumento applicabile a molteplici contesti. In matematica, siamo generalmente interessati a funzioni che hanno come dominio e codominio l'insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\) (o un suo sottoinsieme): parleremo in questo caso di funzioni reali a variabile reale. Indichiamo il dominio e l'insieme immagine di una funzione rispettivamente con \(\text{dom}(f)\) e \(\text{im}(f)\) e scriviamo $$\begin{align*}f:\text{dom}(f)  \to &\mathbb{R} \\  x \longmapsto &y=f(x).\end{align*}$$Le funzioni reali hanno tipicamente dominio e codominio costituiti da infiniti elementi, pertanto la rappresentazione coi diagrammi di Eulero-Venn non riesce a catturare in modo particolarmente efficace le caratteristiche di tali funzioni. Preferiremo allora rappresentarle per mezzo di una curva nel piano cartesiano, dove gli assi \(x\) e \(y\) svolgeranno rispettivamente il ruolo di dominio e codominio; la curva grafico sarà definita nel seguente modo: $$G_f:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\in\text{dom}(f) \wedge y=f(x)\}.$$

Per farci un'idea abbastanza grossolana dell'andamento di una funzione, possiamo quindi attribuire dei valori arbitrari alla variabile \(x\), calcolare i corrispondenti valori di \(y\), e infine tracciare una curva che unisca tutti i punti trovati. Proviamo ad applicare la procedura appena descritta alla funzione \(f(x)=2^x-x\). Calcolando le immagini corrispondenti ai valori \(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\) otteniamo che la curva grafico deve passare per i punti$$x=-3\Rightarrow y=2^{-3}-(-3)=\frac{25}{8} \\ x=-2\Rightarrow y=2^{-2}-(-2)=\frac{9}{4} \\ x=-1\Rightarrow y=2^{-1}-(-1)=\frac{3}{2} \\ x=0\Rightarrow y=2^0-0=1 \\  x=1\Rightarrow y=2^1-1=1 \\  x=2\Rightarrow y=2^2-2=2 \\  x=3\Rightarrow y=2^3-3=5.$$

Tracciando una linea curva passante per i punti ottenuti, troviamo una buona approssimazione del grafico della funzione \(f(x)=2^x-x\).

Dobbiamo comunque fare attenzione, perché questo metodo a volte può portarci fuori strada: ad esempio, se consideriamo la funzione \(\sin (\pi x)\) e consideriamo i valori \(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\), troviamo che le loro immagini sono tutte nulle (infatti \(\forall k\in\mathbb{Z}\) vale \(\sin(k \pi)=0\), vedi trigonometria). Potremmo allora pensare erroneamente che il grafico della funzione \(\sin (\pi x)\) sia costituito dall'asse delle ascisse, mentre invece la sua forma è quella di una sinusoide. 

Per evitare di incorrere in errori di questo tipo dovremo studiare più approfonditamente la legge su cui si basa la funzione che stiamo esaminando, e questo sarà fatto principalmente tramite limiti e derivate.

In questa prima parte di lezione abbiamo stabilito che il grafico di una funzione reale è rappresentato da una curva nel piano cartesiano, tuttavia non tutte le curve piane sono associate a una funzione. Ricordando che, per definizione di funzione, ad ogni \(x\) appartenente al dominio corrisponde una e una sola \(y\) nel codominio, possiamo subito osservare che il grafico di una funzione reale non può intersecare alcuna retta verticale più di una volta.

La lezione precedente si era conclusa con la presentazione di concetti di immagine, controimmagine, iniettività e suriettività. Vediamo come reinterpretare questi concetti nel piano cartesiano.

  • L'immagine di un numero reale \(x\) si può trovare intersecando il grafico della funzione con una retta verticale e proiettando il punto di intersezione sull'asse delle ordinate. Similmente, l'immagine di un intervallo viene determinata tracciando una retta verticale su ciascuno degli estremi e proiettando la parte di grafico compresa sull'asse \(y\); 
  • le controimmagini di un numero reale \(y\) si trovano intersecando il grafico con una retta orizzontale e proiettando le eventuali intersezioni sull'asse delle ascisse. Per gli intervalli tracciamo una retta orizzontale per ciascuno degli estremi e proiettiamo la parte di grafico compresa sull'asse \(x\); 
  • una funzione è iniettiva se ogni punto del codominio ha al più una controimmagine, ovvero se il grafico della funzione non può essere intersecato da una retta orizzontale più di una volta;
  • una funzione è suriettiva se ogni punto del codominio ammette almeno una controimmagine, ovvero se ogni retta orizzontale interseca il grafico almeno una volta.

