serie geometriche; serie telescopicheserie armoniche

 

Serie geometriche

Dato un numero reale \(x\), definiamo la serie geometrica di ragione \(x\) come la somma di tutte le potenze con esponente naturale di \(x\), ovvero $$\sum_{n=0}^{+\infty}=1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots$$Le somme parziali di tale serie sono date dalla formula $$S_n=1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}, \,\forall x\neq 1 \\
S_n=n+1, \text{ se } x=1.$$La formula usata nel primo caso può essere dimostata nel seguente modo: $$\begin{align*}&(1-x)(1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n)=\\=&(1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n)-(x+x^2+x^3+\ldots+x^n+x^{n+1})=\\ =&1-x+x-x^2+x^2-x^3+\ldots-x^n+x^n-x^{n+1}\\ =&1-x^{n+1}\\ \Rightarrow &1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.\end{align*}$$Per calcolare il limite delle somme parziali dobbiamo quindi studiare \(\lim_{n\to+\infty} x^n\): $$\lim_{n\to+\infty} x^n =\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
+\infty &\text{se \(x>1\)}\\
0 &\text{se \(0<x<1\)}\\
\nexists &\text{se \(x\leqslant -1\)}\\
\end{array}
\right.
\end{align*}$$come confermato dai seguenti grafici 

Applicando i risultati appena ricavati alla successione delle somme parziali, affermiamo che $$\lim_{n\to+\infty} S^n =\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1-\infty}{1-x}=+\infty &\text{se \(x>1\)}\\
\frac{1}{1-x} &\text{se \(0<x<1\)}\\
\nexists &\text{se \(x\leqslant -1\)}\\
\end{array}
\right.
\end{align*}$$Concludiamo che la serie geometrica converge solo se \(-1<x<1\) e in tal caso ha somma \(S=\frac{1}{1-x}\). Per concludere questa trattazione sulle serie geometriche, ricordiamo che nella precedente lezione sulle serie avevamo intuito che $$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{2^n}+\ldots=1:$$questo risultato può essere ora formalmente dimostrato usando la serie geometrica di ragione \(x=\frac{1}{2}\), infatti $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots =2-1=1.$$

Serie telescopiche

Studiamo ora un'altra serie particolare, ovvero la serie del Mengoli: \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+n}\). La particolarità di questa serie è che il suo termine generale \(a_n\) può essere riscritto in modo equivalente come $$a_n=\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$Questa osservazione ci permette di scrivere le somme parziali in funzione di \(n\), infatti $$S_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).$$Semplificando a due a due i termini opposti concludiamo che $$S_n=1-\frac{1}{n+1}\Rightarrow S=\lim_{n\to+\infty}1-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{+\infty}=1.$$La serie del Mengoli è quindi convergente e ha somma pari a \(1\).

Qui sotto mostriamo una rappresentazione grafica delle somme parziali associate alle serie del Mengoli: si può notare come esse convergano a \(1\) molto più lentamente rispetto alle somme parziali della serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\), analizzata nella lezione precedente.

Più in generale, chiamiamo serie telescopiche tutte quelle serie il cui termine generale può essere visto come differenza tra due termini di una successione: più formalmente una serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\) si dice telescopica se esiste una successione \((b_n)_n\) tale che $$a_n=b_n-b_{n+1}.$$Nel caso della serie del Mengoli, avevamo \(b_n=\frac{1}{n}\). Seguendo un ragionamento simile a quello proposto precedentemente possiamo determinare le somme parziali $$S_n=(b_0-b_1)+(b_1-b_2)+\ldots +(b_n-b_{n+1})=b_0-b_{n+1}.$$Il limite delle somme parziali (e quindi il carattere della serie) è legato al comportamento al limite della successione \((b_n)_n\): $$\lim_{n\to+\infty}b_n =L\in\mathbb{R}\Rightarrow \lim_{n\to+\infty}S_n=b_0-L\in\mathbb{R}\\ \lim_{n\to+\infty}b_n =\pm\infty \Rightarrow \lim_{n\to+\infty}S_n =b_0-(\pm\infty)=\mp\infty \\ \nexists \lim_{n\to+\infty}b_n  \Rightarrow \nexists \lim_{n\to+\infty}S_n .$$In conclusione, le serie telescopiche convergono se e solo se la successione \((b_n)_n\) converge.

Serie armoniche

Studiamo ora le serie della forma, a partire dalla cosiddetta serie armonica, definita come$$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}+\ldots$$Nonostante il termine generale della serie tende a zero, un'analisi più attenta mostrerà che la serie armonica diverge. Calcolando le somme parziali troviamo i valori $$\begin{align*}&S_1=1 \\&S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}= \\ &S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6} \\&S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}\\ &\hspace{5pt}\vdots \end{align*}$$La successione che abbiamo ottenuto è chiaramente monotona crescente e pertanto ammette limite; sfortunatamente non siamo però in grado di trovare una forma chiusa che permetta di esprimere le somme parziali in funzione di \(n\) e pertanto non possiamo calcolarne esplicitamente il limite. Possiamo tuttavia fare la seguente osservazione: $$\begin{align*}S_{2n}-S_n&=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots\frac{1}{2n}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\right) \\ &=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}\\ &\geqslant \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\ldots+\frac{1}{2n} \\ &=\frac{1}{2}.\end{align*}$$Con la disuguaglianza appena ottenuta possiamo creare le seguenti stime: \begin{align*} &S_1=1 \\ &S_2-S_1\geqslant \frac{1}{2}\Rightarrow S_2 \geqslant 1+\frac{1}{2} \\ &S_4-S_2\geqslant \frac{1}{2}\Rightarrow S_4 \geqslant 1+\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\\ &S_8-S_4\geqslant \frac{1}{2}\Rightarrow S_8 \geqslant 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ &\hspace{5pt}\vdots \end{align*}Analizziamo ora la sottosuccessione formata dalle somme parziali indicizzate da una potenza di \(2\) osservando che $$S_{2^n}\geqslant 1+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2}}_{n \text{ volte}}=1+\frac{n}{2}.$$La successione di termine generale \(1+\frac{n}{2}\) non è superiormente limitata, e pertanto non può esserlo neanche la sottosuccessione \((S_{2^n})_n\), che la maggiora.