Oltre alle proprietà già descritte, comuni a tutte le funzioni, le funzioni reali ne possiedono altre che non avrebbe senso introdurre in assenza di una struttura matematica. Le proprietà che introduciamo in questo paragrafo serviranno per migliorare la precisione con cui tracciamo grafici, e per evitare di incorrere in errori di rappresentazione simili a quello visto per la funzione \(\sin(\pi x)\).

Funzioni pari e dispari

Data una funzione \(f\) consideriamo le immagini di valori opposti, \(x\) e \(-x\). Se tali immagini coincidono qualunque sia il valore di \(x\), diremo che la funzione è pari; se invece le immagini sono opposte, diremo che \(f\) è dispari. In formula possiamo riassumere tutto nel seguente modo $$\begin{align*} f(-x)=f(x), \forall x\in\text{dom}(f)  \hspace{25pt} & f \text{ pari} \\
f(-x)=-f(x), \forall x\in\text{dom}(f) \hspace{25pt} & f \text{ dispari.}\end{align*}$$
Il grafico di una funzione pari risulta quindi simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, mentre quello di una funzione dispari sarà simmetrico rispetto all'origine.
Esempi di funzioni pari sono tutte le potenze con esponente pari, ovvero \(x^2, x^4, x^6, x^{-2}\ldots\), ma anche coseno e valore assoluto. Tra le funzioni dispari ci sono invece le funzioni seno e tangente e ovviamente le potenze con esponente dispari (\(x, x^3 x^5, x^{-1}\ldots\)) 

Funzioni monotone

Diremo che una funzione \(f\) è crescente se il suo grafico "sale" guardandolo da sinistra a destra, ovvero se all'aumentare della variabile \(x\) corrisponde un incremento dell'immagine \(y\). In formula abbiamo che $$\text{\(f\) è crescente } \iff x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2),\forall x_1,x_2\in\text{dom}(f).$$Diremo invece che \(f\) è debolmente crescente se il suo grafico non può mai "scendere", in formula$$\text{\(f\) è debolmente crescente } \iff x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\leqslant f(x_2),\forall x_1,x_2\in\text{dom}(f).$$Apparentemente questa definizione può apparire equivalente alla precedente: la differenza è che in questo secondo caso il grafico può avere tratti orizzontali (dove \(f\) sarà costante), mentre nel primo caso ciò è escluso. In modo del tutto simile si definiscono le funzioni decrescenti e debolmente decrescenti, di cui riportiamo solo la definizione in formula $$\text{\(f\) è decrescente } \iff x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2),\forall x_1,x_2\in\text{dom}(f) \\ \text{\(f\) è debolmente decrescente } \iff x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\geqslant f(x_2),\forall x_1,x_2\in\text{dom}(f).$$

Generalizzando, diremo che una funzione è (debolmente) monotona, se presenta uno dei quattro comportamenti appena descritti.

Massimi e minimi

Data una funzione \(f(x)\), diciamo che \(x_0\) è un punto di massimo per \(f\) se la la funzione ha un "picco" in corrispondenza di \(x_0\). Formalmente diremo che$$ x_0\text{ è un punto di massimo locale per } f\iff \exists \delta>0 \text{ tale che } f(x_0)>f(x), \forall x\in[x_0-\delta,x_0+\delta]\cap\text{dom}(f) \\ x_0\text{ è un punto di massimo assoluto per } f\iff f(x_0)>f(x), \forall x\in\text{dom}(f).  $$

In entrambi i casi, il valore \(f(x_0\) viene detto massimo (locale o assoluto) di \(f\). In modo del tutto simile definiamo i punti di minimo:$$ x_0\text{ è un punto di massimo locale per } f\iff \exists \delta>0 \text{ tale che } f(x_0)<f(x), \forall x\in[x_0-\delta,x_0+\delta]\cap\text{dom}(f) \\ x_0\text{ è un punto di massimo assoluto per } f\iff f(x_0)<f(x), \forall x\in\text{dom}(f).  $$

Funzioni concave e convesse

Consideriamo due punti appartenenti al grafico di una funzione: se, indipendentemente dalla scelta dei due punti, il segmento che li congiunge giace nella parte di piano che sta sempre "sopra" al grafico della funzione, diremo che \(f\) è una funzione convessa; se invece il segmento giace sempre al di sotto del grafico, diremo che la funzione è concava. Per tradurre in formula queste definizioni, è necessario saper scrivere l'equazione di un segmento (vedi rette e segmenti)$$\text{f è convessa }\iff f(x)<f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1), \forall x_1,x_2\in\text{dom}(f),\forall x\in]x_1,x_2[ \\ \text{f è concava }\iff f(x)>f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1), \forall x_1,x_2\in\text{dom}(f),\forall x\in]x_1,x_2[.$$