 

Questo risultato ci permette di affermare che anche la successione di partenza \(S_n\) non è superiormente limitata e dunque il suo limite sarà \(+\infty\). Nel grafico qui sotto riportiamo la successione delle somme parziali, e in rosso sono evidenziati i termini che avevamo utilizzato per creare la sottosuccessione \((S_{2^n})_n\).

Per convincerci ulteriormente del fatto che la serie armonica diverge, possiamo rappresentare le sue somme parziali con dei rettangoli e sovrapporre ad essi un'opportuna curva logaritmica. Ricordando che \(\lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty\) abbiamo un'ulteriore conferma del fatto che \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=+\infty\).

Passiamo adesso alle serie armoniche generalizzate, ovvero le serie della forma  \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}\). Cominciamo analizzando la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^2}\), anch'essa ovviamente a termini positivi. Osserviamo che i termini di questa serie sono minori di quelli della serie del Mengoli \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+n}\), infatti $$(n+1)^2=n^2+2n+1>n^2+n\Rightarrow \frac{1}{(n+1)^2}<\frac{1}{n^2+n}.$$La serie del Mengoli converge e pertanto anche la serie che stavamo studiando deve convergere, essendo formata da termini "più piccoli". Notiamo che, operando il cambio di indice \(m=n+1\), la serie di partenza può essere riscritta come $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{1}{(1+2)^2}+\frac{1}{(1+3)^2}+\ldots=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots =\sum_{m=2}^{+\infty}\frac{1}{m^2}.$$Aggiungere un termine a una serie non ne altera il carattere, quindi $$\sum_{m=2}^{+\infty}\frac{1}{m^2}<+\infty \Rightarrow \sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}<+\infty.$$Mentre la serie armonica diverge, la serie armonica generalizzata con esponente \(2\) converge!

Proseguiamo nello studio delle serie armoniche generalizzate: usando il criterio del confronto e osservando che $$\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha>2\Rightarrow \frac{1}{n^\alpha}<\frac{1}{n^2}\\
\alpha<1\Rightarrow \frac{1}{n^\alpha}>\frac{1}{n}
\end{array}
\right.
\end{align*}$$concludiamo immediatamente che $$\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha>2\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}<+\infty\\
\alpha<1\Rightarrow  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}=+\infty.
\end{array}
\right.
\end{align*}$$Rimane solo da capire cosa succede se \(1<\alpha<2\): $$\begin{align*}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}&=1+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}+\frac{1}{4^\alpha}+\frac{1}{5^\alpha}+\frac{1}{6^\alpha}+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{7^\alpha}+\frac{1}{8^\alpha}+\frac{1}{9^\alpha}+\frac{1}{10^\alpha}+\ldots \\ &=1+\frac{1}{2^\alpha}+\left(\frac{1}{3^\alpha}+\frac{1}{4^\alpha}\right)+\left(\frac{1}{5^\alpha}+\ldots +\frac{1}{8^\alpha}\right)+\left(\frac{1}{9^\alpha}+\ldots +\frac{1}{16^\alpha}\right)+\ldots\end{align*}$$Lo scopo dei raggruppamenti che abbiamo fatto consiste nell'osservare che l'\(n\)-esimo raggruppamento è costituito da \(2^n\) addendi tutti minori di \(\frac{1}{(2^n)^\alpha}\), dandoci la stima $$\begin{align*}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}&=1+\frac{1}{2^\alpha}+\underbrace{\left(\frac{1}{3^\alpha}+\frac{1}{4^\alpha}\right)}_{2\cdot\frac{1}{2^\alpha}}+\underbrace{\left(\frac{1}{5^\alpha}+\ldots +\frac{1}{8^\alpha}\right)}_{<4\cdot \frac{1}{4^\alpha}}+\underbrace{\left(\frac{1}{9^\alpha}+\ldots +\frac{1}{16^\alpha}\right)}_{<8\cdot \frac{1}{8^\alpha}}+\ldots \\ &<1+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{2^{\alpha-1}}+\frac{1}{4^{\alpha-1}}+\frac{1}{8^{\alpha-1}}+\ldots \end{align*}$$A questo punto usiamo le proprietà delle potenze e scriviamo $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}<1+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{2^{\alpha-1}}+\left(\frac{1}{2^{\alpha-1}}\right)^2+\left(\frac{1}{2^{\alpha-1}}\right)^3+\ldots<1+\frac{1}{2^\alpha}+\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2^{\alpha-1}}\right)^n.$$La serie che abbiamo scritto alla fine della formula precedente è una serie geometrica di ragione \(x=\frac{1}{2^{\alpha-1}}\): sapendo che \(\alpha>1\) otteniamo che \(x\in]0,1[\) e pertanto la serie geometrica converge a \(\frac{1}{1-x}\). Questo ci permette di concludere che anche la serie armonica generalizzata converge, in quanto $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}<1+\frac{1}{2^\alpha}+\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2^{\alpha-1}}\right)^n=1+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{1-\frac{1}{2^{\alpha-1}}}<+\infty.$$

Ricapitolando, le serie armoniche generalizzate convergono per ogni \(\alpha>1\).