Analogamente a quanto fatto per le funzioni monotone, possiamo anche definire funzioni debolmente convesse e debolmente concave, scrivendo $$\text{f è deb. convessa }\iff f(x)\leqslant f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1), \forall x_1,x_2\in\text{dom}(f),\forall x\in]x_1,x_2[ \\ \text{f è deb. concava }\iff f(x)\geqslant f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1), \forall x_1,x_2\in\text{dom}(f),\forall x\in]x_1,x_2[.$$Funzioni di questo tipo possono presentare nel loro grafico dei tratti rettilinei: le rette infatti sono funzioni sia debolmente convesse che debolmente concave ma non sono né convesse né concave.

Esercizio:

Si considerino le funzioni \(x^\alpha, a^x, \log_a x, \sin x, \cos x, \tan x, |x| \) e si determinino dominio e immagine di ognuna; stabilire inoltre quali sono iniettive, suriettive pari, dispari, crescenti, decrescenti, convesse, concave. (Sugg: aiutarsi coi grafici presenti nelle lezioni su potenze, esponenziali e logaritmi, trigonometria, valori assoluti)

Composizione e invertibilità

L'esercizio appena proposto aveva lo scopo di farci ripassare le proprietà fondamentali delle cosiddette funzioni elementari: questo si rivelerà particolarmente utile in quanto la maggior parte delle funzioni che vengono studiate in matematica si ottiene combinando proprio funzioni elementari. Per combinare due o più funzioni possiamo usare le operazioni aritmetiche oppure operare una composizione: intuitivamente possiamo dire che comporre due funzioni significhi applicarle in sequenza, una dopo l'altra. Ad esempio, se consideriamo le funzioni "raddoppio" ed "elevamento al quadrato", la funzione composta prenderà un numero (nell'esempio sotto abbiamo scelto il \(3\)), lo raddoppierà, e infine eleverà il risultato al quadrato, dandoci $$3\stackrel{\text{raddoppio}}{\longmapsto}6\stackrel{\text{quadrato}}{\longmapsto}36.$$Formalizziamo ora l'idea appena illustrata: considerate due funzioni $$f:A\to B \\ g:C\to D,$$ comporre \(g\) con \(f\) significa prendere gli elementi \(x\) dell'insieme \(A\), determinare la loro immagine \(y\) attraverso la funzione \(f\) e infine applicare la funzione \(g\) a tali immagini per ottenere degli elementi \(z\in D\). In formula si può riassumere quanto appena detto nel seguente modo:
$$\begin{align*}
&A\hspace{4pt}\stackrel{f}{\longrightarrow}\hspace{4pt}B\hspace{4pt}\stackrel{g}{\longrightarrow}\hspace{4pt}D\\
&x\mapsto y=f(x)\mapsto z=g(y)=g(f(x)).
\end{align*}$$
La funzione "\(g\) composta ad \(f\)" viene indicata con la scrittura \(g\circ f\) ed è definita da $$\begin{align*}g\circ f:A &\longrightarrow D \\ x &\mapsto (g\circ f)(x)=g(f(x)),\end{align*}$$a patto che l'insieme immagine di \(f\) sia contenuto nel dominio di \(g\), come rappresentato dal diagramma sottostante. 

Qualora la condizione \(\text{im}(f)\subseteq\text{dom}(g)\) non fosse rispettata, saremo costretti a restringere il dominio della funzione composta nel seguente modo:$$\text{dom}(g\circ f)=\{x\in \text{dom}(f)|f(x)\in \text{dom}(g)\}=A\cap f^{-1}(C)\subseteq A.$$Ad esempio, se consideriamo le funzioni \(f(x)=x-1\) e \(g(x)=\sqrt{x}\), avremo $$\text{dom}(g\circ f)=\{x\in \mathbb{R}|x-1\geqslant 0\}=[\,+\infty[.$$

L'operazione di composizione tra funzioni presenta alcune similitudini con l'operazione di addizione tra numeri, valgono infatti la proprietà associativa $$(h\circ g) \circ f=h\circ (g\circ f), \forall f,g,h $$e l'esistenza e unicità dell'elemento neutro (detto funzione identità)$$\exists !f \text{ t.c. }g\circ f=f\circ g =g, \forall g.$$La funzione identità viene indicata col simbolo \(id_X\) e ha la caratteristica di associare ad ogni elemento sè stesso: $$id_X:X\longrightarrow X \\\hspace{15pt} x\longmapsto x. $$A differenza dell'addizione, non vale in generale la proprietà commutativa: per esempio, date \(f(x)=x+1\) e \(g(x)=x^2\), possiamo notare facilmente che le leggi delle composizioni \(g\circ f\) e \(f\circ g\) non sono uguali: $$ \begin{align*}&g\circ f: x\stackrel{f}{\longmapsto}x+1\stackrel{g}{\longmapsto}(x+1)^2=x^2+2x+1 \\  &f\circ g: x\stackrel{g}{\longmapsto}x^2\stackrel{f}{\longmapsto}x^2+1.\end{align*}$$

Invertibilità

Il volume di un cubo è pari a \(1000\,cm^3\). Determinare la misura dello spigolo del cubo stesso. 

Il problema in questione è facilmente risolvibile: sappendo che la relazione che lega volume e spigolo di un cubo è \(l^3=V\), ci basta applicare ad ambo i membri l'operazione di radice cubica ottenendo $$\sqrt[3]{l^3}=\sqrt[3]{V}\Rightarrow l=\sqrt[3]{1000}=10\,cm. $$Osserviamo più nel dettaglio la relazione tra le due funzioni "elevamento al cubo" ed "estrazione della radice cubica": gli effetti di tali funzioni si "annullano" a vicenda, il che equivale a dire che la composizione delle due funzioni corrisponde alla funzione identità. Si ha infatti $$x\mapsto x^3\mapsto \sqrt[3]{x^3}=x \\ x\mapsto \sqrt[3]{x}\mapsto  (\sqrt[3]{x})^3=x.$$ 

Poiché la maggior parte dei problemi della matematica e della fisica (ma non solo) è legato alla risoluzione di equazioni e pertanto richiede l'utilizzo di formule inverse, appare sensato dedicare un po' di tempo allo studio delle funzioni inverse, partendo dalla definizione formale.

Diremo che una funzione \(f:A\longrightarrow B\) è invertibile se esiste una funzione \(g:B\longrightarrow A\) tale che $$g\circ f= id_A \\ f\circ g =id_B.$$Si può dimostrare che se tale funzione esiste, allora è anche unica e viene chiamata inversa di \(f\): in simboli la funzione inversa viene indicata con \(f^{-1}\).

Se una funzione associa ad ogni elemento \(x\) del dominio uno e un solo elemento \(y\) del codominio, la relazione inversa per sua stessa natura deve fare il contrario. Affinché anch'essa sia effettivamente una funzione è necessario che ad ogni \(y\) del codominio di \(f\), corrisponda una e una sola controimmagine \(x\) nel dominio di \(f\): ne segue che una funzione è invertibile se e solo se è biettiva (vedi funzioni). Poiché la legge della funzione inversa si ottiene a partire dalla legge di \(f\) scambiando il ruolo di \(x\) e \(y\), il grafico dell'inversa si ottiene per simmetria dal grafico di \(f\), usando come asse di simmetria la bisettrice del I e III quadrante. 

Se una funzione \(f\) non è biettiva non possiamo invertire la funzione su tutto il suo dominio ma possiamo cercare una cosiddetta inversa locale: se consideriamo un intervallo \(I\) dove la funzione è iniettiva, allora la restrizione \(f|_I:I\longrightarrow f(I)\) è invertibile. Un esempio tipico è quello della funzione \(x^2\), non invertibile da \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}\), ma localmente invertibile da \([0,+\infty[\) a \([0,+\infty[\).

L'inversa locale della funzione \(x^2\) è la ben nota funzione \(\sqrt{x}\). Notiamo che sarebbe possibile invertire localmente la funzione \(x^2\) anche nell'intervallo \(]-\infty,0]\), tuttavia per convenzione si preferisce sempre utilizzare la restrizione proposta in precedenza.

Le inverse locali si applicano anche alle funzioni goniometriche che, essendo periodiche, non possono essere iniettive: nel grafico presentato sotto evidenziamo in rosso delle restrizioni iniettive di seno, coseno e tangente.

Per simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante troviamo quindi il grafico delle inverse locali: arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Per ulteriori dettagli sulle funzioni goniometriche inverse rimandiamo alla lezione di trigonometria.